S2-非线性离散系统

1、非线性系统理论非线性系统理论 返回首页 Section Section 2 2 非线性离散系统非线性离散系统目 录 返回首页不动点和周期点不动点和周期点)(xfy ),(),(),(231201xfxxfxxfx, 3 , 2 , 1),(1nxfxnn不动点：经过一次迭代后保持不变的点。周期点：经过k次迭代后回到原来地方，迭代次数小于k的话都不回到原来地方，这样的点叫做k周期点。 返回首页，13210nnxxxxxx),(1nnxfx时间序列或轨道 返回首页n 解的类型 定常解（不动点解） 周期解 混沌解n 求解方法 解析求解 图像描述 数值迭代 返回首页（1）解析求解：),(1nnxfx一

2、元离散映射系统)(xfx 定常解：x)1 ()(xxxf逻辑斯蒂映射：迭代函数：)1 (xxx0) 1(xx11021xx4 , 0)-1 (1nnnxxx 返回首页一维系统定一维系统定常解的稳定性：常解的稳定性：是稳定的：定常解xxf1)(是不稳定的：定常解xxf1)(临界稳定：定常解xxf1)(逻辑斯蒂映射：)1 ()(xxxf)21 ()(xxf稳定：0101x稳定：11311x都不稳定：21,3xx1()nnnxfxx【摄动方程】 返回首页是稳定的定常解：0101x（2）图像描述：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.

3、80.911x-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811x2x5 . 05 . 0 返回首页是稳定的定常解：11311x0 . 200.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91（2）图像描述： 返回首页都不稳定：21,3xx00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.913.2（2）图像描述： 返回首页（3）数值迭代：，13210nnxxxxxx4 , 0)-1 (1nn

4、nxxx5 . 02.03.2 返回首页（3）数值迭代：5 . 00.1000 0.0450 0.0215 0.0105 0.0052 0.0026 0.00130.0006 0.00030.00020.00010.0000 0.00000.00000 . 20.1000 0.1850 0.2952 0.4161 0.4859 0.4996 0.50000.5000 0.50000.50000.50000.50000.50000.50002 . 30.1000 0.2880 0.6562 0.7219 0.6424 0.7351 0.62310.7515 0.59750.76960.56750

5、.78540.53930.79510.5214 0.7985 0.5148 0.7993 0.5133 0.7994 0.51310.7995 0.51300.79950.51300.79950.51300.7995 返回首页周期周期2 2解解(P-2)(P-2)nnnnnxxfxffxfx)()()(212)-1 (1nnnxxx)1 (1)1 (xuxxxx)-1 (112nnnxxx0) 1() 1(22223343xxxx0)1()()1(222uxuuxuuuxx周期周期4 4解解(P-4)(P-4)()(4xfxffffx周期周期8 8解解(P-8)(P-8)()(8xfxffff

6、ffffx周期周期k k解解(P-k)(P-k)()(xfxffffxkkk( )( )kxffff xfx混沌解混沌解(Chaos)(Chaos)思考：思考：解的不同形态随着参数如何变化？解的不同形态随着参数如何变化？020406080100120012345678x 102902040608010012000.10.20.30.40.50.60.7xxf5 . 0)(xxf2)(x=0.6;for i=1:100 y=0.5*x; x=y;end y运行结果：y = 4.7332e-031x0=0.6;for i=1:100 x(1)=x0; x(i+1)=0.5*x(i); endx)1

7、 ()(xxxfx=0.1;u=0.5;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y运行结果：y = 7.8544e-008x=0.1;u=2.0;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y运行结果：y = 0.5130 x=0.1;u=3.2;for i=1:100 y=u*x*(1-x); x=y;end y运行结果：y = 0.5000一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制问题1：如何观察和确定迭代解？2 . 35 . 30204060801001200

8、.10.20.30.40.50.60.70.80.90204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.8时间序列图问题1：如何观察和确定迭代解？55. 38 . 30204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.80.90204060801001200.10.20.30.40.50.60.70.80.91问题1：如何观察和确定迭代解？0 . 25 . 3Poincare截面映射-0.500.511.5-0.500.511.52 . 30.50.550.60.650.70.750.80.850.50.550.60.650.70.750.80.

9、850.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.9155. 30.40.50.60.70.80.910.40.50.60.70.80.91问题1：如何观察和确定迭代解？8 . 3Poincare截面0.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91100N500N1000N问题1：如何

10、观察和确定迭代解？Poincare截面映射图 时间序列图010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.15 . 0问题2：临界点的迭代情况？010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.19 . 0010020030040050060000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10 . 1问题2：临界点的迭代情况？0 . 3n=5000;x1=0.6633;x20.6700;n=10000;x1=0.6643;x2=0.

