复变函数论第三版钟玉泉PPT七章.

1、复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院12022-6-17第二章第二章 解析函数解析函数 1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 初等解析函数 3 初等多值解析函数复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院22022-6-17一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.导数导数:, , , )( 00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw , )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记记

2、作作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(,0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时内内以以任任意意方方式式趋趋于于在在区区域域即即zzfzzfzDzz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院32022-6-17例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 即即. )( , )( 可导在区域内称内处处可导

3、在区域如果函数DzfDzfzifzififz)1 ()1 (lim)1 (0例例2 .12)(22处的导数在点求iziyxzf解解yixyixyixyx2200)(2)(42limimimyixyixyixxxmy142)(2)(42lim220于是以上极限为则沿直线令,),1(11xmyxmyiz处不可导。故函数在存在。的路径，从而原极限不极限结果依赖于iziz11复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院42022-6-17,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极限值

4、不同时向使当点沿这两个不同的方z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 例例3 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院52022-6-17xyoz0 y ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 2

5、2lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 例例4 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)( 2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院62022-6-172.可导与连续可导与连续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续

6、不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf ,)( )(0zzzzf 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院72022-6-173.求导法则求导法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnz

7、znn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函数数两两个个互互为为反反函函数数的的单单值值是是与与其其中中复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院82022-6-174.微分微分:则可导在设函数,)( 0zzfw .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf记作的微分在点称为函数. )( , 00可微在则称函数

8、的微分存在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf ,)()()()(000zzzzfzfzzfw , )(, 0)(lim0的高阶无穷小是式中zzzzz. )( )(0的线性部分改变量是函数wzfwzzf复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院92022-6-17二、解析函数的概念二、

9、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义 , )(00的某邻域内处处可导及在如果函数zzzf).( )( .)( ,)(全全纯纯函函数数或或正正则则函函数数个个解解析析函函数数内内的的一一区区域域是是或或称称内内解解析析区区域域在在则则称称内内每每一一点点解解析析区区域域在在如如果果函函数数DzfDzfDzf2. 奇点的定义奇点的定义.)(, )(00的奇点为称不解析在若函数zfzzzf根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的的概念概念

10、. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. )(0解析在则称zzf , 0 )( 02处可导处可导在在例如例如 zzzf . 0 0处不解析处不解析但在但在 z复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院102022-6-17例例1.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0 为它的奇

11、点为它的奇点 z例例2.)Re()( 的的可可导导性性与与解解析析性性研研究究函函数数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz ) 0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf课后思考题：课后思考题：.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案答案 处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院112022-6-17, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( ,

12、 xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义可可导导而而在在其其他他点点都都不不处处可可导导仅仅在在因因此此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院122022-6-17定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数

13、数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(奇点使分母为零的点是它的点的区域内是解析的在不含分母为零的任何一个有理分式函数zQz

14、P复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院132022-6-17定理一定理一.),(),(),()(),(),()(xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , , : , 点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则定义定义内有内有在区域在区域设函数设函数三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件 证证 (1) 必要性必要性.有时使得当则存在可导内一点在设，yixzDyxivyxuzf |z|0 , 0, , ),(),()( ,)()()()( zzzzfzfzzf, 0

15、)(lim 0zz其中,)()( viuzfzzf令,)(ibazf , )(21iz复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院142022-6-17viu 所以)()(21yixiyixiba)()(1221yxyaxbiyxybxa, 21yxybxau 于是于是.12yxyaxbv , 0)(lim 0 zz 因为因为100lim yx所以所以200lim yx, 0 从而从而,bxvayvxuyu , , ),( ),( ),( 可可微微在在点点与与由由此此可可知知yxyxvyxu. , xvyuyvxu 且满足方程且满足方程(2) 充分性充分性. )()( zfzzf),(

16、),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu, viu 由于由于 , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与又因为又因为yxyxvyxu复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院152022-6-17, 21yxyyuxxuu 于是于是, 43yxyyvxxvv ) 4 , 3 , 2 , 1( , 0lim 00kkyx其中 )()( zfzzf因此因此.)()(4231yixiyyviyuxxvixu , , 2xvixvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 )()(zfzzf )(yixxvixu.)()(4231yixi zzfzzf)()( xvixu.

