城建考研高数第一章

1、1基础考研第一章基础考研第一章函数与极限函数与极限 21.函数定义：函数定义：)(xfy Dx , Dx 0)(0 xf0 x一、函数一、函数 ( , )( ),Cx yyf xxD( ( 一般为曲线一般为曲线 ) )(xfy yxoD32.函数定义的两要素：函数定义的两要素：3.两个函数相同的条件：两个函数相同的条件：22( )( )12xxf xg xxx 如如：与与是是否否相相同同？2222( )sincos( )f xxxxg tt与与+1+1是是否否相相同同？3433( )-( )-1f xx xg xxx与与是是否否相相同同？不同不同相同相同相同相同 定义域定义域: 对应规律的表示

2、方法对应规律的表示方法: 解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.44.定义域的求法：定义域的求法：分母不等于零的自变量的值分母不等于零的自变量的值.2( ),nu x( )0u x 须须使使；ln ( ),u x( )0u x 须须使使；(4) arcsin( ),arccos ( ),u xu x( )1u x 须须使使；使函数解析式有意义的自变量的使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域取值范围是函数的（自然）定义域.(5) tan ( ),sec ( ),u xu x( ), =0,1

3、,2,2u xkk 须须使使(6)cot ( ),csc ( ),u xu x( ), =0,1,2,u xkk 须须使使是其各自定义域的交集是其各自定义域的交集.55.5.函数的四种特性函数的四种特性(1)函数的有界性函数的有界性:( )f xI在在 上上有有界界( )f xI在在 上上无无界界0( ).MxIMf xM 使使，都都有有- -000().MxIf xM ，使使得得设函数设函数( ),yf xxD 区间区间.DI 1( )1,2f xx 如如：在在上上有有界界吗吗？11x ，12x 呢呢？说明：说明：1.1.界不唯一界不唯一,不一定找最小的界不一定找最小的界.2.2.函数的有界

4、性是局部概念函数的有界性是局部概念.3.区区分分无无界界函函数数和和无无穷穷大大量量： 在在某某一一变变化化过过程程中中，( )f x若若是是无无穷穷大大量量，( )f x则则在在该该区区间间上上一一定定无无界界，( )f x但但若若在在某某个个区区间间上上无无界界，( ).f x则则不不一一定定是是无无穷穷大大6(2) 单调性单调性设函数设函数( ),yf xxD,ID 区区间间12,xxI 12xx 当当时时4.有界的充分必要条件是既有上界又有下界有界的充分必要条件是既有上界又有下界11=sin(0,1yxx如如：在在区区间间上上无无界界，+0,.x当当时时不不是是无无穷穷大大12()()

5、,f xf x 若若称称 ( )f x为为 I 上的上的单调单调增增函数函数 ;xy1x2x12()(),f xf x 若若称称 ( )f x为为 I 上的上的单调单调减减函数函数 ;注意注意: :(1)(1)这里是严格单调这里是严格单调(2)(2)单调性是局部概念单调性是局部概念.2(0,)yx 在在内内是是单单调调增增加加的的，(,0)在在内内是是单单调调减减少少. .I7,Dx 1()( )fxf x ），2()( )fxf x ），是整体概念；是整体概念；偶函数偶函数关于关于y 轴对称轴对称；tan2yxxk 如如：在在时时是是奇奇函函数数吗吗？是是(3) 奇偶函数的定义域不一定是奇偶

6、函数的定义域不一定是R.(4) 若若( )f x在在 x = 0 有定义有定义 ,(0) 0.f ( )f x为奇函数时为奇函数时, ,则当则当则则(5)( ),f xD设设函函数数的的定定义义域域 关关于于原原点点对对称称( )f x则则一一定定可可以以.表表示示成成奇奇函函数数与与偶偶函函数数的的和和事事实实上上 11( )=( )() +( )+ ()22f xf xfxf xfx ( )=+f x奇奇函函数数 偶偶函函数数8(4) 周期性周期性,0,xDl 且且,xlD )()(xflxf则称则称( )f x为为周期函数周期函数 ,若若称称 l 为为周期周期.例如例如, 常量函数常量函

7、数( )f xC 狄里克雷函数狄里克雷函数( )f x x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数, 1,0说明：说明：10周期函数的定义域是无限的点集周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期 .都都是是周周期期函函数数但但都都没没有有最最小小的的正正周周期期. .结论：结论：( )f xT若若以以 为为最最小小正正周周期期，()Tfx 则则以以为为0. 最最小小正正周周期期，设函数设函数( ),yf xxD 96.反函数反函数( )( ),yf xxy 由由( )( )xyyf x 则则叫叫的的反反函函数数，.( )yf x 叫叫直直接接函函数

