拉格朗日方程

1、 动力学普遍方程动力学普遍方程 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程引引 言言 将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基

2、础。对于解决复杂的非自由质点系分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。力学普遍方程简便得多。1.1动 力 学 普 遍 方 程 设由设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，个质点组成的质点系，由达朗伯原理知，在质点系运动的任一瞬时，任一质点在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用的主上作用的主动力动力 ，约束反力，约束反力 及其惯性力及其惯性力 三者构三者构成形式上的平衡力系，即成形式上的平衡力系，即iMiFNiFiiIiamF0IiNiiFFF),2, 1(ni 对该质点系应用虚位移原

3、理，为此，取质点系对该质点系应用虚位移原理，为此，取质点系的任何一组虚位移的任何一组虚位移 ，则得，则得), 2 , 1(niri 0)(1niiIiNiirFFF设该质点受的是理想约束，则有设该质点受的是理想约束，则有0iNirF故故0)(1iIiniirFF1.1动 力 学 普 遍 方 程即即0)(1iiiniiramF将上式写成解析式，则有将上式写成解析式，则有0)()()(1niiiiZiiiiyiiiixizzmFyymFxxmF 以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为而得到的结果，称为动力学普遍方程动力学普遍方程，也称，也

4、称达朗达朗伯伯拉格朗日方程拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如。动力学普遍方程可以叙述如下：下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。1.1动 力 学 普 遍 方 程 例1 图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为 的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求重为 的重物下降的加速度。2Q1Q2Q2Q1Q 解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力为 、

5、 ，假想加上惯性力 、 。1Q2Q2IF1IF1a2a1IF2IF其中111agQFI222agQFI 给系统以虚位移 和 ，由动力学普遍方程，得1s2s1s2s0)()(11112222sagQQsagQQ由运动学关系2121ss2121aa 代入上式得1.1动 力 学 普 遍 方 程0)41()21(212212sQQgaQQgQQQQa121224)2(202s 例2 有两个半径皆为r的轮子，中心用连杆相连，在倾角为 的斜面上作纯滚动，如图。设轮重皆为P，对轮心的转动惯量皆为J，连杆重量为Q，求连杆运动的加速度。 解：以系统为研究对象，系统具有理想约束，系统所受的主动力有它们的重力。假想

6、加上惯性力，如图。PPQaIPIPIQIMIM其中agPPIraJMIagQQI1.1动 力 学 普 遍 方 程PPQaIPIPIQIMIM 给连杆以平行斜面移动的虚位移 ，则轮子有相应的转动虚位移 ，根据动力学普遍方程srss0sin)2(2)2(sQPMsQPIII即0sin)2(2)2(2sQPsarJsQPga0sgJgrQPrQPa2)2(sin)2(221.2拉 格 朗 日 方 程 一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程 设有设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有具有N个自由度，其个自由度，其 位置可由位置可由N个广义坐标个广义坐标 来确定

7、。则有来确定。则有kkkQqTqTdtd)(), 2 , 1(Nk 是广义坐标对是广义坐标对式中式中2121iinivmT为质点系的动能；为质点系的动能；kq 时间的变化率，称为时间的变化率，称为广义速度广义速度； 是对应广义坐标是对应广义坐标kQ 的广义力。的广义力。kq这就是这就是拉格朗日方程拉格朗日方程，简称简称拉氏方程拉氏方程。它是由它是由N个二个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。广义坐标表示的质点的运动方程。1.2拉 格 朗 日 方 程 二、保守系统的拉格朗日方程二、保守

8、系统的拉格朗日方程 在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程0)(kkqLqLdtd), 2 , 1(Nk 式中式中 为质点系动能和势能之差，称为为质点系动能和势能之差，称为拉格拉格朗日函数。朗日函数。VTL这就是这就是保守系统的拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程。 三、应用拉格朗日方程解题的步骤三、应用拉格朗日方程解题的步骤 1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。统的自由度数目，选取合适的广义坐标。 2

9、、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）1.2拉 格 朗 日 方 程 3、计算对应每个广义坐标的广义力、计算对应每个广义坐标的广义力 ；当主；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数及拉格朗日函数 。jQVTL 4、计算诸导数：、计算诸导数：kqTkqTj)(kqTdtd或或kqLkqL)(kqLdtd 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二个二阶常微分方程。由

10、阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。个初始条件，解得运动方程。1.2拉 格 朗 日 方 程 例例3 在水平面内运动的行星齿在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为重为P，可视为均质圆盘；曲柄，可视为均质圆盘；曲柄OA重重Q，可视为均质杆；定齿轮半径，可视为均质杆；定齿轮半径为为R。今在曲柄上作用一不变的力。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为偶，其矩为M，使机构运动。求曲，使机构运动。求曲柄的运动方程。柄的运动方程。OMrRA 解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐标。 由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的

11、角速度 的关系为rRr 则系统的动能为1.2拉 格 朗 日 方 程OMrRA22222222)(92(121)21(21)(21)(3121RrPQgrgPRrgPRrgQT 给曲柄以虚位移 ，则对应的广义力为MMWQ求诸导数2)(92(61RrPQgT 2)(92(61)(RrPQgTdtd0T1.2拉 格 朗 日 方 程QTTdtd)(由，得MRrPQg 2)(92(61即2)(92(6RrPQMg 积分得曲柄的运动方程为0022)(92(3ttRrPQMg式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。001.2拉 格 朗 日 方 程RRABCk 例例4 如图轮如图轮A的质量为的质量为 ，在水平

