2022年高考数学冲刺讲义导数-不等式的证明（教师版）

1、专题1.16导数-不等式的证明考向解读1.高考对本部分的考查一般有三个层次：(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将 导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2.利用导数证明不等式问题，方法如下：(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或x)<g(x)转化为证明/(x)-g(x)>0 (或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数(x) = /(x)-g(x)；(2)适当放缩构造法：一

2、是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助 函数.最新模拟题赏析1 .已知函数/5)=靖-公2+1(4为常数).(1)若曲线y = /(x)在x = l处的切线方程为y = bx + 2,求a, b的值；(2)讨论函数广(幻函数的单调性；(3)当a = l, x>0时，求证：f(x)>(e-2)x+2.【试题来源】2021届高三数学二轮复习【答案】(1)a = l,力=e2； (2)答案见解析：(3)证明见解析.【分析】(1)算出曲线y = /(x)在x = l处的切线方程，然后与卜=法+ 2比较系

3、数即可;(2)分 aVO 和 a>0 讨论即可：(3)构造函数 0(x) = /(x)-(e-2)x-2 = e'-x2-(e-2)x-l , 利用导数证明。(x)N0即可.【解析】(I) f'(x) = ex lax . f (1) =e 2a, f (1) =e a + l,.曲线 y = f(x)在 x = 1 处的切线方程为 y-e+a-l=(e-2a)x-e + 2a ,即 y = (e-2a)x + a + l,由题苞：e-2a = b, a + l = 2, a=l, b = e2 ：2 2) ,/ fx) = ex - lax ,设 hx) = fx),h

4、x) = e' -2a ,当a 4 0时，”(x) > 0在。上恒成立；当a>0时,令(x)>0,即/一2a>0，解得x>ln(2a),令(x)<0,即 e"一2a <0,解得x<ln(2a).综上所述，当aVO时，函数/'(幻在R上单调递增；当a>0时,函数广(x)在(ln(2a), +oo)上单调递增,在(一,皿)上单调递减. (3)证明：4-<Kx) = /(x)-(e-2)x-2 = ex -x2 -(e-2)x-l,则 “(x) = e' -2x-(e-2),令"x) = &quo

5、t;(x),则<r) = ex-2,令"x)<0 得 0<x<ln2令 f'(x) >0 得x> ln2 ,«x) = "(x)在(0,历2)上单调递减，在(In 2,+8)上单调递增.r(0) = "(0) = 3-e>0 , t (1) =" (1) =0 , 0<In2< 1,r(ln2) = (In2) <0, r.存在 x()g(0,1)使"%) = "() = 0,且当 x (0,小)或 x (1, +oo)时，f(x) = "(x)

6、> 0 ,当xeOto，1)时，“x) = "(x)<0,.。(%)在(0,3)上递增,在(, 1)上递减，在(1,2)上递增，又火 0) = 0 (1) =0.所以有：0(x)2。，即/1) 一 (e 2)x-2N0, f(x) > (e- 2)x + 2.【名师点睛】证明不等式/(X)> g(x)或/(X)< g(x)转化为证明f(x) -g(x) > 0或 f(x)-g(x)<0,进而构造辅助函数(x) = /(x)-g(x).2 .已知函数f(x) = e*-ac-l(awR).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对一切实数x

7、wR,都有f(x).O恒成立，求。的取值范围.3 3) 求证：(-),1 + ()" +. + (-)w + ()" < ", hgN* . n nn n e-l【试题来源】2021届高三数学二轮复习【答案】(I)答案见解析；(2) I； (3)证明见解析.解析（1）由 fx） = ex -a,当 a, 0时,显然 f(x) = ex - a.0 ：当。>0时，山/'。) = 0得x = lna,显然当x>lna时，/'(%)>0；所以当4,0时，在R上单调递增；当a>0时，/(x)在(Ina,-)上递增；(2)由(1

8、)知，当时，f(x)递增，旦/(-1)=2+。-1<0,不合题意，舍去. e当 a>()时，由(I)知，当 xvln。时，r)v。，当 x>lna时，fx) > 0所以当x = lna时，有极小值也是最小值，即/(x)z/ / = f(nci) = a-ana- ,依题意。一alna-1.0,再令g (.a) =a-ana-» a>0,则g' (a) =-na.于是g' (a) =0时，a = l,同理知当。=1时，S (a)有极大值也是最大值，所以g (a) ,g (1) =0比较®式可得，g()=0,即a = l为所求.(3

