大学物理第十一章静电场

1、电子教案电子教案 祝大家祝大家在新的学期取得在新的学期取得更大的胜利！更大的胜利！总学时总学时-64学时学时主要内容主要内容1）电磁学（）电磁学（34学时）；学时）； 2）狭义相对论（）狭义相对论（4学时）；学时）； 3）量子力学（）量子力学（14学时）；学时）；4）专题（）专题（12学时）学时）1静电场2稳恒磁场-静磁场3交变的电磁场-电磁波返回总目录返回总目录电子教案电子教案 真空中的静电场真空中的静电场electrostatics本章本章教学要求：教学要求： 掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度叠加

2、原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。了解电偶极矩概念。能计算电偶极子强度和电势。了解电偶极矩概念。能计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩。在均匀电场中所受的力和力矩。 理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。用高斯定理计算电场强度的条件和方法。本章重点：本章重点：静电场的电场强度和电势静电场的电场强度和电势,静电场的高斯定理和静电场的高斯定理和环路定理。环路定理。本章难点：本章难点：场的概念建立及场与物质的相互作用，电势

3、与场的概念建立及场与物质的相互作用，电势与电势能，矢量积分。电势能，矢量积分。返回目录下一页上一页真空中的真空中的静电场静电场electrostatics真空中的真空中的静电场静电场electrostatics研究真空中相对观测者静止的电荷产生的电场以及它与物质的相互作用规律.432).1量电场的能量、动量、质）物质性矢量迭加）迭加性环流定理）保守力场）有源场（高斯定理描写性质：E,abFWAEUU主要物理量：场对电荷作用力电势能场作功电势度电势差电场强15.1.1 电荷带电现象：带电现象：物体经摩擦物体经摩擦后对轻微物体有吸引作后对轻微物体有吸引作用的现象用的现象。两种电荷：两种电荷： 硬橡

4、胶棒与毛皮摩擦后硬橡胶棒与毛皮摩擦后所带的电荷为所带的电荷为负电荷负电荷。 玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为正电荷正电荷。 第十五章真空中的静电场第十五章真空中的静电场+ +- -我们知道，物质是由原子组成的，而原子由原子核和核外电子组成，电子带负电，原子核中的质子带正电，中子不带电。质子和电子所带电量的绝对值相等，质子数与电子数相等，因此，原子对外表现为电中性。当两个不同的物体相互摩擦，电子就可能从一个物体转移到另一个物体上。得到电子的物体带负电，失去电子的物体带正电。硬橡胶棒与毛皮摩擦后硬橡胶棒与毛皮摩擦后，毛皮上的电子转移到硬橡胶棒上，使硬橡胶棒带上，毛皮上的

5、电子转移到硬橡胶棒上，使硬橡胶棒带上了了负电荷。负电荷。玻璃棒与丝绸摩擦后，玻璃棒的电子转移玻璃棒与丝绸摩擦后，玻璃棒的电子转移到丝绸上，玻璃棒因失去电子带上到丝绸上，玻璃棒因失去电子带上正电荷。正电荷。+ +- -Ce19106 . 1+Qd点电荷点电荷 :当带电体的线度当带电体的线度d与它到其它带电体之间距与它到其它带电体之间距离或到研究点之间的距离离或到研究点之间的距离r足够小足够小(d0，EreE 的大小的大小E与电荷与电荷q成正比，与成正比，与 成反比。成反比。2rEr204rqEerE 的方向与电荷的方向与电荷q的正负有关的正负有关。的方向与的方向与 方向相反，沿连线向内方向相反，

6、沿连线向内 q0，Ere点电荷点电荷q在距其为在距其为r处的处的p点产生的场强：点产生的场强：q +rerp1q2q3qiqnqPirniFFFFF 21实验表明，电场力满足矢量迭加原理ire设qi单独存在时对试验电荷q0的作用力为iF空间中n个点电荷q1、q2、q3、 、 qi 、 qn组成点电荷系0q试验电荷q0受的作用力为每个电荷作用力的矢量和02014iiiriq qFerireir其中 是场点P到电荷 的距离 iq其中 是 指向场点P的单位矢量 iq场强叠加原理：场强叠加原理：空间某点的场强等于各点空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和电荷单独存在时在该点产生场强