8、数11( )( )( ) ,()yf xxfyyfxxf D习习惯惯上上：sinarcsin arcsinyxxyyx 如如：记记作作：(1)定义定义1( ).xfy 记记作作: :(2)性质性质其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf (x) 单调递增单调递增1( ),yfx 存存在在且也单调递增且也单调递增 2) 函数函数( )yf x 与其反函数与其反函数1( )yfx 的图形关于直线的图形关于直线yx 对称对称 .（注意：对单值函数而言的）（注意：对单值函数而言的）107. 复合函数复合函数 1( ),yf uuD( ),ug xxD1()g DD 且且则则 ( ),yf g x

9、xD设有函数链设有函数链称为由称为由, 确定的确定的复合函数复合函数 , u 称为称为中间变量中间变量. 注意注意: 构成复合函数的条件构成复合函数的条件 1()g DD 不可少不可少. 例如例如, 函数链函数链 :arcsin ,yu 22 1,ux 2arcsin21,yxxD 32 1, 32,1 但函数链但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数不能构成复合函数 .可定义复合可定义复合函数函数23322211 1,1xx 118. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、 指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角

10、函数(2) 初等函数初等函数由由常数及基本初等函数常数及基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 例如例如 ,2xy y0,xx0,xx并并可用一个式子表示可用一个式子表示的函数的函数 ,经过经过有限次四则运算有限次四则运算和和复合复合步步骤所构成骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 .可表为可表为故为初等函数故为初等函数.,12arcsin2xy为初等函数为初等函数.yx xya sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,cscyx yx yxyx yx yxarcsin ,arccos ,arctan ,arccotyx yxyx yxlogayx 12非初等函数举例非

11、初等函数举例:符号函数符号函数sgnyx当当 x 0,1当当 x = 0,0当当 x 0,1xyo11取整函数取整函数当当 yx ,n 1,nxnnZ-4 3 -2 -1 1 2 3 41234-1-2-3-4oxy注意：注意：分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数.13 f 解解(5)f( )f 103 (10)f(7)f f (12)f( )f 123 (9)f . 6 1,1( ), ( )=_.0,1 2 xf xf f xx 设设函函数数例例则则1,1( )0,1xf xx 由由知知，( )1f x ， ( )=1.f f x则则解解3,8( )(5). (5) ,81xx

12、f xfff xx ，求求例例设设函函数数1422-cos ,0,0( ),3( )=,lg ,01-0 , x xxxf xg xx xx x 设设函函数数例例 (-2) .g f求求(-2)=4,f (-2) =g f则则1- 4= -1.解解 注注意意：( ), ( ),f x g x已已知知 ( )( )f g xg f x求求或或时时，一一般般,用用代代入入法法逐逐次次复复合合即即可可( )g x应应特特别别注注意意的的是是的的( ).f x值值域域与与的的定定义义域域的的对对应应关关系系15例例4. 设函数设函数31,1( ), ( ).,1xxf xf f xxx 求求解解 (

13、)f f x 3 ( )1,( )1f xf x( ),( )1f xf x 0 x 3(31)1x 94,0 xx 31,x 01x,1xx 161( ),( )1 ( )=0, ( )1g xg xf g xg x 1,1(0,15), x xf xx 函函数数例例 设设,2( ),2,2x xg xx x ( ).f g x求求1, x 解解1x 2-1x 1+(2- ),x0,其其它它1, 1=xx 13x3- , x0,其其它它17例例6 6. .下列各种关系式表示的下列各种关系式表示的 y 是否为是否为 x 的函数的函数? ? 为为什么什么? ?1(1)sin1yx ， 2(2)m

14、axsin,cos,0, yxxx 2(3)arcsin,2yuux不是不是40 x cos,x42xsin,x是是不是不是提示提示: (2): (2)y 18例例7.设在区间设在区间(,)( )0,f xk 内内函函数数且且当当 为为大大于于0 0的的常常1(),(,)( )( )f xkf xf x 数数时时有有则则在在内内函函数数是是( )( ).A奇奇函函数数；B.B.偶偶函函数数；C.C.周周期期函函数数；D.D.单单调调函函数数(2 )f xk1()f xk 11( )f x ( ),f x(2 )f xk( )f x(,)( )f x 在在内内函函数数是是周周期期函函数数. .解