9、)由(2)知对VxeR,有e" + l,于是令x =2,£N+，iwN工,，则有e “值一,=七10 n nBPWe".(r，即竺工(当且仅当i = 0时取等号) nn所以+()" +.+(-)" +()" <()" 1 + ()" 2+(-)° = -_yn nn n e ee e le即(2)"+(2)”+(r+(-r < 匕: <=,即证.n nn n l e le e1【名师点睛】解决f(X).O恒成立问题般转化为/(尤)min"；关键点【名师点睛】第三问只需

10、让左边的通项小于右边的通项，借助于题目中的不等式进行赋值，转化为生工,e是关键.n3.已知函数/(外=蚂也.ax(1)讨论函数/*)的单调区间;(2)若当a = l时，F(x) = 2/(x)/"> + 2,求证：F(x)>0. x【试题来源】江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次 联考【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(I)对函数/(x)求导，分a >0和。<0两种情况，结合函数的定义域得出函数的 单调性；(2 )要证F(x)>0 ,由于x>0 ,即证21n胧符+9>0 令Inxm(x) =

11、 2 In xe + 9(x > 0),对函数求导并化简，构造(x) = (I - In x) In x+x二次求导， 令分子为。(%)=工-2111% + 1,利用导数判断出单调性和最小值，得出函数人(x)的单调性， 由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证. 【解析】(1)尸(幻=匕竺hax当a>0,定义域为(0,+«0,令/'(x)>0,得0<x<£, /'(x)<0得x>£ aa /(X)在(0,'单调递增,在(：+oo)单调递减当a<0,定义域为(一8,

12、0),令r(x)>0,得x<£, r(x)<0得£<x<0 aa：. f(x)在卜8,'单调递增，在(：，0)单调递减(2)要证/。)>0,x>0.即证21nAe?+9>0.In”令 m(x) = 2 In xe r + 9(x > 0) , 则Inx叫Inx 12emx) = 2e x-Inx4-2e r 一二lnx(l-lnx) + x ,x x、/ i 、】, » 、 1 2lnx . x-21nx + l设(x) = (l-lnx)lnx + x ,贝iJR (幻=+ 1=,X XX2 x-2

13、令奴x) = x-21nx+l ,其中x>0，(px) = 1一一 =.X X "10<xv2时，0(x)vO,此时函数。O)单调递减;所以，e(x)min=9(2) = 3-2ln2>0,则对任意的x>0，h'(x)>Q,所以，函数/2(x)在(0,+8)上为增函数,因为叱卜i； K + ；<0由零点存在定理可知，存在/ e使得(毛) = (l-lnxo)ln七+=0,In xn可得一1 =%In x0 -1当0<x<3时,h(x)<0,即F'(x)<0,此时函数尸(x)单调递减;当x>x()时,h(

14、x) > 0, KJ F'(x) > 0 ,此时函数尸(x)单调递增.3(g、.m(x)min=m(xo) = 2e& lnx0+9 = 2elnJi,-1 lnx0+9 = lnx0 2eln，b-2 + 、In xo令t = lnXo g (-In2,0),-J- 9,2 9p(0 = 2e-+? pW = -e-<0.则函数P在re (-In 2,0)时单调递减,9/ 、所以，p(f)< p(Tn2) = 2e M2+2<0.所以，mO).="(垢)>。In 2因此，对任意的x>0，m(x) >0 ,即R(x)&g

15、t;0.In Y 4- /74.已知函数/(幻=止二，曲线y = /(x)在点(1J)处的切线方程为y=x+5. x(1)求。，。的值；(2)证明：(e* l)xN4(x)-2.【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】(1)a = 3, h = -2； (2)证明见解析.【分析】(1)根据切线方程，可得/= 5 +。，f'W = b,对/(x)求导，根据导数的几何意义，可得/'表达式，将户I代入/(x),可得/(I),即可求得。，。的值；(2 )将题干条件(er-l)x#(x)-2 等价于 xex-x-lnx-l>0，设g(x) = xex -x-l

16、nx-l(x>0),求导可得 g'(x) = (x + l) el | ,设(x) = e" :(x>0),k x)x可得力(X)的零点X即可得g(x)的单调区间和极值点，进而可得g(x)的最小值g(xj，化简整理，即可得证.【解析】(D由切线方程可得/= 5 + b, f(t) = b./(x)定义域为(0,+8)，/(x)=1-lnX.X所以/(l) = a = 5 + b, fl) = -a = h,解得 ” =3, b = -2.(2) (e*TxN4(x)-2等价于把x_x_lnx 120设 g(x) = xe' - x - In x - l(x

