第六讲四边形提高班讲义

1、第六讲 四边形热点一 计算类例1（2009东营）如图，在ABCD中，已知AD8， AB6， DE平分ADC交BC边于点E，则BE等于（ ） A.2cmB.4cm C.6cmD.8cmABCDE例2（2009年桂林市、百色市）如图，ABCD中，AC.BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A3 B6 C12 D24ADCB例3.（2009年湖南长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A2B4CDODCAB例4.（2009襄樊市）如图5，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（ ）A B C DADCECB例5（2009年甘肃白银）如图4，四边

2、形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A2B3CD例6（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形例7（2009年）如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=，则CEF的周长为（ ）A.8 B.9.5 C.10 D.11.5例8. （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是A.10B.9C.8D.6例9(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中

3、，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A、 B、 C、 D、3热点二. 命题与结论类例1. (2009年牡丹江市)如图，ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： ABCEDF例2（2009年广州市）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：_例3.（2009 黑龙江大兴安岭）在矩形中，平分，过点作于，延长、交于点，下列结论中：； ；，正确的ABCD 例4.（2009年湘西自治州）13在下列命题中，是真命题的是（）A两条对角线相等的四边形是矩形 B两条

4、对角线互相垂直的四边形是菱形C两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形热点三 动态与操作类例1（2009年甘肃庆阳）如图7，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度例2(2009年温州)在所给的99方格中，每个小正方形的边长都是1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数(注：图甲、图乙在答题纸上)【答案】解：（1）（2）例3.（2009年湖北荆州）如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点

5、D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cmB4cmC5cmD6cmNMFEDCBA例4（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由AEDQPBFC例5（2009桂林百色）如图,正方形ABCD的

6、边长为2，将长为2的线段QR的两端放ABCQRMD在正方形的相邻的两边上同时滑动如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按ABCDA滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按BCDAB滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）A2 B C D热点四 规律类 例1. （2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN=; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则AN=（用含有n

7、的式子表示）例2（2009年中山）如图所示，在矩形中，两条对角线相交于点以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形依次类推（1）求矩形的面积；（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积例3.(2009年安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_点。例4. （2009年重庆市江津区）在ABC中，BC=10，B1 、C1分别是图中AB、AC的中点，在图中，分别是AB,AC的三等分点，

8、在图（3）中分别是AB、AC的10等分点，则的值是 （ ）A. 30 B. 45 C.55 D.60 例5.（2009湖北省荆门市）如图，正方形ABCD边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为_；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为_（用含自然数n的式子表示）热点五 证明类例1（2009年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形：_，请加以证明；EBMODNFCAEBMODNFCA（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角

9、形经过怎样的变换得到？例2（2009肇庆）如图 ，ABCD是正方形G是 BC 上的一点，DEAG于 E，BFAG于 F ADEFCGB（1）求证：； （2）求证：例3（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的

10、观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3例4.（2009年烟台市）如图，直角梯形ABCD中，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE（1）求证：；（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P求证：P是CD的中点ADGECB例5（2009眉山）在直角梯形ABCD中，ABDC，ABBC，A60，AB2

11、CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。判断四边形AECD的形状（不证明）；在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“”表示，并证明。若CD2，求四边形BCFE的面积。热点六 综合类例1（2009年中山）在中，以为直径作，（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；（2）当取何值时，与相切ADBCO例2.（2009泰安）如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（A） （B）（C） （D例3. （2009年北京市）在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)

12、（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.例4（2009年铁岭市）是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接（1）如图（a）所示，当点在

13、线段上时 求证：；探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）例5.（2009江西）如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理

14、由ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM真题训练一填空题1（2009年哈尔滨）如图，在ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD.BD的中点，连接EF若EF3，则CD的长为 2（09湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了:等边三角形；等腰梯形；平行四边形；等腰三角形；圆在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 3（2009年山西省）如图，ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，则的周长是 cmACDBEO4.（2009呼和浩特）如图，四边形中，则该四边形的面积是 ABDC5（20

15、09泰安）如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 。6.（2009江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离则 度1ABC7. （2009年烟台市）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 8.（2009年天津市）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是 9.(2009年牡丹江市)矩

16、形中，对角线、交于点，于若则 10（2009年甘肃庆阳）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积= cm211（2009年长春）如图，矩形的顶点在直线上，则 度DABCml6512（2009年长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）13. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，在中，将绕点沿逆时针方向旋转得到（1）线段的长是 ，的度数是 ；（2）连结，求证：四边形是平行四边形；（3）求四边形的面积14（09湖北宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 15.（2009年莆田）如