7、的矢量和12211014inniiniriiiqEEEEEEerireir其中 是场点P到电荷 的距离 iq其中 是 指向场点P的单位矢量 iqniFFFFF 21试验电荷q0受的作用力为每个电荷作用力的矢量和0002010qFqFqFqFqFni 根据定义可得p点的场强为：rdq2014rdqdEer2014rqqdqEdEerq1).:2:3:dqdldqdsdqdv线分布线电荷密度）面分布面电荷密度）体分布体电荷密度Pre在带电体上取一电荷元dq，可以看成点电荷，在P点产生的场强为：:redqp电荷元指向场点 的单位矢量式，步骤如下：具体计算时应采用分量*方向。并画出表达式，写出取微元）

8、取合适的坐标系，再（EdEddq12xyzdEdEdE（ ）求出分量：，zzyyxxdEEdEEdEE，积分求出：)4(5)xyzEE iE jE k微元法(3)(3)对称性分析：利用对称性分析可简化计算，可能对称性分析：利用对称性分析可简化计算，可能使我们立即判断电场强度的某些分量为零。使我们立即判断电场强度的某些分量为零。例例1 1）有一对带等量异号电荷有一对带等量异号电荷q q的电偶极子，的电偶极子，相相距距 。求两电荷连线上一点求两电荷连线上一点 和中垂线上一点和中垂线上一点 的场强的场强。（。（ 点到偶极子中点点到偶极子中点O的距离为的距离为r。）, pp ppll qpeep+q-

9、qlpporrl由-q指向q的矢量定义：电偶极矩（简称电矩）eplqqEEE)p r求轴线的中垂线上任一点（ 的场强22 3/2014( /2) )qlErl30()4ePErlr p304ePrlEr当时，则-+r4/22lr 22)2/(2/2cos2lrlEEE+q与-q在p产生的场强大小E+和E-相等，具有对称性22014( /2)qEErl长线上一点的场强求电偶极子轴线延204(/2)qErl204(/2)qErl22042230014(/2)(/2)224(1/2 ) (1/2 )4eqqEEErlrlPqrlrlrlrr302()4ePErlr ep+q-qlporEEErlYo

10、X、例1L计算均匀带电细棒外一点的场强。设棒长为 ，总qPaPP电荷量为 ，棒外一点 离开棒的垂直距离为 ， 和棒两端的连线与棒之间夹角分别为 和 ，求 点的场强。ParEdxdEydE:解dxx，）选如图坐标系（XoY1qL204dxdErPdE它在 点的场强为，其方向如图。,qdqdxdxL取其大小为：PYoXarEdxdEydEdxx204dxdEr20(2)coscos4xdxdEdEr, ,r x上式有三个变量，统一变量有：20cos()sin2sin4ydEdEdEdxrpqqlqpe=-=22tan()cot211= csc(=cscsinsinxaadxadad 余割）2222

11、222cscsinaraxasin()sinar222222csccscdxadraxa20(2)coscos4xdxdEdEr2222000csccoscoscos44csc4xdxaddEdraa 204dxdEr200sinsinsin44ydxdEdEdra PYoXarEdxdEydEdxx同样推导可得：0(3)(sinsin)4xxEdEa0(4)(sinsin)(coscos)4Eija0sinsin4ydEdEda 2222000csccoscoscoscos44csc4xdxaddEdEdraa 0(coscos)4yyEdEaPYoXarEdxdEydEdxx讨论：若讨论：

12、若,L, 0 xE,20aEy0,0(4)(sinsin)(coscos)4EijaPYoXarEdxdEydEdxxY的方向就是与棒垂直的方向,L, 0 xE,20aEya+E,20jaE0,1 1无限长细棒周围任何地方的电场无限长细棒周围任何地方的电场都与棒垂直。都与棒垂直。2 2该电场具有轴对称该电场具有轴对称性，在以细棒为轴的园柱面上各性，在以细棒为轴的园柱面上各点场强的大小相等。点场强的大小相等。重要重要结论结论E0,2rarEr用 代替则距无线长细棒为 处场强的大小为：，方向与棒垂直。无线长细棒、例 2oRX:解RQx计算均匀带电圆环（半径为 ，带电量为 ）的轴线上距圆心 处的场强