17、 > 0),贝I g'(x) = (x + l)(e" 一!).设 /z(x) = ev-(x>0),则函数 /z(x) = e* -',在(0, +oo)单调递增， XX因为 (g) = "一2 < 0，爪l)= e l>。, 所以存在唯一 X e ,使人(占)=().因为g'(x)符号与符号相同，所以当xe(O,内)时，g'(x)<0,当xe(x，+oo)时，g'(x)>0.故g(x)在(0,%)单调递减，在(石，田)单调递增.所以当x =%时，g(x)取得最小值g(xj，由() = 0得e&#

18、39;=,从而 1nxi =一再,演故g(x)2g(xJ = X|eW -5-In% -1 = 0.所以(e* -l)xN4x)-2.【名师点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极(最)值的方法，并灵活应用，难点在于需找到力(x) = e' -的零点，可得g(x)的极值点，进而求得g(x)的 x极小值，即为最小值，即可得证，考查计算化简，转化化归的思想，属中档题.5 .已知函数x) = 2x+ln(2xl).(1)求/(x)在x = l处的切线方程；(2)求证:/(x)W(2x-l)e2i (e为自然对数的底数).【试题来源】陕西省西安市八校2021届高三下学期第二次联

19、考【答案】(1)4x-y-2 = 0; (2)证明见解析.【分析】3)求出/、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；令f = 2x1, 构造函数g(f) = -f hV1 ,利用导数计算得出g(“血=0,即可证得不等式成立.【解析】(1)."(x) = 2x+ln(2x-l), .r(x) = 2 + ,则/(1) = 2, /,(1) = 4, 所以，曲线y = /(x)在x=l处的切线方程为y2 = 4(%-1),即4x-y -2 = 0；(2)令r = 2xl>0,要证/(x)W(2x-1k21,即证r+i+in/wre'，其中f>0，构造函数g(f) =

20、fdT_ln._l,其中f >0, g'(r) = « + l)e' _11+ ；) = « +1)/令(p(t) = e' ,其中/>0,则e'(r) = e'+产>0,所以，函数夕(。在(0,+8)上单调递 增.因为夕(g = &_2<0 , (p(l) = e-l>0,所以，存在使得*(办)=/°一； = 0,即/。=1,当0<，<"时，0(/)<0,即g'<0,此时函数g(/)单调递减；当，>"时，6(r)>0,即g

21、'(t)>0,此时函数g(。单调递增.所以，g «)而1,=g (办)=他'" 一 In a 一 In 4 一 1 =Tn ("'0) 一 1 = 1 - 1 = 0 , 故所证不等式成立.6 .已知函数/(x) = ae、+sinx+x, x«0,句.(1)证明：当。=一1时，函数/(x)有唯一的极大值点；(2)当一2<。<0时，证明：/(x)(万.【试题来源】江苏省百师联盟2021届高=下学期3月摸底联考【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)求得/'(X),利用导数分析函数/(x)

22、的单调性，结合零点存在定理可证得结 论成立；(2)构造函数(x) = ae*+sinx+x万，利用导数证得(6叽* <(),即可证得 结论成立.【解析】(1)当a = -l 时，/(x) = x+sinx-e，/,(x) = l+cosx-eA,因为xe(),4,所以l+cosxN(),令g(x) = l+cosx-g'(x) = -e*-sinx<(),所以g(x)在区间0,句 I二单调递减.1.1g(0)= 2-l = l>0. g(7T)= _/<(),所以，存在占e(o,4),使得/'(x0)=o,且当0<x<x(j时，/,(x)&g

23、t;0；当x()<x<乃时，/,(x)<0.所以函数/(x)的递增区间是(),/,递减区间是所以函数/(X)存在唯的极大值点：(2)当一2<。<0时，令(x) = ae*+sinx+x-4,则'(x) = ae*+cosx+l,"(x) = ae'-sinx<0,所以,函数P(x)在区间0,句上单调递减,因为'() =a +2>(), ”(万)=四"<(),所以，存在小(0,万)，使得'=0,即ad+cosr + l = 0，且当o<x<r时，'(x)>0：当时，&qu

