chapter7_债券价值分析

1、第七章 债券价值分析授课教师：刘岚湖南师范大学商学院债券价值分析的方法债券价值分析的方法收入资本化法（收入法、现金流贴现法）：收入资本化法（收入法、现金流贴现法）：包括股息（或利息）贴现法和自由现金流贴包括股息（或利息）贴现法和自由现金流贴现法现法市场法市场法资产基准法资产基准法第一节第一节 收入资本化法在债券价值分析中的运用收入资本化法在债券价值分析中的运用理论依据：任何资产的内在价值取决于该资产预期理论依据：任何资产的内在价值取决于该资产预期的未来现金流量的现值。可根据对资产内在价值与的未来现金流量的现值。可根据对资产内在价值与市场价格的比较，帮助投资者进行正确的投资决策市场价格的比较，帮

2、助投资者进行正确的投资决策。决定债券内在价值成为债券价值分析的核心。决定债券内在价值成为债券价值分析的核心。一、贴现债券一、贴现债券又称零息债券，是一种以低于面值的贴现又称零息债券，是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。偿还的债券。面值是投资者未来唯一的现金流。面值是投资者未来唯一的现金流。TyAV1V，债券的内在价值，债券的内在价值A，债券的面值，债券的面值y，债券的预期收益率，债券的预期收益率T，债券剩余期限，债券剩余期限例：假定某种贴现债券的面值为例：假定某种贴现债券的面值为100100万美元，万美元，期限为期限为202

3、0年，该债券的预期收益率为年，该债券的预期收益率为10%10%，那，那么它的内在价值应该是多少？么它的内在价值应该是多少？万美元864.141 . 01/10020V二、直接债券二、直接债券又称定息债券，按照票面金额计算利息，又称定息债券，按照票面金额计算利息，可附息票，也可不附息票。可附息票，也可不附息票。未来的现金流包括本金和利息。未来的现金流包括本金和利息。C C，债券每期支付的利息，债券每期支付的利息TTyAycycycycycV111111432例：假设现在是例：假设现在是20072007年年1111月，目前市场上月，目前市场上美国政府债券的预期收益率为美国政府债券的预期收益率为10

4、%10%（半年计（半年计一次复利）。美国政府于一次复利）。美国政府于19961996年年1111月发行月发行了一种面值为了一种面值为10001000美元，年利率为美元，年利率为13%13%的的1515年期国债。那么该债券的内在价值为多少年期国债。那么该债券的内在价值为多少？时间 2008年5月2008年11月2009年5月2009年11月2010年5月2010年11月2011年5月2011年11月现金流（美元6565656565656565+1000美元）(095.109705.01100005.016505.016505.0165882V三、统一公债三、统一公债没有到期日的特殊的定息债券。没

5、有到期日的特殊的定息债券。ycycycycV32111例：某种统一公债每年的固定利息是例：某种统一公债每年的固定利息是5050美元，假美元，假定该债券的预期收益率为定该债券的预期收益率为10%10%，那么，该债券的，那么，该债券的内在价值是多少？内在价值是多少？美元5001 .050V如何判断债券价格是否低估？如何判断债券价格是否低估？方法一：比较两类到期收益率方法一：比较两类到期收益率Y Y是债券的预期收益率是债券的预期收益率k k是债券本身承诺的到期收益率是债券本身承诺的到期收益率P P为债券价格；为债券价格；c c为每期支付利息；为每期支付利息；A A为到期偿为到期偿还本金（面值），则还

6、本金（面值），则TTkAkckckcP11112如如y k，则该债券价格被高估；，则该债券价格被高估；如如y 0, NPV 0, 该债券被低估，投资者可买入；该债券被低估，投资者可买入；NPV 0, NPV 0, 该债券被高估，投资者可卖出。该债券被高估，投资者可卖出。延用上例数据，则延用上例数据，则美元06.2490009. 01100009. 016009. 016009. 0160332NPV第二节第二节 债券定价原理债券定价原理19621962年由马尔基尔最早系统提出债券定价年由马尔基尔最早系统提出债券定价的的5 5个原理。个原理。原理一：债券的价格与债券的收益率成反比原理一：债券的价

7、格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当债券价格上升时，债例关系。换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升。，债券的收益率上升。例：某例：某5 5年期的债券，年期的债券，面值为面值为10001000美元，每年美元，每年支付利息支付利息8080美元，即息美元，即息票率为票率为8%8%。如果市场价。如果市场价格分别格分别（1 1）等于面值）等于面值（2 2）上升到）上升到11001100美元美元（3 3）下降到）下降到900900美元，美元，计算其收益率。计算其收益率。0.08k,1100018018010005

