南工大高级线性理论——第二讲要点

1、1第二讲第二讲 变分法与变分法与最优控制最优控制要点总结要点总结2主要内容主要内容2.1 变分法概述2.2 无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2.3 等式约束最优化问题2.4 变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型（波尔扎）问题32.1 变分法概述1、泛函定义2、泛函的连续性3、泛函的极值4、线性泛函5、泛函的变分6、泛函变分的求法7、泛函变分的规则8、泛函极值的条件48 8、泛函极值的条件、泛函极值的条件泛函极值的泛函极值的必要条件必要条件：定理定理2 23 3 连续可微泛函J(x) 在x0(t)上达到极值的必要条件为：J(x

2、)在x=x0处必有泛函极值的泛函极值的充要条件充要条件：定理定理2 24 4 设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处达到极小值的充要条件为：同理，设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处达到极大值的充要条件为：5主要内容主要内容2.1 变分法概述2.2 无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2.3 等式约束最优化问题2.4 变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型（波尔扎）问题62.2 无约束最优化问题无约束最优化问题1 1、无约束固定端点泛函极值必要条件、无约束固定端点泛函极值必要条件),(),(ttxtxL问题问

3、题 2-12-1无约束固定终端泛函极值问题为无约束固定终端泛函极值问题为: :其中, 及x(t)在t0,tf上连续可微， t0及tf固定，nRtx)(求满足上式的极值轨线x*(t)。x(t0)= x0，x(tf)= xf，7fttdtttxtxLtxJ0),(),()(),(),(ttxtxL定理定理2 25 5 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，则泛函达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的。欧拉(Euler)方程边界条件0 xxLdtdL或8几点说明：几点说明：l 积分型性能指标求极值的必要条

4、件有两个：边界条件欧拉方程l TPBVP（Two Point Boundary Value Problem）问题l 欧拉方程的全导数形式02222xLxxxLxxtLxL 0 xxxxt xxLxLxLL 或9 对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。定理定理2 26 6 在n维函数空间中，若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的，则泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是曲线X(t)满足

5、向量欧拉方程0XXLdtdL其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的。),(),(ttXtXL向量欧拉方程向量欧拉方程或0XLdtdXL10向量欧拉方程向量欧拉方程向量欧拉方程可写成标量方程组0XLdtdXL0002211nnxLdtdxLxLdtdxLxLdtdxL11当极值曲线x*(t)的端点变化时，要使泛函 达到极小值， x*(t)首先应当满足欧拉方程：fttttxtxLtxJ0),(),()(0 xxLdtdL若端点固定,可以利用端点条件:ffxtxxtx)()(00确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。问题：问题：若端点可变，如何确定这两个积分常数？若端点可变，如何

6、确定这两个积分常数？2.2 无约束最优化问题无约束最优化问题2、无约束自由端点泛函极值必要条件（横截条件）、无约束自由端点泛函极值必要条件（横截条件）12根据定理定理2-7和上式，可得到端点可变时，Lagrange问题的解，除有欧拉方程外，还有横截条件：(1)始端、终端可变，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，则横截条件为：0)(*0ttxLxL0)(*fttxLxL(2) 当t0、 tf 可变，而x(t0) 与x(tf)固定时，则横截条件为：, 0*0ttxLxL0*fttxLxL(3)当t0、 tf 固定，而x(t0) 与x(tf)可变时，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上

7、滑动，则横截条件为：0*0ttxL0*fttxL横截条件总结横截条件总结13定理2-7和以上几种情况的横截条件，都可以将其推广到n维函数向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。定 理定 理 2 - 82 - 8 在n维 函 数 空 间 中 ， 若 曲 线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 的始端 X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而终端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可变的，且在曲面X(tf)=(tf)上变动，则泛函fttdtttXtXLtXJ0),(),()(达到极值的必要条件是，曲线X(t)满足向

8、量欧拉方程0XXLdtdL和横截条件0)(*fttXTLXL14 若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而是可变的，并在给定的曲面)()(00ttX上变动，其中 ，则同样可以推导出始端的横截条件为： Tntttt)(,),(),()(0020100)(*0ttXTLXL15主要内容主要内容2.1 变分法概述2.2 无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2.3 等式约束最优化问题2.4 变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型（波尔扎）问题16拉格朗日乘子法（Lagrange factor） 步骤如下：