24、ot;(x)<0.所以函数(X)在区间0,4 k是递增函数，在区间，司上是递减函数.力(x)max =(')= / +sinr + f 万，f (),因为 ae' + cos Z +1 = 0 > 只需证。(，)=sin t cos t + f 1 万 <。即可,夕'(7) = cosf+sinf+ 1 = sinf+(l+cosf)>0 ,所以，函数在区间(0,乃)上是增函数，0。)<夕(4)=(),即/(X)<7T.7 .已知函数/(x) = l + (a + l)x+lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对任意x>

25、0,求证：+ l + (a + l)x>/(x).【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考【答案】(1)答案见解析：(2)证明见解析.【分析】(1)求导/x) = " + +!="+ 1 .分和a<-l,分别令XX/'(x)<()求解.(2)将不等式普+ 1 +2 ex(6/ + l)x> /(x)» 转化为下lnx>0,令g(X)= 3h一 In x,用导数法证明g(X)加,“ > 0即叽 e x【解析】由题意得，/(力的定义域为(0,+8), /'(无)= "+ += (巴+1凶1， X X

26、当时，r(x)>0恒成年，所以/(x)在(0,+8)上单调递增.当“<一1 时，令/"(x)>0,解得x<-；令r(x)<0,解得x>-, a+1a + 1所以/(X)在(0,一占)上单调递增，在(一止丁+)上单调递减.2er2ev(2)要证W + l +即证彳.J lnx>0.xeex人 /、2 eAm,，/、2(xl)eA e2x令g(x) = FInx,则g(x) =2e令 r(x) = 2(x-l)e* -e2x,则 r(x) = 2xex -e2,易得r'(x)在(0,+«?)上单调递增，且r'(l) =

27、2e-e2<。/(2) = 3e2>0,所以存在唯一的实数%e(l,2),使得r'(Xo) = O,所以r(x)在(0,x()上单调递减，在(%,+8)上单调递增.因为r(0)<0, r(2) = 0,所以当r(x)>0时,x>2；当r(x)<0时,0cx<2,所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,口)上单调递增，所以g(x)Ng(2)= lln2>0.2 ex?eA综上，-y Inx>0 印 + l + (a + l)x>/(x).e xxe【名师点睛】利用导数证明不等式，常构造函数次幻，将不等式转化为3(贡)>

28、0(或V0)的形式，然后研究以2的单调性、最值，判定矶x)与0的关系，从而证明不等式. 28 .已知函数/(x)=二：为R上的偶函数. + ae '(1)求a的值，并求出/(x)的最大值；(2)若对任意xwR恒成立，求实数4的取值范围；(3)设。应>°，且，+ q = l,求证：研，【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟【答案】a = l, /(X)的最大值为1； (2) 2<-; (3)证明见解析.2【解析】(I )因为函数/(%)=-为 R上的偶函数，所以e-ae/ 、2,、2/(-1)=-Tj= /(1)=tf&

29、#187; 即 el +ae = e-i-ae 所以a = l,e + ae eaef(x=2 因为ex+e-x>2>当且仅当"即x = °时等号成立， e + e所以x)的最大值为1.(2)山题意知，/tF恒成立，只需；1炉4m ,2 ，恒成立, e + ee + e设 g (x) =/b? In 2 + In + ex ,由于g(x)为偶函数，只需xNO时g(x)w。，而g(o) = o，'("=矢合 + 2" 9(。) =。，.、=-_- + 2A = -+ 22<1 + 2A加 x) 777 + 2，1e2'+e

30、-2，+2，当;IWL时，w,(x)<0,对 Vx>0, g'(x)单调递减，Vx>0, g'(x)Wg'(O)= O,对 Vx>0. g(x)单调递减,所以VxNO, g(x)MO恒成立.当A NO时，加(x)NO,对Vx>0, g'(x)单调递增,Vx>0. g'(x)之g'(O) = O,对 Vx>0. g(x)单调递增,Vx>0. g(x)NO恒成立,不成立.1( 1 -J22 + 1-1-A |wf(x)>0,当一士<2<0时，当xw 0,-ln-时,222(1 -Jia

31、+1 -1 - 2,xe 0,-ln 时，g'(x)2g'(0) = 0, g(x)单调递增, 2A)xe+；'.时，g(x)2g(O)= O,不成立，2/I(3)设(x) = ln由对称性,只需XN0时()«0,pepq +q疯，"(0) = 0,所以xNO, '(x)递减，h'(x)<h'(o)=o,x>0, /z(x)递减，A(x)</i(0)=0,不等式得证.(名师点睛】本题考查恒成立和证明不等式的问题，关键点是构造函数利用函数的单调性 和最值解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力及推理能力和计算能

