理论力学第三章

1、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院2一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影3-1 3-1 空间汇交力系空间汇交力系yxzFFxFyFzikj若已知力与正交坐标系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角，则用三轴间的夹角，则用直接投影法直接投影法cos()cos()cos()xyzFFFFFFFiFjFk，1 1、直接投影法、直接投影法理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4当力与坐标轴当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力

2、间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面先投影到坐标平面Oxy上，上，得到矢量得到矢量Fxy(力在平面上的投影力在平面上的投影为矢量为矢量)，然后再把这个矢量，然后再把这个矢量Fxy投影到投影到x 、y轴上，这叫轴上，这叫二二次（间接）投影法次（间接）投影法。coscossincoscos sinsinsinsincosxyzFFFFFFFFF2 2、二次（间接）投影法、二次（间接）投影法yxzFFxFyFzFxy 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院6例例三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面三棱柱底面为直角等

3、腰三角形，在其侧平面ABED上作用上作用有一力有一力F，力，力F与与OAB平面夹角为平面夹角为300，求力，求力F在三个坐标轴上在三个坐标轴上的投影。的投影。 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院71 1、合成、合成将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得：将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得：R12niFFFFF 合力的大小和方向为：合力的大小和方向为：222R()()()xyzFFFF RRRRRRcos()cos()cos()yxzFFFFFFFiFjFk，RRRRxyzxyzFF iFjF kF iF jF k 或或二二、空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系

4、的合成与平衡理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院82 2、平衡、平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。R0i FF以解析式表示为：以解析式表示为：000 xyzFFF 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9例例图示起重机吊起重物。起重杆的图示起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，端用球铰链

5、固定在地面上，B端用端用绳绳CB和和DB拉住，两绳分别系在墙上的拉住，两绳分别系在墙上的C点和点和D点，连线点，连线CD平行于平行于x轴。轴。已知已知CE=EB=DE，角，角a a =30o ，CDB平面与水平面间的夹角平面与水平面间的夹角EBF= 30o，重物重物G=10kN。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。如不计起重杆的重量，求起重杆所受的力和绳子的拉力。解：解：1、取杆取杆AB与重物为研究与重物为研究对象，受力分析如图。对象，受力分析如图。G正视图正视图G理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院102、列平衡方程列平衡方程1212120sin45sin4

6、500sin30cos45 cos30cos45 cos3000cos45 sin30cos45 sin30cos300 xyAzAFFFFFFFFFFFG 3、联立求解联立求解123.54 kN8.66 kNAFFF，G理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12xyzOFMO(F)rA(x，y，z)hB 空间力对点的矩的作用效果取决空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。其模表示力矩的大

7、小；表示，如图。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向指向表示力矩在其作用面内的转向(符符合右手螺旋法则合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用；方位表示力矩作用面的法线。由于力矩与矩心的位置有面的法线。由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，处，是是定位矢量定位矢量。3-23-2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩以矢量表示力矩矢一、力对点的矩以矢量表示力矩矢力可沿作用线滑动，力可沿作用线滑动，所以是所以是滑动矢量滑动矢量。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院13以以r表示矩心到力作用线的矢径，

8、则表示矩心到力作用线的矢径，则()OMFrF以矩心以矩心O为原点建立坐标系，则为原点建立坐标系，则xyzxyzFFFrijkFijkxyzOFMO(F)rA(x，y，z)hBjik()OxyzxyzFFFijkMFrF()()()( )( )( )zyxzyxOxOyOzyFzFzFxFxFyFijkM FiM FjM Fk理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院14力对力对轴轴的的矩定义矩定义为力在与该轴垂直面上为力在与该轴垂直面上的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。()()2zOxyxyOabMMF hA FF 力对轴的矩是度量力使刚体绕该轴

9、转力对轴的矩是度量力使刚体绕该轴转动效应的，是一个动效应的，是一个代数量。代数量。xyzOFFxyhBAab符号规定：从符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转动取正号，轴正向看，若力使刚体逆时针转动取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：由定义可知：当力的作用线与轴平行或相交当力的作用线与轴平行或相交(共面共面)时，力对轴的矩等于零。时，力对轴的矩等于零。当力沿作用线移动时，对轴的当力沿作用线移动时，对轴的矩不变。矩不变。二、力对轴的矩二、力对轴的矩1 1、力对轴之矩的定义、力对轴之矩的定义理论力学理论力学中南大学土木工程学院

