数学物理方法保角变换法PPT学习教案

1、会计学1数学物理方法保角变换法数学物理方法保角变换法 保角变换法解定解问题的基本思想： 通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法保角变换法。第2页/共38页保角变换法是解决这类复杂边界的最有效方法，特别适合于分析平面场的问题。例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍复变函数论中已经系统介

2、绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。第3页/共38页保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数 ( )f zw实现的从Z平面到W 平面的变换在 ( )0fz的点具有保角性质，因此这种变换称为保角变换下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定 ( )f zw和它的反函数都是单值函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一叶 第4页/共38页定理 如果将由 izxy到 iuwv的保角变换看成为二元（实变）函数 ( , )x y的变换由 , x y到 , u v的变量代换，则 z平面上的边界变成了 w平面上的边界我们能证明，如果 ( ,

3、 )x y程，则经过保角变换后得到的 满足拉普拉斯方( , )uv也满足拉普拉斯方程第5页/共38页【证明】 利用复合函数求导法则有2222222222222() ()2uxuxxuuxuxuxxuxuxx vvvvvvvv同理第6页/共38页2222222222222() ()2uuyuyuyyuyuyy vvvvvv两式相加得到222222222222222222222()() +()() +()() +2( + ) uuxyxyuxyuuxyuxyuuxxyyu vvvvvvvvv（） 第7页/共38页利用解析函数 ( )if zuwv的C-R条件, uuxyxy vv以及解析函数的实部

4、和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质 222222220, 0uuxyxyvv将式（）和式（）代入到式（）化简后得到第8页/共38页222222222222222()() (+) |( )| (+)ufzxyxxuu vvv注意到上式已经使用了： ( )iufzxxvw对于保角变换 ( )0,fzw因而只要 ( , )x y满足拉普拉斯方程，则 ( , uv）也满足拉 普拉斯方程，即为第9页/共38页222222220 (+)0 xyu v（）这样我们就有结论：如果在 izxy平面上给定了 ( , )x y的拉普拉斯方程边值问题， 则利用保角变换 ( )f zw，可以将它转化为 iuwv平面上 (

5、 , uv)的拉普拉斯方程边值问题第10页/共38页同理可以证明，在单叶解析函数 ( )f zw =变换下，泊松方程2222( , ) x yxy 仍然满足泊松方程（）),(),()(122222vuyvuxzfvu第11页/共38页 由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度发生了变化对于波动问题和输运问题，同理可以证明，亥姆霍兹方程 222220 kxy 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程0)(222222zfkvu第12页/共38页注意到方程要比原先复杂，且 前的系数可 能不是常系数 保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问

6、题变为简单边界问题，从而使问题得到解决下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，先介绍常用到的一些保角变换第13页/共38页常用的几种保角变换azw将z平面上的图形整体平移一个矢量a。第14页/共38页bazw1argj2ezzaabzz/12zaw 平移旋转伸缩第15页/共38页iierRwrez2,则令：zRw2)0(022zzRw保角性：保圆性：保对称性：Z平面内关于原点O 对称点P、Q 变换为w 平面上的像P、Q 也关于原点O 对称。OPQR_2OROQOP第16页/共38页)(bcaddczbazwCBzAwcaCcdBcadbcA,2保圆性；保对称性；上式可写成其中：第17页

7、/共38页2i,2izz区域：111zzw212ww i22iww(-1,0)(1,0)2111111zzzzdzdw第18页/共38页11, 2zz区域：201zzw1i2ww 212101zzzzdzdw1/22wew 上半平面第19页/共38页jerz nrnnzw jew第20页/共38页讨论变换若均匀场在w 平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将w平面的正实轴变换成z平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面上的正虚轴，这样w平面的上半平面变换成z平面的第一象限，如图所示。反之亦然 . y xz平面W 平面uv2/12wzzw或第21页/共38页(6) 对数变换 对数变

8、换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。先研究指数变换令 ， 得可知：z平面上的直线x=常数变换到w平面上的圆周 常数，而直线y常数变换成射线 常数。,xeyezw je,jwyxz第22页/共38页awarg0z(W平面)(ux)(vyw(z平面)(yv)(xu)2(Im0aaz第23页/共38页zwlnvru,lnuvjln rwjerz 第24页/共38页例1 试求平面静电场的电势分布 ( , )x y，其中 0 (Im0)z12 (0)( ,0) (0)VxxVx【解】 ln zwzw变换使上半平面变成平面上的带形域, 然的，类似于上面定解问题的结果,则本定解问题可归结为而在带

9、形域上的解是显保角变换法求解定解问题典型实例第25页/共38页12( , )VVuvv x y u O O 1v 2v 1v 2v v z平面 w平面 i lnzw第26页/共38页而 ilnlniarguzzzwv所以arg zv于是，作反变换便可求得所求问题的解为121212( , )argarctanVVVVVVyx yzx第27页/共38页12 (0) (2)vvv试用保角变换法求解一半径为a的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况【解】即求解定解问题2120 () (0) (2)aavvvv例 2 若把柱面充电到 第28页/共38页作如下的保角变换(1) 作变换 azz 1把原图象缩小为

10、a1倍即将任意的圆周变换为单位圆 (2) 再作变换 把 11z变换为 0Im2z，其边界的变换是将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴11211zziz第29页/共38页 z平面 x 0 1z平面 1x 1y 2x 1v 2v 2z平面 平面 i y 2y （3）再作变换 2lnz2z把平面的上半平面变成平面上平行于实轴，宽为 的一个带形区域，其边界的 第30页/共38页2z2zIm变换是将平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线所以，在变换lniazaz之下，定解问题变换为20120vvvvv第31页/共38页定解问题的解（仿上例）为21211Im

11、vvvvvv将变量回到z平面，则第32页/共38页2112112222121112112121222222Imln(i) Imlni() ln() i arctanarctanarctan222 arctanarctan22a za zya xx aya xyaxyyx aayayayaxyaxyvvv vvvvvvvvvvvvvvvvv化成极坐标形式，则上式又改写成1212222sin( , )arctg, ()2aaa vvvvv第33页/共38页从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域 0Im问题就容易解决了第34页/共38页2 yx21212uv例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半