11、6690;n=20000;x1=0.6650;x2=0.6683;n=50000;x1=0.6656;x2=0.6677;n=100000;x1=0.6659;x2=0.6674;n=200000;x1=0.6661;x2=0.6672;临界慢化现象：在解的性态发生改变的临界点处，过渡过程变得很长，收敛速度变得非常慢。一元一次离散映射系统数值迭代的问题： 观察和确定迭代解 临界点处的迭代：临界慢化现象 初值点对迭代解性态的影响 分岔图的绘制问题3：初值对解的性态的影响0510152025300.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.61 . 00 x6 . 00

12、 x01020304050600.10.20.30.40.50.60.70.81 . 00 x6 . 00 x0 . 22 . 3问题3：初值对解的性态的影响01020304050600.10.20.30.40.50.60.70.80.911 . 00 x6 . 00 x8 . 3问题4：分岔图的程序实现for u=0:0.01:4 x=0.2; for i=1:1000 x1=u*x*(1-x); x=x1; if i800 plot(u,x); hold on; end endend消除过渡过程并画图循环：数值迭代循环：扫描参数区间问题4：分岔图的程序实现31发生分岔的前提：失稳n 运动稳

13、定性：经典的课题n 混沌：现代的课题分岔：把定常解、周期解的稳定性和混沌联系在一起。分岔理论分岔理论：研究非线性方程解的定性行为。【分岔】 随着参数的变化，动力系统的解的性态发生质的变化。一维系统定一维系统定常解的稳定性：常解的稳定性：是稳定的：定常解xxf1)(是不稳定的：定常解xxf1)(临界稳定：定常解xxf1)(nnnXXfX)(1【摄动方程】习题：对一维映射 nnnxxx31求其定常解，并讨论 x = 0 的稳定条件？-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52

14、 返回首页 Section Section 2 2 非线性离散系统非线性离散系统目 录)(1nnXfXnnnXXfX)(1nXJ【摄动方程】【雅可比矩阵】 稳定性判定雅可比矩阵特征值的模有一个大于1，定常解不稳定。【定常解】2.2.1 二元二次映射二元二次映射二元二次迭代的一般表达式：),(),(11nnnnnnyxgyyxfx),(),(),(),(),(11221100nnnnyxyxyxyxyx265423211265423211nnnnnnnnnnnnnnybybyxbxbxbbyyayayxaxaxaaxnnnnyxJyx1121,10 , 1021稳定结点1, 121不稳定结点i2

15、i1,aeae稳定焦点1a不稳定焦点1a1a中心点 （稳定）1, 1021鞍点 （不稳定）2.2.1 二元二次映射二元二次映射习题：求Hnon映射 的定常解，并讨论其稳定性(a=1,b=0.2)？nnnnnbxyyaxx12112.2.1 二元二次映射二元二次映射nnnnnbxyyaxx1211典型的二元二次迭代：Hnon映射：如何描述和绘制其迭代轨迹？x0=0.6;u=0.5;N=100;for i=1:N x(1)=x0; x(i+1)=u*x(i); endx0=0.3;y0=0.5;a=1.2;b=0.3;N=1000;for i=1:N x(1)=x0;y(1)=y0; x(i+1)

16、=1-a*x(i)*x(i)+y(i); y(i+1)=b*x(i);endfigure;plot(x,y);2.2.1 二元二次映射二元二次映射Hnon混沌吸引子二元轨迹图形：把迭代出的点在二维相平面上逐个绘制出来。-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.52.2.1 二元二次映射二元二次映射2.2.1 二元二次映射二元二次映射0102030405060-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5; 3 . 0; 2 . 1; 5 . 0;30

17、01. 000bayx-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5; 3 . 0; 2 . 1; 5 . 0; 3 . 000bayx0102030405060-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5x的演化轨迹y的演化轨迹2.2.1 二元二次映射二元二次映射;15. 0; 2 . 1; 5 . 0; 3 . 000bayx020406080100120140160180200-1.5-1-0.500.511.5180182184186188190192194196198200-0.6-0.4-0.200.20.4

18、0.60.811.2-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.1-0.0500.050.10.150.20.25P-162.2.1 二元二次映射二元二次映射-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.1-0.0500.050.10.150.20.2514. 0b-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.10.121 . 0b-0.200.20.40.60.811.2-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.0105. 0bP-8P-4P-22.2.1 二元二次映射二元二次映射Henon映射的分岔图2.2.1 二元二次映射二元二次映射三元二次迭代的一般表达式：),(),(),(111nnnnnnnnnnnnzyxkzzyxhyzyxg