10、中南大学土木工程学院15理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyFFFFF设力设力F在三个坐标在三个坐标轴轴上的投影分别为上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点力作用点A的坐标为的坐标为(x，y，z)，则则同理可得其它两式。故有同理可得其它两式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyFFFF2 2、力对轴之矩的解析表达式、力对轴之矩的解析表达式xyzOFxFyFzA(x，y，z)BFxFyFxyabxyF理论力学理论力学中南大学土木工程学院

11、中南大学土木工程学院18比较力对点的矩和力对通过该点轴的矩的解析表达式得：比较力对点的矩和力对通过该点轴的矩的解析表达式得：即：力对点的矩矢即：力对点的矩矢在通过该点的某轴在通过该点的某轴上的投影，上的投影， 等于力对该轴的矩。等于力对该轴的矩。()()()()()()OxxOyyOzzMMMMFFMFFMFF3 3、力对点的矩与力、力对点的矩与力对过该点的轴对过该点的轴的矩的关系的矩的关系力对点的矩矢力对点的矩矢在不通过该点的某轴在不通过该点的某轴上的投影，上的投影，不等于力对该轴的矩。不等于力对该轴的矩。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19理论力学理论力学中南大学土

12、木工程学院中南大学土木工程学院20解：解：222coscosxFaFFabc222cos sinyFbFFabc222sinzFcFFabc ()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFF例例求力求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。在三轴上的投影和对三轴的矩。yxzF bcaFxy22222cosababc22cosaab()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF合力矩定理合力矩定理理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21解：解：()()ACCACMFMF22()cosCFbaFaabMF22222()() cosACCFabcMababc

13、FMF例例如图所示，长方体棱长为如图所示，长方体棱长为a、b、c，力，力F 沿沿BD，求力，求力F 对对AC之矩。之矩。F bcaABCD MC(F)理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院223-3 3-3 空间力偶空间力偶一、力偶的矢量表示一、力偶的矢量表示性质：力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影响性质：力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影响它对刚体的作用效应。它对刚体的作用效应。AFFFRBOF2A1F1B1F2F1FR理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23图示两力偶不等效图示两力偶不等效1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三

14、要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；OrArBrBA00( )()ABBAABMMFMFrFrFrFrF 力力偶偶矩矩矢矢理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24力偶矩矢为一自由矢量。力偶矩矢为一自由矢量。空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶，空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。FMF二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理 由力偶的性质可知：力偶的作用效应取决

15、于力偶矩的大由力偶的性质可知：力偶的作用效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量小、力偶的转向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表表示：用示：用M 的模表示力偶矩的大小；的模表示力偶矩的大小；M 的指向按右手螺旋法则的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向；表示力偶的转向；M 的作用线与力偶作用面的法线方位相同。的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示，如图所示，M 称为力偶矩矢。称为力偶矩矢。力偶对某点的矩等于力偶矩矢，力偶对某点的矩等于力偶矩矢，力偶对某轴的矩等于力偶矩矢力偶对某轴的矩等于力偶矩矢在该轴上的投影！在该轴上的投影！理论力学理论力学中南大学土木工程

16、学院中南大学土木工程学院25理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院27力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。三、空间力偶系的合成与平衡三、空间力偶系的合成与平衡1 1、合成、合成12ni MMMMM 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：根据合矢量投影定理：根据合矢量投影定理：xxyyzzMMMMMM ，于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：于

17、是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：222()()()xyzMMMM cos()cos()cos()xyzMMMMMMMiMjMk，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28例例工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为矩均为80Nm。求工件所受合力偶的矩在。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。并求合力偶矩矢的大小和方向。解：将作用在四个面上的力偶解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到用力偶矩矢表示，并平移到A点点。34

18、52145cos45cos45193.1N m80N mcos45cos45193.1 N mxyzMMMMMMMMMM 所以合力偶矩矢的大小所以合力偶矩矢的大小222284.6 N mxyzMMMM合力偶矩矢的方向余弦合力偶矩矢的方向余弦cos0.6786cos0.2811cos0.6786 ，MiMjMk理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：因为：222()()()xyzMMMM 所以：

19、所以：000 xyzMMM上式即为空间力偶系的平衡方程。上式即为空间力偶系的平衡方程。2 2、平衡、平衡120ni MMMMM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30 例例 已知两圆盘半径均为已知两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，圆轴，圆盘面盘面O2垂直于垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不，构件自重不计，求轴承计，求轴承A、B处的约束力。处的约束力。解：取整体，受力图如图所示。解：取整体，受力图如图所示。204008000 xAzMFF 104008000zAxMFF 1

20、.5N2.5NAxBxAzBzFFFF 解得解得理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31 空间力系向点空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。力偶系，如图。(1 2)()iiiOiiiin，FFMMFrFFnF1F2yzxOF1FnF2MnM2M1zyxOMOFROxyz一、空间任意力系向一点的简化一、空间任意力系向一点的简化3-4 3-4 空间任意力系的简化空间任意力系的简化理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33空间汇交力系可合成一合力空间汇交