17、图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形 ABCDDCBAOO16.(2009年上海市)17在四边形中，对角线与互相平分，交点为在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 17.(2009成都)如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若CBA=30则BEA=_ 18. (2009年安顺)若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是_度。19、(2009年鄂州)如图，四边形ABCD中，ADBC已知BCCDAC2，AB，则BD的长为_.20（2009年崇左）如图，正方形中，是边上一点

18、，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为 DCEBA21.（2009年宁波市）如图，梯形ABCD中，作交于点E，若ABCDE，则CD的长是 BCDAO（第15题图）22（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出ADBC且ABCD. 23.（2009年济宁市）在等腰梯形ABCD中，ADBC, AD3cm, AB4cm, B60, 则下底BC的长为 cm .24. (2009年达州)如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，以下四个结论： ，OA=OD ，S=S，其中

19、正确的是A. B. C. D.25. (2009年四川省内江市)如图，梯形ABCD中，AD/BC，两腰BA与CD的延长线相交于P，PEBC，AD=2，BC=5，EF=3，则PF=_26.(2009年陕PA DB F C西省) 14如图，在梯形ABCD中，DCAB，DACB，若AB10，DC4，tanA2，则这个梯形的面积是_二. 选择题1.（2009年济南）如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）A1.6 B2.5 C3D3.42.（2009年凉山州）如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ）ACDABEBCD3.（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的

20、直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是A. B. C. D. 4.（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DEAB，垂足为E，则下列结论中正确的个数为（ ）DE=3cm；EB=1cm；A3个 B2个 C1个D0个ABCDE5.（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）A1 B C D2A

21、GDBCA6（2009年广西南宁）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）ABCDABCD图27.（2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）AAOM和AON都是等边三角形B四边形MBON和四边形MODN都是菱形C四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形DBCANMO8（2009河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为，则菱形的面积为（ ）A B C D 9

22、.（2009年杭州市）如图，在菱形ABCD中，A=110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=（ ）A35 B45 C50 D55ADEPCBF10.(2009年义乌)如图，一块砖的外侧面积为，那么图中残留部分墙面的面积为A A A A11.（2009年台湾） 如图(八)，长方形ABCD中，E点在上，且平分BAC。ABCED 若=4，=15，则rAEC面积为何？ (A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。12. （2009年台湾）图(十二)中，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、 丁四个矩形，其中P在上，且：=：=4：3。ABPDC甲乙丙丁下列对于

23、矩形是否相似的判断，何者正确？ (A) 甲、乙不相似 (B) 甲、丁不相似 (C) 丙、乙相似 (D) 丙、丁相似。13.（2009年滨州）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）A矩形B直角梯形C菱形D正方形14.（2009仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，BAE30，AB，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处则BC的长为（ ）A、 B、2 C、3 D、15.（2009年郴州市）如图2是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（）A4

24、cm B6cm C8cm D10cmxyOCBA16.（2009年长春）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ）ABCD17（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A等腰梯形B平行四边形C正三角形D矩形18（2009年甘肃庆阳）如图4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设OCD的面积为m，OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）ABCD19.（2009年烟台市）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A73cmB74cmC75cmD76c

25、m80cm70cm20（2009年南宁市）如图2，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）ABCD21. （2009年重庆市江津区）如图：在菱形ABCD中，AC6, BD8,则菱形的边长为（ ）A. 5 B. 10 C. 6 D.822.（2009年长沙）如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A2B4CDODCAB23.（2009年莆田）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）QPRMN（图1）（图

26、2）49yxOA处 B处C处 D处26（2009眉山）下列命题中正确的是()A矩形的对角线相互垂直B菱形的对角线相等C平行四边形是轴对称图形D等腰梯形的对角线相等27（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB65，则AED等于 （ ） （A） 70 （B） 65 （C） 50 （D） 25 EDBCFCDA28.(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 DADEPBC29.（2009威海）在梯形ABCD中，ABCD，A=60，B=30，AD=C

27、D=6,则AB的长度为（）A9B12C18D30.（2009湖北省荆门市）等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形三 解答题1（2009年南宁市）25如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.（1）求的值；（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由ADCBEBCEDAFPF2（2009年包头）已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解

28、析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由yxO3(2009年宁德市)（本题满分8分）如图：点A.D.B.E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，ACDF，请从图中找出一个与E相等的角，并加以证明（不再添加其他的字母与线段）AFEDCB 4 (2009年达州)如图10，O的弦ADBC,过点D的切线交BC的延长线于点E，ACDE交BD于点H，DO及延长线分别交AC.BC于点G、F.(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半径. 5（2009年日照市）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接D