8、5则kkk0.0576k11000180180110055，则kkk0.1098k1100018018090055，则kkk原理二：当市场预期收益率变动时，债券原理二：当市场预期收益率变动时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成的到期时间与债券价格的波动幅度之间成反比关系。换言之，到期时间越长，价格反比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。格波动幅度越小。原理三：随着债券到期时间的临近，债券原理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之

9、，到期时间越长，债券价格度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。例：假定存在例：假定存在4 4种期限分别是种期限分别是1 1年、年、1010年、年、2020年和年和3030年的债券，它们的息票率都是年的债券，它们的息票率都是6%6%，面值均为，面值均为100100元，其他属性完全一样。如元，其他属性完全一样。如果起初这些债券的预期收益率都等于果起初这些债券的预期收益率都等于6%6%，则其内在价值都是则其内在价值都是100100元。如果相应的预期元。如果相应的预期收益率上升或下降，这四种债券的内在价收益率上升或下降，这四种债券

10、的内在价值的变化如下表：值的变化如下表：内在价值（价格）与期限之间的关系内在价值（价格）与期限之间的关系预期收益率 期 限 1年 10年 20年 30年4% 102 116 127 1355% 101 108 112 1156% 100 100 100 1007% 99 93 89 888% 98 86 80 77例：某例：某5 5年期债券，面值为年期债券，面值为10001000美元，每年支付美元，每年支付利息利息6060美元，即息票率为美元，即息票率为6%6%。如其发行价格为。如其发行价格为883.31883.31美元，则收益率为美元，则收益率为9%9%。0.09k1100016016031

11、.88355，则kkk如一年后，收益率维持不变，则市场价格将如一年后，收益率维持不变，则市场价格将为为4409. 01100009. 016009. 016081.902假定两年后，该债券收益率仍为假定两年后，该债券收益率仍为9%9%，则其市场价，则其市场价格为格为06.92409. 01100009. 016009. 016033同种债券价格随到期时间的变动同种债券价格随到期时间的变动到期期限 5年 4年 3年 2年 1年 0年债券价格883.31902.81924.06947.23972.481000价格波动幅度116.6997.1975.9452.7727.520价格波动率11.67%9

12、.72%7.59%5.28%2.75%0波动率变化值 _1.95%2.13%2.32%2.53%2.75%原理四：对于期限既定的债券，由收益率原理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带了的利润大于动，收益率下降给投资者带了的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。收益率上升给投资者带来的损失。例：某例：某5 5年期债券年期债券A A，面值为，面值为10001000美

13、元，息票率为美元，息票率为7%7%。假定发行价格等于面值，则其收益率等于息票。假定发行价格等于面值，则其收益率等于息票率。率。（1 1）如收益率上升到）如收益率上升到8%8%，则该债券价格下降为，则该债券价格下降为（2 2）如收益率下降到）如收益率下降到7%7%，则该债券价格上升为，则该债券价格上升为07.96008. 01100008. 017008. 01705512.104206. 01100006. 017006. 017055原理五：对于给定的收益率变动幅度，债原理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比券的息票率与债券价格的波动幅度成反比例关系。换言之，

14、息票率越高，债券价格例关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小。的波动幅度越小。例：某例：某5 5年期债券年期债券B B，面值为，面值为10001000美元，息票率为美元，息票率为9%9%。如债券如债券B B与债券与债券A A的收益率都为的收益率都为7%,7%,则两债券的价则两债券的价格分别为格分别为10000.07110000.071700.07170A55：债券10820.07110000.071900.07190B55：债券如两种债券的收益率都上升到如两种债券的收益率都上升到8%8%，则它们，则它们的价格下降为的价格下降为960.070.08110000.081700.08170

15、A55：债券1039.930.08110000.081900.08190B55：债券 第三节第三节 债券价值属性债券价值属性到期时间到期时间(time to maturity)(time to maturity)债券息票率债券息票率= =预期收益率，利息收入可补偿预期收益率，利息收入可补偿投资者资金的时间价值。投资者资金的时间价值。债券息票率债券息票率 预期收益率，利息收入超过资预期收益率，利息收入超过资金的时间价值，投资者会从债券价格的贬金的时间价值，投资者会从债券价格的贬值中遭受资本损失。值中遭受资本损失。折价债券：若债券到期收益率大于息票率折价债券：若债券到期收益率大于息票率，则债券价格