32、力，本题有一定的 难度.9.已知函数fix)=eK, g(x)=2ax+1.(i)若yu)力a)恒成立，求a的取值集合；(2)若a>0,且方程/W-g(x)=O有两个不同的根xi,也，证明： '<】n 2a.【试题来源】广东省湛江市2021届高三一模【答案】(I)(2)见解析【分析】构造函数“x) = /(x) g(x) = "-2ax-l,求导，分类讨论得函数最值即e'1 = 2ax, +1可求解；(2)由题意得v 1Ie'2 = 2ax2 +1方价i止明伍xje 2 <*F_,令空> o ,构造函数g (，) = e" -

33、 1 - 2k'求导证明即可【解析】(I)令(x) = /(力g(x) = "-2dx1, u (x) = ex -2a当a40, '(x)>0恒成立,“(x)在R上单调递增,w(0)= 0,当xvO (x)vO不合题 意，故舍去当 a>0, u (x) = 0 则 x = ln(2a),故当 xvln(2a), w (x)<0 , (力单调递减：当 x> ln(2a), w (x)>0： (x)单调递增，故(工)加=w(ln(2) = 2a-2tzln(2a)-l>0 令(x) = x-xlnx-L."(x) = -ln

34、j = O,j=l,故(x)在(0,1)递增，在(L”)递减， 故 /?(x)</z(l) = O,即 7?(x) = x-xlnx-l<0, B|J 2a-2an(2a)- <0 ,故 2a = 1 即 a = g,故a的取值集合为；.(2)方程Ag(x)=o有两个不同的根X|, X2A> = 2ax,+l c不妨令加<3.< r2。=.e 2 = 2ax2 +1 x2 -x若证"+ " vln 2a.即证e' <£-«(x2-x,)e 亏(*-e* oR-xJe亍 <e'-1令t =&g

35、t;0 ,即证- 1 > 2tef * 令g(。= e' -1 -2勿，g (z) = 2d (d T 1)因为d>/ + l，故g'(/)>(),故g(。单调递增，g(f)>g(O) = O得证【名师点睛】本题关键是利用eXl = 20rl +1eX1 = 2ax2 +12a =-.等价证明x2 一 X|(x2 2构造函数证明10.已知函数 f(x) = xnx-ax2 +x(。e R).(1)证明：曲线y = /(x)在点(1J)处的切线/恒过定点:(2)若f(x)有两个零点%,占，且七2为，证明：Jxj2 +xj -. e【试题来源】广东省广州市2

36、021届高三一模【答案】(I)证明见解析：(2)证明见解析【分析】(1)求出函数在X = 1处的导数，求出7(1)，即可求出切线方程，得;II定点:山题可得In X +1 = oTjIn x2 +1 = ar2可得 +2 (X1+X2)lnt. 2In xtx2 +2 = XXzfIn%/ + 2=,构造函数g(r)=乜可牛，二次求导得出g(f)单调递增，即可求出为天F，再利用基本不等式即可证明.e【解析】 f'(x) = nx-2ax+2,则/'(1) = 2%，即切线斜率为220,又/(1) = 1一。，则切线/的方程为丁一(1一。)=(2-2。)(犬一1),即y =(2-

37、2a)可得当x 时，y = 0,故切线/恒过定点(；,0(2) ,小超是f(x)的零点，/2E，且再AO,/。，x In x -OTj2 + 再=0 x2 In x2 -ar22 +x2 =0即nx+=ax In x2 +1 =3_ In + In x2 + 2 _ In - In xxX. +x2(x1 +x2)ln In + 2 =，"为令，=二，则，2,则Inxx2 +2 =, 玉t .,、(z + l)lnr rH t-2nt令8(,)=7丁，则g'S= J 八2 .(i)令2hv,则/ J：>o,则(。单调递增， .A(r)>/?(2)= |-21n2&

38、gt;0,即g'(f)>0,则g(。单调递增， .g(f)>g = 31n2,88/. nxx2 +2>31n2 ,即 In% >31n2-2 = In,即xx > , e" e则Jx： + “2?SxW(由于王工工2，故不取等号)，得证.【名师点睛】本题考杳利用导数解决双变量问题，解题的关键是将其转化为 1nxM? + 2= <；1),利用导数求出单调性，得出±±>提.11.已知函数f(x) = x2网二一a.X(1)若/(x)N0,求实数a的取值范围；(2)若函数/(x)有两个零点厢,证明：x,x2 <