17、)()(4231zyizxi , 1, 1 zyzx因为因为, 0)()(lim42310 zyizxiz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院162022-6-17 zzfzzfzfz)()(lim)( 0所以所以.xvixu . ),(),()( 可可导导在在点点即即函函数数yixzyxivyxuzf 证毕证毕 . 件充分条件和一个必要条可微的一个质可分别给出复变函数根据多元函数的微分性注例例1.2)(222的可导性函数研究定义于复平面内的ixyyxzzf解解.2,2,2,2 ,2, 22xvyvyuxuxyvyxuyxyx因为令方程，在复平面内满足连续，且四个偏导数在复平

18、面内RCzf)( 在复平面内处处可导。故2)(zzf 内解析的充要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院172022-6-17解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( ) 1 (内是解析的在义断定则可根据解析函数的定内处处存在的导数在区域导法则证实复变函数如果能用求导公式与求DzfDzf. )(, RC

19、 ) , ( , )( 2)(内解析在件可以断定则由解析函数的充要条方程并满足可微因而偏导数都存在、连续内的各一阶在中如果复变函数DzfvuDvuivuzf注注1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的。 : ),(),()( ,处的导数公式在点可得解析函数根据定理一yixzyxivyxuzf.1)(yvyuixvixuzf 注注2 解析函数的导数形式更简洁。解析函数的导数形式更简洁。复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院182022-6-17

20、四、典型例题四、典型例题解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 例例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：判断下列函数在何处可导，在何处解析：zzwzwRe)2 ;) 1)Re()2(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续, 但是但是 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )Re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处

21、处处处不不解解析析复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院192022-6-17例例2解解. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由 ),( 常数常数所以所以cu ).( )( 2常数常数于是于是icczf 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院202022-6-17例例3. )( , )( 内为一常数区域在则内处处为零在区域如果DzfDzf 证证: 因为因为xvi

22、xuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此Dzf类似可进一步证明类似可进一步证明: , 内解析内解析在区域在区域设设Df .)(,7)2( 常数则中的一个条件满足如果zff; 0)() 1 ( zf ; 常数常数)()2(zf ; 解析解析)()3(zf ;Re 常数常数)()4(zf ;Im 常数常数)()5(zf;)6(2uv . arg 常数常数)()7(zf复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院212022-6-17例例4. 0 , 0 Im)( 2不可微但在点满

23、足柯西黎曼方程的实、虚部在点证明函数zzzzf证证, 2)( xyzf 因为因为0, , 2 vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z , 0 z但在点但在点zfzf )0()( 2yixyx ,12 )0()(lim 00izfzfyx因为 . 0 )( 不可微不可微在点在点故函数故函数 zzf , 0 )0()(lim 0, 0zfzfyx复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院

24、理学院222022-6-17一、指数函数一、指数函数1.指数函数的定义指数函数的定义: )( 个条件在复平面内满足以下三当函数zf;)( (1)在复平面内处处解析zf);()( (2)zfzf).Re(,)( ,0)Im( (3)zxezfzx其中时当)sin(cos , yiyeezxz记为的指数函数此函数称为复变数第二节第二节 初等解析函数初等解析函数指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式: )(2)(Arg,|为任何整数其中kkyeeezxz.)( (3) 0;C)(2) ;)(1) zzzzeeezfezf的值域的定义域为注C . exp , 的符号的符号只是代替只是代替

25、没有幂的意义没有幂的意义注意注意zez2. 加法定理加法定理2121zzzzeee , exp ,的的周周期期性性可可以以推推出出根根据据加加法法定定理理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(为为任任何何整整数数其其中中k . 所所没没有有的的该该性性质质是是实实变变指指数数函函数数xe复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院232022-6-17例例1解解可能不成立。举例说明等式2121)(zzzzee则设, 2/1,21ziz,) 1()()(2/12/121ieeizz.2/21ieeizz.)(2121zzzzee例例2 );Re()3

26、(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院242022-6-17二、三角函数和双曲函数二、三角函数和双曲函数1. 三角函数的定义三角函数的定义,sincos yiy

27、eiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：现在把它们定义推广到自变数取复值的情况：,2cos :izizeez余弦函数.2sin :ieeziziz正弦函数.cos , sin ,是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数容容易易证证明明zz.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .2为为周周期期的的是是以以正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数都都 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平

28、面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院252022-6-17有关正弦函有关正弦函数和余弦函数和余弦函数的几组重数的几组重要公式要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix , 时时为纯虚数为纯虚数当当yiz,cosh2cosyeeyiyy .sinh2sinyiieeyiyy .sinhco

29、scoshsin)sin(,sinhsincoshcos)cos()3(yxiyxyixyxiyxyix .cos ,sin , yiyiy时时当当( (注意：这是与实注意：这是与实变函数完全不同的变函数完全不同的) )事实上，事实上，, 2/2/ )()cos(yyyeeeiy定的正数。就可能大于任何预先给充分大，只要)cos(iyy复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院262022-6-17,cossintan zzz 正切函数正切函数,sincoscot zzz 余切函数余切函数,cos1sec zz 正割函数正割函数.sin1csc zz 余割函数余割函数点处解析，且平面