15、解C19”定定义义“N , 0 ，0 NNn axnlimnnxa .nxa也也称称数数列列收收敛敛于于.nxa 即即从从某某一一项项开开始始，能能任任意意小小2,( )xf x （ ）当当的的极极限限定定义义定定义义X ,0,0 X( ),f xAXx lim().xfxA 二、极限二、极限03( )xxf x（）当当时时，的的极极限限定定义义 定定 义义0,0, 00 xx ( ),f xA 0lim( ).xxf xA, 0, 0 0()xx 00 xxx .)( Axf0().f xA 00()lim( ).xxf xf x 即即0()xx , 0, 0 00 xxx .)( Axf0

16、().f xA 00()lim( ).xxf xf x 即即20（5） 极限定义的等价形式极限定义的等价形式 (以以 为例为例 )0 xx 0lim( )xxf xA 0lim ( )0 xxf xA( )f xA ( (即即 = =为为无无穷穷小小00()()f xf xA000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xf xAf xAlim( )lim( )lim( )xxxf xf xAf xA213. 无穷小无穷小（1）无穷小的性质）无穷小的性质 ;sin ( )u x( );u xtan ( )u x( );u x1cosu 21;2uarctanu;uarcsinu;u

17、ln(1)u ;u1ue ;u1ua ln ;ua(1)1au;ua（2）常用等价无穷小）常用等价无穷小: 当当 时时0( )u x 2. 函数极限的性质：函数极限的性质：惟一性；局部有界性；惟一性；局部有界性； 局部保号性；归并性局部保号性；归并性.ln1uae ln(1)1aue 22（3）无穷小的比较）无穷小的比较 ;设设 ，是是同一过程同一过程中的两个无穷小，中的两个无穷小， 且且.0 就说就说 是比是比 较较高阶高阶的无穷小；的无穷小； 如果如果, 0lim 1)( o 记作：记作：就说就说 是比是比 较较低阶低阶的无穷小；的无穷小；就说就说 与与 同阶同阶的无穷小的无穷小, 如果如

18、果,lim 2 如果如果, 0lim C 3特别地特别地,若若C =1时时,就说就说 与与 是是等价等价的无穷小；的无穷小；. 就说就说 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小.记作：记作： 如果如果,0lim Ck 40 234. 两个重要极限两个重要极限 ; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程, 设设为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小5. 求极限的法则求极限的法则（1）极限的四则运算法则）极限的四则运算法则定理：定理：,)(limBxg 如果如果,)(limAxf 则则 )()(limxgxf (1)(lim)(limxgxf (2) )()(limx

19、gxf )(lim)(limxgxf (3)()(limxgxf)(lim)(limxgxf 其中其中0 BBA AB BA ()（2）数列极限的单调有界准则，夹逼准则）数列极限的单调有界准则，夹逼准则（3）复合函数的求极限法则（变量代换法）复合函数的求极限法则（变量代换法）0lim ( )xxf g x)(lim0ufuu( )ug x 令令00lim ( )xxug x 222200011limcoslimlimcosxxxxxxx如如： sinlim1xxx ?存在存在+ +存在存在= =存在存在存在存在+ +不存在不存在= =不存在不存在不存在不存在+ +不存在不存在= =不一定存在不

20、一定存在24求极限的方法求极限的方法1.利用四则法则利用四则法则2. 恒等变形法恒等变形法3.利用无穷小的性质利用无穷小的性质4.利用两个重要极限利用两个重要极限5.利用函数的利用函数的 连续性连续性 001.型型: 型型:2.4.变量替换变量替换约去零因式约去零因式 3.：通分通分 等价无穷小代换等价无穷小代换.分子分母有理化分子分母有理化,6.6.利用极限存在的充要条件利用极限存在的充要条件6. 求极限的基本方法求极限的基本方法 无穷小因子分出法无穷小因子分出法7.7.利用夹逼准则利用夹逼准则253200sin6( )6( )lim0,lim( ) 1 xxxxf xf xxx则则例例.0

21、A ； B B. .6 6； C C. .3 36 6； D D. .解解3sin6( )0,xxf xx 30sin6( )lim0,xxxf xx 0 x 其其中中 是是当当时时的的无无穷穷小小，206( )limxf xx 则则220sin66limxxxxx 306sin6limxxxx 2066cos6lim3xxx 036sin6lim6xxx 36.C2sin6( ),xf xxx 26例例2. 求下列极限：求下列极限：(1) lim(sin1sin)xxx解解sinsin2cossin22 (1) sin1sinxx112sincos22xxxx 112sincos22(1)xxxx 无穷小无穷小有界有界0 故故原原式式1212 lis n( )mixxx 令令1tx 0limt (2)sin(1)t tt 0limt (2)sint tt 0limt (2)t tt 2. 27复