39、1.【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷(山东高考专用)【答案】(1)(-oo.il； (2)证明见解析.【分析】(I)利用导数研究/(x)的单调性，求得f(x)的最小值，由此列不等式，解不等式求得。的取值范围.(2)利用构造函数法证得>0,结合勺单调性 kx2 7证得”2<1.G 1 »-» V【解析】(1)函数/'(©=/一一。的定义域为(0,+8).X小)=2.2(1门)=2(/ + 1). X2X2设 r(x) = x3 + lnx -1,所以 r'(x) = 3x2 + >0 , x所以函数r(x) = *3 +

40、 In x 1隹(0, +8)上单调递增.又"1) = 0,列表如下：X(0,1)1(L+OO)fx)-0+/(x)极小值/所以当x = l时，函数/。）= /一2皿一。取得最小值为了=1一% X因为/（x）»0,即1一。20,所以aVl.所以。的取值范围是（2）不妨设.山（1）可得，函数/（X）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.所以0<占<1<*2，0< <1.因为/(xJ = /(毛)=°，所以/（尤1）一/X2 7X2 J2 In x9 .)设函数 g(x) = x-'-21n尤(x> 1), x则

41、gx) = l + 4- = 生上>0(x> 1)，函数g。)在(1,y)上单调递增. X X X所以且（工2）=12 一丁 一2111工2 > g（l） =。,所以>0, X2 7又函数/(幻=/一21吆一。在(0/)上单调递减.所以0<演<一<1,所以用马<1.名师点睛】如果求一次导数无法确定函数单调性,可考虑再一次求导来确定函数的单调性.12.已知函数f(x) = x-'-sinx.(1)证明：工>0时/(*)<0;(2)证明：之2 时，sin - 4- sin + + sin > +.12 n 2 3 n【试题来

42、源】河南省非凡20202021学年高三(3月)调研考理数试卷【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.分析(I)利用导数分析函数/(X)在区间(0, +8)上的单调性,可得出/(x) < /(0)= 0, 即可证得结论成九(2)由(I )得出/+ /(£| +£| + /£)<0 ,可得 sin；+ sin? + sin，>( + ： + ?.+，一：/； +不+而+工利用放缩法得出当 N 212/1 2 3 nJ 22n")1 1 1 1 11 1时/(正而=二7一/可证得户+齐+系+7<2,代入不等式il算即可证得结 论成立

43、.【解析】(1)因为/(x) = x-5-sinx,则/'(x) = l-x-cosx,设g(x) = /'(x) = l-x-cosx,则 g'(x) = sinx-lW。，故g(x)在(0,+e)上为减函数， 可得g(x)<g(0) = 0,即/'(x)<0,故/(x)在(0,+助卜.为减函数，故/(x)</(0)= 0；(2)由(I)知x>0时/(x)<0,可得+ /(g)<0sin- + sin- + - + sin-sinl + sinl + - + sinl> 1 + 14- +11111 1/?<1-

44、2 + 2-3+1111c所 以， -H7 H;1- < 2 >+口x2 = I 2 3' n因此，sin+ si/ + si/> l + ' + L 12 n 2 313.已知函数/(x) = e*T-lnx-1.(1)判断x)的单调性；(2)若方程/(x) = ar-a-l(a>0)有唯一实根与，求证：1</<2.【试题来源】全国百强名校“领军考试”2020-2021学年高三下学期3月【答案】 /(X)在(0,1)上是减函数，在(1,e)上是增函数；(2)证明见解析.【分析】(1)求得r(x) = ei-J 分析/'(x)的符号变

45、化，由此可得出函数x)的单 调递增区间和递减区间；(2)设g(x) = /(x)tzx+a + 1,利用导数分析函数g(x)的单调性，根据已知条件得出g(x)mm =g(0 = °，其中，为函数g(x)的极小值点,可得出消去"可得出 (2T)e'T-lnr + - = 0,构造函数/z(f) =(2T)e'Tlnf+y(f>l),分析函数(f) 在区间(1,+«)上的单调性，结合零点存在定理证得l<f <2,即可得出1<小<2 .【解析】因为/(x) = ei-lnx-l,所以尸(力=/-|一7贝ij/(x) = ei