9、作一个辅助函数 F=g(x,y)+f(x,y) 式中，是待定常数，称为拉格朗日乘子；0, 0yFxF(2.4) 联立求解方程（2.2）和（2.4），求出驻点（ x0 ，y 0）和待定常数值; 判断（ x0 ，y 0）是否是函数g(x,y)的极值点。（2.2）0),(yxf约束条件约束条件求辅助函数F的无条件极值，即令Lagrange函数函数等式约束条件下的函数极值问题等式约束条件下的函数极值问题 无约束条件的函数极值问题无约束条件的函数极值问题172.3 等式约束最优化问题等式约束最优化问题1 1、等式约束固定终端泛函极值必要条件、等式约束固定终端泛函极值必要条件问题问题 2-22-2等式约束

10、固定端点泛函极值问题为等式约束固定端点泛函极值问题为: :情况下的极值轨线X*(t)。（2.5）求泛函fttdtttXtXgJ0),(),(在约束方程为, 0),(),(0ftttttXtXf和端点条件为ffXtXXtX)()(00（2.6）向量形式向量形式18【解决方法】 引入拉格朗日向量乘子，将等式约束泛函极值问题转化为无约束泛函极值问题。 步骤如下：（1）构造辅助泛函 其中(t)= 1(t), 2(t), m (t)T是m维待定向量乘子。（2.7）无约束条件的泛函（无约束条件的泛函（2.72.7）极值问题）极值问题有约束条件（有约束条件（2.62.6）的泛函（）的泛函（2.52.5）极值

11、问题）极值问题dtttXtXftttXtXgJfttT0),(),()(),(),(019（2）令 写出欧拉方程 0XXLdtdL),(),()(),(),(ttXtXftttXtXgLT（3）联立求解欧拉方程（2.8）和约束方程 （2.6），可以得到n维向量函数X(t)和m维向量乘子 (t)。（4）利用端点条件确定欧拉方程解中的2n个积分 常数，得到候选函数X*(t) 。（5）检验候选函数X*(t)是否使泛函（2.7）达到极值，以及是极大值还是极小值。（2.8）20定理2-92-9 如果n维向量函数 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T 能使泛函fttdtttXtXgJ0),(),

12、(在等式约束, 0),(),(0ftttttXtXf条件下达到极值，这里f是m维向量函数， m n，必存在适当的m维向量函数 (t)= 1(t), 2(t), m (t)T 使泛函dtttXtXftttXtXgJfttT0),(),()(),(),(0达到无条件极值。即函数X (t)是上述泛函J0的欧拉方程0XXLdtdL的解，其中),(),()(),(),(),(ttXtXfttttXtXgLT而X (t)和(t)由欧拉方程和约束方程共同确定。212.3 等式约束最优化问题等式约束最优化问题2 2、等式约束自由端点泛函极值必要条件、等式约束自由端点泛函极值必要条件如何求解？如何求解？22主要

13、内容主要内容2.1 变分法概述2.2 无约束最优化问题无约束固定端点泛函极值必要条件无约束自由端点泛函极值必要条件2.3 等式约束最优化问题2.4 变分法求解最优控制问题引入哈密顿函数求解拉格朗日问题求解综合型（波尔扎）问题232.4 变分法求解最优控制问题变分法求解最优控制问题 当状态变量和控制变量均不受约束，即X(t)Rn，U(t) Rm时，最优控制问题是个在等式约束条件下求泛函极值的变分问题，因此，可以利用在上一节中介绍的拉格朗日乘子法来求解。 在这一节中，利用拉格朗日乘子法求解最优控制问题时，将引入哈密顿（Hamilton）函数，推导出几种典型的最优控制问题应满足的必要条件。242.4

14、 变分法求解最优控制问题变分法求解最优控制问题1 1、引入哈密顿函数求解拉格朗日问题、引入哈密顿函数求解拉格朗日问题),(),()(ttUtXftX(2.10)初始条件00)(XtX(2.9)终端条件：tf固定，X(tf)自由和性能泛函fttdtttUtXLJ0),(),(2.11)给定系统状态方程要求从容许控制U(t) Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（2.9）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函（2.11）达到极小值。这是拉格朗日问题，又称为积分型最优控制问题。问题问题 2-32-325 解：将状态方程 （2.9）改写为0)(),(),(tXttUtXf(2.