13、。204dldEr20sin4dlRdEdErrxEdrP（方向如图）/20cos4xdlxdEdEdErr（对称性分析）0EXEdPEddlRQdldq2dq20233022200;42RxxREdEdlxxRrRx/20cos4xdlxdEdEdErroRXxEdrdQPXEdPEd3222022 3/20214()xxRERxQxxR322204xQxEE iiRx322 3/22220014()2xxRQxExRRxxEx2R2014xQxREx当时，相当于点电荷,000,0,;0,0;/2xxxxxExxExExEER与 的关系如图时，。向右，向左在处有极值。oRXxEdrdQPr2

14、例例4 4）求面电荷密度为）求面电荷密度为 ，半径为，半径为R R的薄带电的薄带电圆盘中心轴线圆盘中心轴线X X处一点的电场强度。处一点的电场强度。已知：已知：drxR,求：求：E解：解：建立坐标系建立坐标系OXx将圆盘看成许多细的将圆盘看成许多细的带电带电圆环圆环rdrdsdq2R+drrXOEPrdrdsdq22/3220)(4xrdqxdE22 3/204()QxEirx细圆环的电场公式：细圆环的电场公式：xR+drrXOE2/3220)(4xrdqxdE2/3220)(42xrrxdr2/3220)(2xrrxdrxR+drrXOErdrdsdq22/3220)(2xrrxdrdEdE

15、ERxrxrdx02/322220)(2)(22/32200)(2xrrdrxRxR+drrXOE22012xERx22012xEiRx讨论：讨论：1）R，面电荷密度，面电荷密度为为无穷大均匀带电平面无穷大均匀带电平面2）0 x)1(2220 xRxE0202E啊！无穷大！啊！无穷大！xR+drrXOE22012xERx与无穷大均匀带电平与无穷大均匀带电平面结果同面结果同3）x222)/(11xRRxx2/12)/(1xR442283211xRxR2022204)211(12xRxRE20202202444xqxRxRE相当一点电荷。相当一点电荷。xR+drrXOE分子分母同乘分子分母同乘 ：

16、22012xERx4）同样，0R 204qEx推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为推论：两带等量异性电荷，面电荷密度为 的的 的的“ ”大平行板间的电场为一均匀场。大平行板间的电场为一均匀场。E+ - Xd xd,0)0(,0 xdx 0,01）。相距为a，1.求空间任一点的电势; 2.证明电势为零的面为一个球面。:解eneOZYX)2, 0 , 0(a)2, 0 , 0(a),(zyxP1r2r（1）选取如图所示的坐标，则 点的电势为：),(zyxP即0 10 244PeneUrr222042penUaxyz2220214azyxe（2）令 有0U 0442010rnerenrr12即naz

17、yxazyx2222222222222221121nnannazyx显然上式为一个球面方程。eneOZYX)2, 0 , 0(a)2, 0 , 0(a),(zyxP1r2r例例2 2）求均匀带电球壳产生的电场中的电势分布。）求均匀带电球壳产生的电场中的电势分布。设球壳带电设球壳带电q q，球半径为，球半径为R R。+q)(rE200(0)()4rrREqeRrr 解：以无限远为参考点。解：以无限远为参考点。p1）球外一点）球外一点P ：ppUE dlrdrrq0cos420rq04rR+q)(rEp1）球内一点）球内一点P：ppUE dlRRrrdErdERq04r0)(球内ErUrR-R常量

18、)(40RroRq)(40 rRrq( )U r R场要分区场要分区积分分段积分分段均匀带电球壳均匀带电球壳球内的电势为常量，球内的电势为常量，球外与点电荷的电势相同。球外与点电荷的电势相同。例例2、计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。环的半径为R，电量为q。:解OPXRxdl22xRr则dlRqdldq22220048dqqdldUrR Rx 建立如图所示坐标系，取 dl:解OPXRxdl22xRr整个带电环在P点的电势则dlRqdldq22220048dqqdldUrR Rx 22222200084RqdlqUdUR RxRx 显然在 时有Rx 04qUx建立如图所示坐标系，取 dl:解