16、低于面值，称为折价债券，则债券价格低于面值，称为折价债券(discount bonds)(discount bonds)。溢价债券：价格高于其面值的债券。（溢价债券：价格高于其面值的债券。（premium bondspremium bonds） 折（溢）价债券的价格变动折（溢）价债券的价格变动价格价格时间时间1000到期日到期日溢价债券溢价债券折价债券折价债券零息债券：如利率恒定，则债券价格以等零息债券：如利率恒定，则债券价格以等于利率值的速度上升。于利率值的速度上升。息票率息票率(coupon rate)(coupon rate)在其他属性不变的条件下，债券的息票率在其他属性不变的条件下，债

17、券的息票率越低，债券的价格随预期收益率波动的幅越低，债券的价格随预期收益率波动的幅度越大。度越大。内在价值（价格）变化与息票率之间的关系内在价值（价格）变化与息票率之间的关系息票率 预期收益率 内在价值变化率7% 8% 5%7%到8%7%到5%4%68 60 87 -11.3%+28.7%5%78 70 100 -10.5%+27.1%6%89 80 112 -10.0%+25.8%7%100 90 125 -9.8%+25.1%可赎回条款可赎回条款(call provision)(call provision)当预期收益率下降并低于债券的息票率时，债券的发行人能够以更低的成本筹到资金，发行人

18、会放弃高息债券、以低息债券重新融资的行为称为再融资（refunding)。赎回价格通常设定为债券面值+年利率，随着到期日的减少而下降，逐渐趋近于面值。往往规定了赎回保护期。称为有限制的可赎回债券（deferred callable bonds)。可赎回条款的存在，降低了该类债券的内在价值，且降低了投资者的实际收益率。为弥补被赎回的风险，这种债券发行时通常有较高的息票率和承诺到期收益率。 可赎回条款对债券价格的影响可赎回条款对债券价格的影响价格价格利率利率040060080010001200140016001800200022005%10%15%20%直接债券直接债券AABB可赎回债券可赎回债券

19、债券的折溢价发行也会影响公司的赎回决策。如债券折价较多，价格远低于赎回价格，即使市场利率下降也不会高于赎回价格，公司就不会赎回债券；反之，溢价债券由于发行价格较高，极易被赎回。所以，对溢价债券投资者主要关注赎回收益率，而对折价债券投资者主要关注到期收益率。债券的赎回收益率债券的赎回收益率(yield to call, YTC)(yield to call, YTC)30年期的可赎回债券，面值为1000美元，发行价为1150美元，息票率为8%（以半年计息），赎回保护期为10年，赎回价格1100美元。2020211100214021401150YTCYTCYTC%64. 6YTC则，税收待遇税收待

20、遇(tax treatment)(tax treatment)债券的税收待遇的关键，在于债券的利息收入是否需要纳税。由于利息收入纳税与否直接影响着投资的实际收益率，所以，税收待遇成为影响债券的市场价格和收益率的一个重要因素。例：例：0505华润债（债券代码华润债（债券代码058006058006）发行日和起息）发行日和起息日均为日均为20052005年年5 5月月2727日，期限日，期限1010年，按面值年，按面值100100元元发行，票面利率发行，票面利率5.05%5.05%，到期还本付息，假设，到期还本付息，假设20072007年年5 5月月2828日的价格为日的价格为106106元。考虑

21、税收因素时该债元。考虑税收因素时该债券的到期收益率为：券的到期收益率为：%4.15%18. 3y12 . 0105. 512 . 0105. 512 . 0105. 510682率为不考虑税收的到期收益则， yyy例：某例：某3030年期的零息票债券，面值为年期的零息票债券，面值为10001000美元，预期收益率美元，预期收益率10%10%。则发行价为：则发行价为：一年后预期收益率不变时，债券价为：一年后预期收益率不变时，债券价为：价差价差63.04-57.31=5.7363.04-57.31=5.73（美元）作为利息收入纳税。（美元）作为利息收入纳税。若预期收益率下降为若预期收益率下降为9.