30、上使分母不为零的这四个函数都在z,csc)(cot,sec)(tan22zzzz,cotcsc)(csc,tansec)(seczzzzzz.2的周期为，正割函数和余割函数周期为正切函数和余切函数的例例1 1 . tan 的实部与虚部的实部与虚部确定确定z解解 , iyxz 设设zzzcossintan )cos()sin(yixyix yxiyxyxiyxsinhsincoshcossinhcoscoshsin yxyxyyixx2222sinh)cos1(coshcossinhcoshcossin .sinh2cos22sinhsinh2cos22sin2222yxyiyxx )Re(ta

31、nz )Im(tanz 其它三其它三角函数角函数复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院272022-6-172. 双曲函数的定义双曲函数的定义,2cosh zzeez 为为我们定义双曲余弦函数我们定义双曲余弦函数,2sinh zzeez 双曲正弦函数为双曲正弦函数为.tanh zzzzeeeez 双曲正切函数为双曲正切函数为.cosh , sinh ,是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数容容易易证证明明zz它们的导数分别为它们的导数分别为,cosh)(sinhzz 它们都是以它们都是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,i 2.sinh)(coshzz显然显然这些函数都是解析函数这些

32、函数都是解析函数，各有其解析区域，各有其解析区域，且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。且都是相应的实双曲函数在复数域内的推广。复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院282022-6-17思考题思考题: 实变三角函数与复变三角函数在性质上有实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同哪些异同?思考题答案思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是最大的区别是, 实变三角函数中实

33、变三角函数中, 正余弦函数都正余弦函数都是有界函数是有界函数, 但在复变三角函数中但在复变三角函数中, . 1cos 1sin不再成立不再成立与与 zz3.初等复变函数初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、：基本初等复变函数经过加、减、乘、除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算，所形成的复变函数称为初等复变函数所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数简称为复变函数.复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院292022-6-17定义定义2.8(单叶函数单叶函数）设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,

34、且对且对D内任意不同的内任意不同的两点两点z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内是单叶的内是单叶的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的单叶性区域的单叶性区域.显然显然,区域区域D到区域到区域G的单叶满变换的单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的一一变换的一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数. f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数第三节 初等多值函数复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院302022-6-17定义定义2.9 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：的特点。例，简

35、单介绍多值函数下面以二次根式函数为nwz , 根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数.nwz (1) 根式函数的多值性根式函数的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主辐辐角角,),20(2/iArgzierzwrez设1. 根式函数根式函数的具体数值无法确定。来说，其幅角点对于复平面上某一固定Argzz.22/ )2(2/iiererwzCz连续变为将由，从而变，但其幅角却变为值虽然不的位置，环绕原点一周回到原来沿某一条闭合曲线若根式的值也保持不变。的幅角不变，因而二次置，环绕一周回到原来的位闭合曲线沿某一条不包含原

36、点的但若zCz1复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院312022-6-17 (2) 分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 从原点从原点O起到点起到点任意引一条射线将任意引一条射线将z平面割破，该平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边构成以此割线为边界的区域，记为界的区域，记为G)上，上， argz2 ，从而可将其转化，从而可将其

37、转化为单值函数来研究。为单值函数来研究。复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院322022-6-17 wk在其定义域上解析在其定义域上解析,且且 1nknkkzwznz 1, 1 , 0nk,)()(2)arg(nkzinknkezrzwnwz 分成如下的分成如下的n个单值函数：个单值函数： (3) 的支点及支割线的支点及支割线定义定义1 设设 为多值函数，为多值函数， 为一定点，作小圆周为一定点，作小圆周( )wf za:CzarzCa( )f z,0nwz z:Czr ，若变点，若变点 沿沿 转一周，回到出发点时，转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称函数值发生了变化，

38、则称 为为 的的支点支点，如，如就是其一个支点，这时绕就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点转一周也可看作绕点转一周，故点转一周，故点 也是其一个支点也是其一个支点.nwz 常用方法常用方法： 从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面割破平面割破,即可将根式函数即可将根式函数:复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院332022-6-17nwznwz0zx定义定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支的割线，称为多值函数的支割线支割线.如如 可以以负实轴为支割线可以以负实轴为支割线.注注 a) 支割线

39、可以有两岸支割线可以有两岸.b) 单值解析分支可连续延拓到岸上单值解析分支可连续延拓到岸上.c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d) 对对 ，当以负实轴为支割线时，当，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为时取正值的那个分支称为主值支主值支.上岸下岸复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院342022-6-17二、对数函数二、对数函数1. 定义定义.Ln ,)( )0( zwzfwzzew记为称为对数函数的函数满足方程2.计算公式计算公式： .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差并且每两值相差也