46、+F>0, 所以，函数/'(X)在(0,+8)上是增函数，且/'(1) = 0,所以，当xe(O,l)时，/'(x)<0；当xe(l,+oo)时，f'(x)>0.所以/(X)在(0,1)上是减函数，在。,转)上是增函数；(2)设 g (尤)=f (x)tzx+a +1 = e* _In x_ux+a,则 g' (x) = e* _ a , 因为 g'(x)是增函数，又 g'(l) = -a<。, g'(a + l) = e"-a> ea-a>G, 所以存在唯一的，«l,+8)

47、,使得g'=0.当x«0j)时,g'(x)<0,此时，函数g(x)单调递减;当XG&+O0)时,g'(x)>0,此时,函数g(x)单调递增.所以，g(以Ln = g(t) = dT-lnt-af+a.方程/ (X)=一。一 1有唯一实根/，则% =,且卜/(?=：,即一丁”=。,消去4得(2T)eJnf + X = O,设(r) = (2_f)e'T 山-(r> 1),则'(，) = (l_f)(e'T +")<0 ,所以，函数(。在(l,+«0上是减函数，因为(1) = 1>0

48、, /i(2)= -ln2 + |<0,所以BP 1 <x0 <2 .名师点睛利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基 本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体 现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题：(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出a = g(x),将问题等价转化为直线丁 =。与函数y = g (x)的图象的交点问题.14.已知函数尸(x) =Inx ax x+1(1)设函数Mx

49、)=(x-1)尸(x),当 a = 2时,证明：当 X>1 时，h(x)>0；(2)若b(x)>0恒成立，求实数。的取值范围；(3)若。使/(x)有两个不同的零点%,工2,证明：2，/2一2"上一丹|，【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试 【答案】(1)证明见解析；(2) a<2：(3)证明见解析.【分析】当a = 2时对(x)求导，证明x>l时，'(x)>0即可.(2)设函数x) = lna(x-l) x-x+1根据函数的单调性判断Inx与“(”一1)的关系,根据X+ 1尸(x)>0恒成立,确定a的取值范围:(3

50、)根据函数的单调性求出/2-4<与一王<0"-6-",得到 t2-ti = +疗-町=2la2-2a ,证明结论成、7：即可.【解析】(x) = (x-l)(警一白) 人 k 人I 1 J当 a = 2时，/?(x) = (x-l)Inxx-1=Inx x + 1 J2(m-1)x +12(x + l)-2(x-l) (x + 1) -4x(x + 1)2x(x + l)2x(x + l)2当x>l时，(x)o,所以(“在。,田)上为单调递增函数, 因为(1) = 0,所以(力力(1) = 0,(2)设函数x) = lnx-也二则广(力二叮2°-

51、；!无上1 x + 1x(x+l)令 g(x) = f+2(la)x+l,当 aWl 时，当 x()时，g(x)。,当 l<aW2 时，A = 4«2 - 8fz < 0.得 g(x)N0,所以当a«2时、f(x)在(0,+8)上为单调递增函数，且/(1) = 0,所以有一/卜)>0，可得/(x)>0. X1当a>2时，有4 = 4/-8a>0，此时g(x)有两个零点，设为4,% 且不<%.因为 4 +弓=2(。-1)>。,= 1 1所以 0<4<1<»2，在。山)上,/(X)为单调递减函数,所以此

52、时有/(x)<。，即In尤<“(尤" ,得生工一<0 ,X4-1 X 1 X + 此时*X)>()不恒成立，综上aW2.若b(x)有两个不同的零点王，士，不妨设百<马，则芭，为"x) = lnx-"(" "的两个零点,且&wl, /I,由(2)知此时a>2,并且/(x)在(O/J, (%,+。)为单调递增函数，在气,力上为单调递减函数，且/(1) = 0,所以fJJ>0, /(/2)<0,因为/("") = 一况<0, /(e") =">

53、0, e-"<l<e“，、'e +1 v ' e +且x)图象连续不断,所以NG(e，4), %««),所以,2 A < x、- X1 < e" - c " >因为 _ 4 = J(a +，2 y - 441, - 2 Ja - 2a，综-上得 2,yJa 2tz <| Xj %) |< e" e " 【名师点睛】求不等式恒成立问即的方法(I)分离参数法若不等式”X,4)20 (xw。)(义是实参数)恒成立，将/(xM) 2。转化为 Ng (x)或 2<g(x)

54、(xe D)恒成立,进而转化为A > g(x)1rax或S g(x)m.n(xeD),求g(x)的最 值即可.(2)数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系 (相对于x轴)求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次 方程根的分布解决问题.(3)主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般 情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.15 .已知函数/(x) = e*-or? -x .(1)当。=1时，求曲线y = /(x)在点(1,/)处的切线方程；