22、9%9.9%，则债券价格变为：，则债券价格变为：若债券被卖掉，价差若债券被卖掉，价差64.72-63.04=1.6864.72-63.04=1.68（美元）作为资本收（美元）作为资本收益以相应税率纳税。益以相应税率纳税。若没被卖掉，则作为为实现资本收益不需纳税。若没被卖掉，则作为为实现资本收益不需纳税。31.57%101/10003004.63%101/10002972.64%9 . 91/100029流通性流通性(liquidity)(liquidity)买卖差价较小的债券流动性比较高；反之，流动买卖差价较小的债券流动性比较高；反之，流动性较低。性较低。其他条件不变的情况下，债券的流动性与债

23、券的其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的名义到期收益率之间呈反比例关系。名义到期收益率之间呈反比例关系。相应地，债券的流动性与债券的内在价值呈正比相应地，债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。例关系。违约风险违约风险(default risk)(default risk)违约风险越高，投资收益率也应越高。违约风险越高，投资收益率也应越高。债券评级依据的主要财务比率有：债券评级依据的主要财务比率有： 固定成本倍数：公司收益与固定成本之比。如固定成本倍数：公司收益与固定成本之比。如已获利息倍数。已获利息倍数。 杠杆比率：即资产负债比率。杠杆比率：即资产负债比率。 流动性比率：流动性比率：

24、 常见的有流动比率和速动比率。常见的有流动比率和速动比率。 盈利性比率：常见的是资产收益率。盈利性比率：常见的是资产收益率。 现金比率：即公司现金与负债之比。现金比率：即公司现金与负债之比。Edward Altman 分离分析分离分析ROECoverage ratios0AAXXXXXXXOOOOO奥尔特曼最终确定的直线方程是：奥尔特曼最终确定的直线方程是：Z = 3.3息税前收益息税前收益/总资产总资产+99.9销售额销售额/总资产总资产+0.6股票市场价值股票市场价值/债务帐面价值债务帐面价值+1.4保留盈余保留盈余/总资产总资产+1.2营运资本营运资本/总资产总资产奥尔特曼奥尔特曼(19

25、68) 的分离分析的分离分析用于预测公司违约风险。用于预测公司违约风险。若若Z0.75Z0.75，公司位置落在直线上方，没有风险；，公司位置落在直线上方，没有风险；若若Z0.75Z0.75，公司被认为有财务困难。，公司被认为有财务困难。奥尔特曼直线方程奥尔特曼直线方程 ： Z=3.3Z=3.3 息税前收益息税前收益/ /总资产总资产+99.9+99.9 销售额销售额/ /总资产总资产+0.6+0.6 股票市场价值股票市场价值/ /债务账面价值债务账面价值+1.4+1.4 保留盈保留盈余余/ /总资产总资产+1.2+1.2 营运资本营运资本/ /总资产总资产由于违约风险的存在，债券承诺的到期收益

26、率不一定由于违约风险的存在，债券承诺的到期收益率不一定能够实现，只是一种可能的最大收益率，故投资者更能够实现，只是一种可能的最大收益率，故投资者更关注期望的到期收益率。关注期望的到期收益率。期望的到期收益率：若公司存在破产风险时，可能以期望的到期收益率：若公司存在破产风险时，可能以低于面值的价格偿还债券低于面值的价格偿还债券例：某公司例：某公司20年前发行的债券，面值年前发行的债券，面值1000美元，息票美元，息票率为率为9%(半年计息半年计息)，还有，还有10年到期，目前市价年到期，目前市价750元元。公司陷入财务困境，若到期公司破产的话，投资者只公司陷入财务困境，若到期公司破产的话，投资者

27、只能收回按面值的能收回按面值的70%则承诺的到期收益率和期望的到期收益率各是多少？则承诺的到期收益率和期望的到期收益率各是多少？承诺的到期收益率：承诺的到期收益率：计算得计算得k=13.7%期望的到期收益率：期望的到期收益率：计算得计算得y=11.6%202021100021452145750kkk20202170021452145750yyy可转换性可转换性(convertibility)(convertibility)可转换债券的持有者可用债券交换一定数量的普通股股票。可转换债券的持有者可用债券交换一定数量的普通股股票。每单位债券可换的股票股数称为转换率每单位债券可换的股票股数称为转换率(

28、conversion ratio), (conversion ratio), 可可换得的股票当前价值称为市场转换价值换得的股票当前价值称为市场转换价值(market conversion (market conversion ratio),ratio),转换价格与市场转换价值的差额为转换损益转换价格与市场转换价值的差额为转换损益(conversion (conversion premium)premium)。可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。如果从转可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。换中获利，则持有者的实际收益率会大

29、于承诺的收益率。可延期性可延期性 (extendability)(extendability)与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。一种终止或继续拥有债券的权利。因此，可延期债权的息票率和承诺的到期收益率因此，可延期债权的息票率和承诺的到期收益率较低。较低。小结：债券属性与债券收益率小结：债券属性与债券收益率 债券属性债券属性与债券收益率的关系与债券收益率的关系1.1.期限期限当预期收益率当预期收益率 ( (市场利率市场利率) ) 调整时，期限越长，债券的价格波动调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大；但是，当期限延