21、力系可合成一合力FR：Rii FFF力系中各力的矢量和称为空间力系的力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢主矢。主矢与简化中心的位置无关。主矢与简化中心的位置无关。MOFROxyz空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的中心的主矩主矩。主矩一般与简化中心的位置有关。主矩一般与简化中心的位置有关。()()OOiii MMFrF 空间力系向任一点空间力系向任一点O简化，可得一力和一力偶，这个力简化，可得一力和一力偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化

22、中心的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35 有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF 有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF 侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM 滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x轴滚转轴滚转OyM 偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM 俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院36 1 1、空间任意力系

23、简化为一合力偶的情形、空间任意力系简化为一合力偶的情形 FR=0，MO0简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。 FR 0，MO = 0简化结果为与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中简化结果为与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心心O，其大小和方向等于原力系的主矢。，其大小和方向等于原力系的主矢。2 2、空间任意力系简化为一合力的情形、空间任意力系简化为一合力的情形二、二、空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析

24、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37 FR 0，MO0 ，且，且FR MO此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为作用面垂直的情形称为力螺旋力螺旋。FR与与MO同方向时，称为同方向时，称为右手右手螺旋螺旋； FR与与MO反向时，称为反向时，称为左手螺旋左手螺旋。图示为一右手螺旋。图示为一右手螺旋。MOFROOFR3 3、空间任意力系简化为力螺旋的情形、空间任意力系简化为力螺旋的情形理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38 简化后为与原力系等效的合力，其大小和方向等

25、于原力系的主简化后为与原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用线离简化中心矢，合力的作用线离简化中心O的距离为的距离为ROdFM FR 0，MO0 ，且，且FR MOMOFROFRFRFROOdFROO理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41FR 0，MO0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时可，同时两者既不平行，又不垂直，此时可将将MO分解为两个分力偶分解为两个分力偶MO和和MO，它们分别垂直于，它们分别垂直于FR和和平行于平行于FR，

26、则，则MO和和FR可用作用于点可用作用于点O的力的力FR来代替，来代替，最终得一通过点最终得一通过点O的力螺旋。的力螺旋。MOFROMOFROMOFROOMO4 4、空间任意力系简化为平衡的情形、空间任意力系简化为平衡的情形当空间任意力系向一点简化时出现当空间任意力系向一点简化时出现 主矢主矢FR=0，主矩主矩MO = 0 ，这是空间任意力系平衡的情形。，这是空间任意力系平衡的情形。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42一、一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程FR=0，MO = 0 000()0()0()0 xyzxyzFFFMMMFFF，空间任意力系平衡的必

27、要与充分条件为：空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。和也等于零。上式即为空间任意力系的平衡方程。上式即为空间任意力系的平衡方程。3-5 3-5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院430()0()0zxyFMM，FF二、空间平行力系的平衡方程二、空间平行力系的平衡方程理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44二、二、空间约束类型空间约束类型理论力学理论力学中南大学土木工程学院

28、中南大学土木工程学院45理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院46例例图示三轮小车，自重图示三轮小车，自重G=8kN，作用于，作用于E点，荷载点，荷载F1=10kN，作用于，作用于C点。点。求小车静止时地面对车轮的约束力。求小车静止时地面对车轮的约束力。解：以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力解：以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。分析如图。1110000.2m1.2m2.2m000.8m0.6m0.6m1.2m0zABDxDyDBFFGFFFMFGFMFGFFFF解方程得解方程得5.8 kN7.777 kN4.423 kND

29、BAFFF，列平衡方程列平衡方程理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47例例图中胶带的拉力图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力，曲柄上作用有铅垂力F=2kN。已知胶带轮的直径已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长，曲柄长R=300mm，胶带，胶带1和胶和胶带带2与铅垂线间夹角分别为与铅垂线间夹角分别为a a 和和 ，a a =30o， =60o，其它尺寸其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48解：以整个轴为研究对象，受力图如图所示，列平衡方程。解：以整个轴为研究对象，受

30、力图如图所示，列平衡方程。1221120cos300.2mcos600.2m0.2m0.4m00020sin300.2msin600.2m0.4m0 xBzyzBxMFFFFDMFRFFMFFFFFF12120sin30sin6000cos30cos600 xAxBxzAzBzFFFFFFFFFFF注意到注意到 F2=2F1解方程得解方程得123kN6kN10.04kN9.40kN3. 35kN1.80kNAxAzBxBzFFFFFF ，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49例例图示为车床主轴。车床对工件的切削力为：径向切削力图示为车床主轴。车床对工件的切削力为：径向切削