19、1R2R3R12341q2q3q由高斯定理得110RrE2120124RrRrqE32202134RrRrqqE32032144RrrqqqE例例3、三个同心带电导体球壳，半径分别为 ， 带电量分别为 ，求电势分布。321,RRR321,qqq1R2R3R12341q2q3q110RrE2120124RrRrqE32202134RrRrqqE32032144RrrqqqE则12312311234RRRrrRRRUE dlE drE drE drE dr303202101444RqRqRq23232234rRRrRRUE dlE drE drE dr30320201444RqRqrq333123

20、3400344RrrRqqqUE dlE drE drrR1234404rrqqqUE dlE drr1R2R3R12341q2q3q（1）区域1，均处于球1、球2、球3之内3121010203444qqqURRR（2）区域2，处于球1之外，球2、球3之内312200203444qqqUrRR同理可得34,U U1R2R3R12341q2q3q312300344qqqUrR123404qqqUr空间中任意一点的电势由三个带电球面产生的ppUE dl零电势点,pppqUWqU三 带电量为 的带电体在电势为的电场中的电势能,()abbababaqabqqE dlAWWq UU 四从过程中静电力对

21、作功为电势能增量的负值,bababaa bUE dlUU二两点的电势差电场力作功与电势要点：电场力作功与电势要点：一一 求电势的两种方法求电势的两种方法04pqdqUr1）电场强度积分2）电势叠加:2 ,(0),?ABl OCDBlABqqQ QDDCOO例距离为是以 为中心 以 为半径的半圆弧、 分别放有点电荷和则把的点电荷从点沿路径移到 点的过程中电场力作功为多少+q AB -qCDl 2O00004(3 )46ODUqqqUlll解00,6ODDQqQWWQUl则 的电势能0()6DCOODDQqAWWWl 电场力作功为电势能增量的负值电场中电势相等的点所构成的曲面。以点电荷q的电场为例

22、有：04qUr21PPUE dlE nUEn0limnUEn 结论结论等势面密集处，等势面密集处，场强数值大，电场线场强数值大，电场线也密集。也密集。1P2Pn规定:用等势面描写电场时,相邻等势面之间的电势差相等性质：性质： （1）等势面与电场线处处正交。（2）电场线总是由高电位等势面指向低电位等势面。（3）等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强小。0cos00Edlql dEqdAl dE即20cos将q0沿等势面移动dl电场力对q0做功为零，即+点电荷的等势面点电荷的等势面电偶极子的等势面电偶极子的等势面UUdU1S2S1Pne2Pnd3Pl d有两个靠得很近的等势面S1和S2，它们的电势分

23、别为U和U+dU，在P1作S1的法线，与S2交于P2点。P1P2=dn, P1也可以沿dl方向到达P3点，有cosdndl 沿dl方向电势的空间变化率为：cosdUdUdldnUUdU1S2S1Pne2Pnd3Pl dcosdUdUdldnndUgradUUedn 定义，电势梯度：定义，电势梯度：电势梯度是一个矢量，方向与该点电势变化率最大的方向相同，大小等于沿该方向上的电势空间变化率。EE显然，电势沿dn方向空间变化率最大。 设dn方向的单位矢量为 ，ne沿dl方向电势的空间变化率为：麦克斯韦首次提出，读“纳布拉”（Nabla），Nabla原指一种希伯来竖琴，外形酷似倒三角。nnE dneEdnUUdUdU ndUEdn ndUEegradUUdn 1、UUdU1S2S1Pne2Pnd3Pl dEE2、cosEgradUUdUdUdndl 将单位正电荷由P1移动到P2，电场力做功为： 电场强度在电场强度在 方向的分量为：方向的分量为：ne 电场强度在电场强度在 方向的分量为：方向的分量为：dl2、cosdUdUEgradUdndl xyzUUUEEExyz UUUEgradUijkxyz 结论结论由于电势为标量，则计算电场中任一点的电势比较方便从而由 便可以比较方便的求得UUUEgradUijkxyz E将直角坐标系中的xyz轴的方向，分别取为 的方向，则dl例例1、已知电势