30、长时，单位期限的债券价格的波动幅幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。度递减。2.2.息票率息票率当预期收益率当预期收益率 ( (市场利率市场利率) ) 调整时，息票率越低，债券的价格波调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。动幅度越大。3.3.可赎回条可赎回条款款当债券被赎回时，投资收益率降低。所以，作为补偿，易被赎回当债券被赎回时，投资收益率降低。所以，作为补偿，易被赎回的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较低。较低。4.4.税收待遇税收待遇享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收

31、优惠待遇的债享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较高。券的收益率比较高。5.5.流动性流动性流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较高。高。6.6.违约风险违约风险违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。比较低。7.7.可转换性可转换性可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。8.8.可延期性可延期性可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比

32、较高。可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。第四节第四节 久期、凸度与免疫久期、凸度与免疫久期久期(duration)(duration)马考勒马考勒(F.R. Macaulay)(F.R. Macaulay)提出，所以又叫马考提出，所以又叫马考勒久期（简记为勒久期（简记为D D）久期是久期是债券的平均剩余年限，债券的平均剩余年限，在数值上和债在数值上和债券的剩余期限近似，但又有别于债券的剩余券的剩余期限近似，但又有别于债券的剩余期限。在债券投资里，久期被用来衡量债券期限。在债券投资里，久期被用来衡量债券或者债券组合的利率风险，它对投资者有效或者债券组合的利率风险，它对投资者有

33、效把握投资节奏有很大的帮助。把握投资节奏有很大的帮助。一般来说，久期和债券的到期收益率成反比，和债一般来说，久期和债券的到期收益率成反比，和债券的剩余年限及票面利率成正比。券的剩余年限及票面利率成正比。但对于一个普通的附息债券，如果债券的票面利率但对于一个普通的附息债券，如果债券的票面利率和其当前的收益率相当的话，该债券的久期就等于和其当前的收益率相当的话，该债券的久期就等于其剩余年限。其剩余年限。债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大的债也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息

34、时，久期大的债券下跌的券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。因此，投资者在预期未来升息时，可幅度也较大。因此，投资者在预期未来升息时，可选择久期小的债券。选择久期小的债券。 马考勒久期计算公式马考勒久期计算公式 TttTtttTttttPcPVtPycPtycD1111/1其中，其中，D是马考勒久期，是马考勒久期，P是债券当前的市场价格，是债券当前的市场价格，Ct是债券是债券未来第未来第t次支付的现金流（利息或本金），次支付的现金流（利息或本金）， T是债券在存续期是债券在存续期内支付现金流的次数，内支付现金流的次数， t是第是第t次现金流支付的时间，次现金流支付的时间，y是

35、债券是债券的到期收益率，的到期收益率，PV（Ct）代表债券第）代表债券第t期现金流用债券到期收期现金流用债券到期收益率贴现的现值。益率贴现的现值。马考勒久期计算举例马考勒久期计算举例某债券当前的市场价格为某债券当前的市场价格为950.25950.25美元，到期收益率为美元，到期收益率为10%10%，息，息票率为票率为8%8%，面值，面值10001000美元，美元，3 3年后到期，每年付息一次，到期年后到期，每年付息一次，到期一次偿还本金。一次偿还本金。未来现金未来现金流支付时流支付时间（间（t)t)未来现金未来现金流流 (c,(c,美美元）元）现值系数现值系数未来现金流的现值未来现金流的现值现

36、值乘以支付时间现值乘以支付时间1 800.9091 72.73 72.732 800.8264 66.12 132.233 1 0800.7513 811.40 2434.21ty1美元,1/ttyc美元,1/tyctt马考勒久期定理马考勒久期定理定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间定理一：只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间。定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时定理二：直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间。间。定理三：统一公债的马考勒久期等于（定理三：统一公债的马考勒久期等于（1+1/y1+1/y），其中），其中y y是是计算现值采用的贴现率。计算现

37、值采用的贴现率。定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。短。定理五：在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一定理五：在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越短。般也越短。定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。低，久期越长。马考勒久期与债券价格的关系马考勒久期与债券价格的关系关系如下关系如下yDPPD 是修正的马考勒久期，等于是修正的马考勒久期，等于D/（1+y）凸度（凸度（convexityconvexity）债券价格变动率与收益率变动曲线的曲度。债券价格变动率与收益率变动曲线的曲度。等于债券价格对收益率二阶倒数除以价格。等于债券价格对收益率二阶倒数除以价格。221yPPC收益率变动幅度与价格变动率之间的关系收益率变动幅度与价格变动率之间的关系当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格当收益率变动幅度较大时