31、力Fx=4.25kN，纵向切削力纵向切削力Fy=6.8kN，主切削力，主切削力Fz=17kN，方向如图所示。，方向如图所示。Ft与与Fr分别为分别为作用在直齿轮作用在直齿轮C上的切向力和径向力，且上的切向力和径向力，且Fr=0.36Ft。齿轮齿轮C的节圆半径为的节圆半径为R=50mm，被切削工件的半径为，被切削工件的半径为r =30mm。卡盘及工件等自重不计，其余。卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图。求尺寸如图。求: (1)齿轮啮合力齿轮啮合力Ft及及Fr；(2)径向轴承径向轴承A和止推轴承和止推轴承B的约束力。的约束力。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50 解：以整体

32、为研究对象，主动力解：以整体为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。和约束力组成空间任意力系。列平衡方程列平衡方程tr000000 xBxAxxyByyzBzAzzFFFFFFFFFFFFFtrt00048876 mm76mm388mm0048876 mm76mm30mm388mm0yzxBzzzBxyxMF RF rMFFFMFFFFFFF由题意有由题意有rt0.36FFtr10.2kN3.67kN15.64kN31.87kN1.19 kN6.8kN11.2kNAxAzBxByBzFFFFFFF ，解方程得解方程得理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51例例 一等边三

33、角形板边长为一等边三角形板边长为a , 用六根杆支承成水平位置如用六根杆支承成水平位置如图所示，若在板内作用一力偶其矩为图所示，若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束力。求各杆的约束力。ABC16425330o30o30oABCM理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52ABC16425330o30o30oABCMF1F2F3F4F5F66()033022BBMMaFF643MFa 433()0022CCMMaFF443MFa 533()0022AAMMaFF543MFa 解：取等边三角形板解：取等边三角形板为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。理论力学理论力学中南大学土

34、木工程学院中南大学土木工程学院53ABC16425330o30o30oABCM14()03310222BCMa FaFF123MFa25331()00222ACMa FaFF223MFa36331()00222ABMa FaFF323MFaF1F2F3F4F5F6理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54例例图示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端图示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端用球铰链与板和地面连接。板重为用球铰链与板和地面连接。板重为G，在，在A处作用一水平力处作用一水平力F，且且F = 2G。求各杆的内力。求各杆的内力。理论力学理论力学中南大学土

35、木工程学院中南大学土木工程学院55解：解：1、取工件为研究取工件为研究对象，对象，受力分析如图。受力分析如图。2、列平衡方程列平衡方程654612222300200000020020cos4502ABAEACEFFGBCaMF aGMFMFaaMGF aFbabbMGFbF bbMGF bFbFFFF3、联立求解联立求解6123021.52 2GFFFGFG ，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院56一、平行力系中心一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和

36、作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此称该点为此平行力系的中心平行力系的中心。F1FRF2yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr3-6 3-6 重重 心心R1Cn1nrFrFrF000R11CnnFFFrFrFrF000R1 1()()Cn ni iFFFFrFrrFrF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57 重力是地球重力是地球对物体的吸引力，如果将物体看成由无数对物体的吸引力，如果将物体看成由无数的质点组成的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺，则重力便构成空间汇交力系。

37、由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为点称为物体的重心物体的重心。iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP，二、重心二、重心i iCiFFrriiiiiiCCCiiiFxF yFzxyzFFF，投影为投影为理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58 上述公式为物体的几何形状中心，即上述公式为物

38、体的几何形状中心，即形心的形心的坐标公式，坐标公式，可见可见均质物体的重心就是几何中心，即形心。非均质物体，均质物体的重心就是几何中心，即形心。非均质物体，几何形状中心不是物体的重心。几何形状中心不是物体的重心。 对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：dddVVVCCCx Vy Vz VxyzVVV，dddAAACCCx Ay Az AxyzAAA，dddlllCCCx ly lz lxyzlll，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院591 1、简单几何形状物体的重心、简单几何形状物体的重心 如果均质物体有对称面，或

39、对称轴，或对称中心，则如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法2 2、用组合法求重心、用组合法求重心分割法分割法 如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzP

40、PP，iiCiiCCCiiAxA yxyAA，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60负面积法负面积法 若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。 例例 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧的圆弧AMB与弦与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。 ABM 解解 1、在物块的对称面上建立图示直角坐标系、在物块的对称面上建立图示直角坐标系Oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故轴上，故yC=0。xyO CR 2、图示弓形面积可看成由扇形、图示弓形面积可看成由扇形OAMB去去掉三角形掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角