55、 (2)若函数F(x) = /(x) + x有两个极值点罚，x2,求证：X,x2<(ln(2a)2.【试题来源】2021年新高考测评卷数学(第六模拟)【答案】(1)y = (e-3)x+l ： (2)证明见解析.【分析】(1)得。=1时，可得/(x)解析式，求导得f(x)解析式，则可求得左=/，/= e2,代入直线方程，化简即可得答案. 函数尸(x)仃两个极值点X，x2,等价为尸'3 = 0有两个不相等的实数根芭,x2.令h(x) = eI-2ax,分别讨论a >0和两种情况，利用导数求得其单调区间和极值，可得 a的 范围，不妨设 不< % ,则 为< ln(2

56、a),%> ln(2a) > 1 .令4fl2G(x) = h(x)-ft(2ln(2a)-x) = e' -4axl-4«ln(2a),利用导数判断其单调性，结合基本e'不等式，分析整理，即可得证.【解析】(I)当a = l时，fx = ex-xi-x,则/'(*) = 6、一2%一1,所以左=7'=e3,又/(l) = e-2,所以切线方程为 y = (e-3)(x-l) + e-2,即 y = (e-3)x+l .(2)由题意得 F(x) = e*-ar2,则9(x) = e* -2ar .因为函数Fx)有两个极值点芭，x2,所以尸&

57、#39;(x) = 0有两个不相等的实数根为，x2.令 /?(%) = ex - 2ax,贝！ hx) = ex -2a .当a40时，厅(幻>0恒成立,则函数Mx)为R上的增函数，故(x)在R上至多有一个零点，不符合题意.当a >0时，令力'(x) = 0,得x = ln(2a),当 xe(-oo,ln(2。)时，h'(x) < 0 ,故函数(x)在(-oo,ln(2a)上单调递减，当xe(ln(2a),+8)时，h'(x) > 0,故函数(x)在(ln(2a),+8)上单调递增.因为函数力(x) = 0有两个不相等的实数根司，x2,所以 h(

58、x)m.n = /i(ln(2a) = 2a-2an(2a) <0 ,得 a > 一 不妨设 X < 毛，则 v ln(2a),玉 > ln(2«) > 1 .又(0) = 1>0,所以% £(0n(2a).令 G(x) = hx - h(2 ln(2a) -x) = ex - 4ax+ 4a ln(2a),ex贝ljG'(x) = e'+4-4。22小，“g-4a = 0 ,所以函数G(X)在R上单调递增.由电 > ln(2a)可得)> G(ln(2a) = 0,即力(修)> 力(2 ln(2a) -

59、% ).乂 X，是函数(X)的两个零点，即力(占)=(引，所以M±)>(21n(2a) -电).因为 W > ln(2)，所以 2 ln(2a)-x, < ln(2a),乂玉<ln(2a),函数力(x)在(-oon(2a)上单调递减，所以 v21n(2a)-占,即 x +x2 v21n(2).又, +% > 2ylxX2 ,所以 2Jew <21n(2a),因此王马 <(ln(2tz)2.【名师点睛】解决本题的关键主要有三点：是确定王，马的范围，为后续的灵活转化做 准备；二是能够想到构造函数G(x)= (幻-力(21n(2a)-x),并借助其

60、单调性得到 M±)>M21n(2a)-xJ；三是巧妙利用自变量的范围和函数(x)的单调性构建关于为，X, 的不等式.16 .已知函数./'(犬)=2兀一。1111+44, (iZ7?)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)令 g(x) = f(x)-sinx,若存在不无2 (),-H»)，且 X|H X2时，g() = (x2),证明：2 xx3 < a .【试题来源】江西省九所重点中学(玉山一中、临川一中等)2021届高三3月联合考试 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)求函数的定义域和导数，分和。>0两种情况，结合导数可求出函数的 单调性.(2)根据题意可得a(lnX 111毛)=2(苞-w)-(sinX-sin/),通过构造函数(x)*sinx,求函数单调性及参变分离可得心十敬,令，言”1),通过导数得，”) =-lnr(r>l)的单调性,即可证明加(。>加(1)=0从而可证明X居 < a2.【解析】"X)的定义域为(0,+8)，r(x) = 20 = 2匕，当“40时，/'(x)>0,当a>0时，由/'(x)>0得x>£,由/'(x)<