15、12)最优控制问题 在微分方程（2.12）约束条件下求泛函 极值的变分问题。fttdtttUtXLJ0),(),(),(),()(ttUtXftX26利用拉格朗日乘子法，引入n维拉格朗日乘子向量 (t)= 1(t), 2(t), n (t)T (t)称为协态变量，以便与状态变量相对应。fttTdttXttUtXftttUtXLJ0)(),(),()(),(),(0(2.13)dtttUttXtXFftt0),(),(),(),(求泛函 在等式 约束条件下的极值问题 求泛函（2.13）J0的无约束条件的极值问题。fttdtttUtXLJ0),(),(构造辅助泛函：构造辅助泛函：0)(),(),(

16、tXttUtXf27定义定义哈密顿（哈密顿（HamiltonHamilton）函数）函数为：为： ( ), ( ),( ), ( ),( ), ( ) ( ),( ), TH X tt U t tL X t U t tt f X t U t t)()(),(),(),(),(),(),(),(tXtttUttXHttUttXtXFT)()(),(),(),(ttXttUttXHT)(),(),()(),(),(),(),(),(),(tXttUtXftttUtXLttUttXtXFT辅助泛函辅助泛函标量函数标量函数哈密顿函数与辅助函数之间关系为：哈密顿函数与辅助函数之间关系为：标量函数标量函数

17、28000UFdtdUFFdtdFXFdtdXF将 代入欧拉方程，得0),(),()()(UHttUtXfHtXXHt 协态方程（共轭方程）状态方程规范方程（正则方程）控制方程l利用变分法写出辅助泛函利用变分法写出辅助泛函 的欧拉方程的欧拉方程),(),(),(),(ttUttXtXF)()(tXtHFT29定理定理2-102-10 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ),(),()(ttUtXftX为将系统从给定的初态为将系统从给定的初态00)(XtX转移到终端时刻转移到终端时刻 tf固定，固定，终端状态终端状态X(tf)自由自由的某个终的某个终态，并使性能泛函态，并使性能泛函fttdtt

18、tUtXLJ0),(),(达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：达到极小值的最优控制应满足的必要条件是： 30（1 1）设）设U*(t)是最优控制，是最优控制， X*(t)是对应于是对应于U*(t)的最优轨线，则的最优轨线，则必存在一与必存在一与U*(t)和和X*(t)相对应的相对应的n维协态变量维协态变量 (t) ，使得使得X(t)与与 (t) 满足规范方程满足规范方程),(),()(ttUtXfHtXXHt)(其中其中),(),()(),(),(ttUtXftttUtXLHT（2 2）边界条件为）边界条件为00)(XtX0)(ft（3 3）哈密顿函数）哈密顿函数H H对控制变量对控制变量

19、U(t)（t0ttf）取极值，即取极值，即0UH（4 4）若）若H H不显含不显含t t时，则有时，则有 H(tH(t)= )= 常数常数 t t0，tf ;即：当即：当H H不显含不显含t t时，哈密顿函数时，哈密顿函数H H是不依赖于是不依赖于t t的常数。的常数。312.4 变分法求解最优控制问题变分法求解最优控制问题2 2、求解综合型（波尔扎）问题、求解综合型（波尔扎）问题),(),()(ttUtXftX(2.10)初始条件00)(XtX(2.9)和性能泛函(2.14)给定系统状态方程要求从容许控制U(t) Rm中确定最优控制U*(t)，使系统（2.9）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函（2.14）达到极小值。波尔扎问题，又称为复合型最优控制问题。问题问题 2-42-4fttffdtttUtXLttXJ0),(),(),(注意：注意：给定的端点条件不同，上述最优控制问题的解将不同。给定的端点条件不同，上述最优控制问题的解将不同。321.1.终端时刻终端时刻tf固定，终端状态固定，终端状态X(tf) 自由的波尔扎型最自由的波尔扎型最优控制问题的解应满足的优控制问题的解应满足的必要条件必要条件为：为：0),(),()()(UHttUtXfHtXXHt边界条件和横截条件边界条件和横截条件，即，即协态变量的终端值：协态变量的终端值：)(