40、是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz ivuwrezi,令iivuwreezezwLn)(2,ZkkvreuArgzZkkvru)(2),(ln实对数)( )2(lnLnZkkirzw)( )2(arg|ln|lnLnZkkziziArgzzz即,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院352022-6-17. Ln , , 的的一一个个分分支

41、支称称为为上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk说明说明：w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数，的反函数，Lnz一般不能写成一般不能写成lnz,Ln zez 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz例例1 . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 解解,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对

42、数负数无对数, 而复变数对数函而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数是实变数对数函数的拓广.复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院362022-6-17例例2. 031 iez解方程解方程解解,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k3. 对数函数的性质对数函数的性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)L

43、n(,1)(lnzzzz 复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院372022-6-174. 分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面平面割破割破，就可将，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下无穷多个无穷多个单值解析分支：单值解析分支：的支点和支割线zwLn . 5),2(argln)Ln(kzirzwkk, 2, 1, 0k wk在在定义域定义域上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 例例1 设设 定义在沿负实轴割破的平面上，且定义在沿负实轴割破的平面上，且wLnz0zz 与0与wLnz( 1)3wi( )w i()l

44、n(arg2)kkwLnzzizk(arg)z 以以 为支点，连接为支点，连接 的的任一任一（广义）简单曲线可作为其支割线（广义）简单曲线可作为其支割线.解：解：求值：求值： （是下岸相应点的函数值）求（是下岸相应点的函数值）求 的值的值.)2) 1(arg(| 1|ln3kii1kiiiiiiw25)22()2)(arg(|ln)(复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院382022-6-17三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 乘幂乘幂: , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lna

45、bbea 即即. , )2arg(lnLn 也是多值的一般情况下，因而是多值的注：由于bakaiaazbbezwLn 2.一般幂函数 , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具具有有单单一一的的值值ba复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院392022-6-17)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp .) 1( , 1 , 0 , 时相应的值即取个值具有qkqab ,0) ,( )2(时

46、时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb , ) 3(是无穷多值的。函数为无理数或复数时当bzwb3. 幂函数的解析性幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的原点和负实轴的复平面内是解析的,.)(1 bbbzz的各个分支在除去它是一个多值函数，它为整数外除去, b复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院402022-6-17 ),1(/ nnmb既约分数，为有理数当 数是无穷多值的。的无穷阶支点，此时函点和无穷远点是为无理数或复数时，原当bzwb , 111分解成解析分支。内可以把在得到一个区域割线一条简单连续曲线作为原点和无穷远点的不是整数时，任取连接当bzwDDKb

47、 .2Argz,1ln)2ln)|lnln/11111111出发的值，即回到了它从相应地连续变动到则从，而连续变动到从周时连续变动出发按逆时针或顺时针从当一点（zeeeezwnnzzznmniznmiznmznmnm 11/阶代数支点。也称阶支点，的点是这时，称原点和无穷远n-n-zwnm复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院412022-6-17例例1 1 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos

48、24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii azzeawLn 4.一般指数函数它是无穷多个独立的、在它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。平面上单值解析的函数。.Ln, zeweea指数函数的单值的取主值时，便得到通常当复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院422022-6-17)1Ln(Arcsin2ziziz1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz记作的反余弦函数为称设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得

49、).1Ln(cosArc2 zziz 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:),1Ln(22zzi.11Ln2Arctaniziziz 都是多值函数。和是多值函数，所以是二值函数，对数函数由于以上各式中zArczArczcossin12四、反三角函数和反双曲函数四、反三角函数和反双曲函数复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院432022-6-172. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义),1Ln( Arsinh2 zzz反双曲正弦反双曲正弦),1Ln(osh Ar2 zzzc反双

50、曲余弦反双曲余弦.11Ln21 Artanhzzz 反双曲正切反双曲正切例例1 1解解).32tan( Arci 求函数值求函数值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中复变函数复变函数湖北民族学院理学院湖北民族学院理学院442022-6-17五、具有有限个支点的情形五、具有有限个支点的情形设有任意设有任意N次多项式：次多项式：mmazazazAzP)()()()(2121maaa,21分别为分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为的一切相异零点，对应重数为m,21且有且有,21Nm则函数则函数nzPw)(的支点有以下结论：的支点有以下结论：(1) 的可能支点为的可能支点为 和和 ；maaa,21(2) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；niianzPw)(nzPw)(3) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除