12、面上只滚动不，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮滑动，定滑轮B的质量为的质量为 ，两轮均为均质圆盘，半，两轮均为均质圆盘，半径均为径均为R，重物，重物C的质量为的质量为 ，弹簧的弹性系数为，弹簧的弹性系数为 ，试求系统的运动微分方程。试求系统的运动微分方程。1m2m3mk 解：以系统为研究对象，系统具有一个自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡位置量起。系统的动能为x232123222221)843(16121)(21(21)2)(23(21xmmmxmRxRmRxRmT 设系统平衡时弹簧的静伸长为 ，则有关系式stRgmRkst23即gmkst321.2拉 格 朗 日 方 程RRABCkx

13、 以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置，则系统的势能为223)2(2ststxkgxmV利用前面的关系，整理得281kxV 2232181)843(161kxxmmmVTL代入保守系统的拉格朗日方程 得0)(xLxLdtd02)843(321kxxmmm 即为系统的运动微分方程。 则拉格朗日函数为1.2拉 格 朗 日 方 程 例例5 如图，均质圆轮的质量为如图，均质圆轮的质量为 ，半径为，半径为R，在，在水平面上只滚动不滑动。杆长水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为质量为 与轮在圆心与轮在圆心A铰接，试求系统的运动微分方程。铰接，试求系统的运动微分方程。1m2mACR 解：以系统为研究对象，

14、系统具有两个自由度。取 x 和 为广义坐标。x 系统的动能为x x 2L2222222221)121(21cos22421)(23(21LmxLLxmRxRmT整理后得222222221241)cos41(2143LmxLLxmxmT1.2拉 格 朗 日 方 程 系统的势能为ACRxgm2cos22LgmV 则拉格朗日函数为cos21241)cos41(21432222222221gLmLmxLLxmxmL代入拉格朗日方程0 xLxLdtd得0)cos(2123221 dtdLmxmxm整理得0sincos)23(22221 LmLmxmm（1）1.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程0L

15、Ldtd得0sin2sin21121)cos(21412222222LgmxLmLmxdtdLmLm 整理后得0sin3cos32gxL （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉 格 朗 日 方 程kOAR 例6 如图轮为均质圆盘，质量为如图轮为均质圆盘，质量为 ，半径为半径为R，轮心，轮心O及重物及重物A只能沿铅直方只能沿铅直方向运动，重物向运动，重物A的质量为的质量为 ，弹簧刚性系，弹簧刚性系数为数为 ，原长为，原长为 。试求系统的运动微分。试求系统的运动微分方程方程。1m2mk0L 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。取 x 和 为广义坐标。x 系统的动能为2222121

16、)(21)21(2121RxmRmxmT 系统的广义力为)()()()(021021)(LxkgmmxxLxkxgmmxWQxx1.2拉 格 朗 日 方 程gRmgRmWQ22)(代入拉格朗日方程xQxTxTdtd得)()()(02121LxkgmmRxdtdmxm 整理得)()()(021221LxkgmmRmxmm （1）代入拉格朗日方程QTTdtd得gRmxRmRmm2222122)2( （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉 格 朗 日 方 程RAkB 例7 如图，物体如图，物体A的质量为的质量为 ，B轮质量为轮质量为 ，半径为半径为R，在水平面上只滚动不滑动，物体，在水

17、平面上只滚动不滑动，物体A与水平与水平面无摩擦，弹簧刚性系数为面无摩擦，弹簧刚性系数为 ，试求系统的运动微，试求系统的运动微分方程。分方程。1m2mk 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。1x2x1x2x 系统的动能为22221122222222114321)(21(212121xmxmRxRmxmxmT 系统的广义力为)()(012110121)1(1lxxkxxlxxkxWQx)()(012220122)2(2lxxkxxlxxkxWQx1.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程111)(xQxTxTdtd得0)(01211lxxkxm （1）代入拉格朗日方程2

18、22)(xQxTxTdtd得0)(2301222lxxkxm （2）（1）、（2）即为系统的运动微分方程。1.2拉 格 朗 日 方 程 例8 实心均质圆柱实心均质圆柱A和质量分布与边缘的空心圆和质量分布与边缘的空心圆柱柱B，质量分别为，质量分别为 、 ，半径均为，半径均为R，两者用通过，两者用通过定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱定滑轮的绳索相连，如图。设圆柱A沿水平面作纯滚沿水平面作纯滚动，滚动摩擦不计，圆柱动，滚动摩擦不计，圆柱B铅直下降。试求两圆柱的铅直下降。试求两圆柱的角加速度和质心的加速度。角加速度和质心的加速度。AmBmAB 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标

19、。ByAxAxBy 系统的动能为BABBBABAABBBBAAAAyxmymxmmRxyRmymRxRmxmT22222222)23(41)(2121)(21(2121gmAgmB 系统所受主动力只有重力，且皆为有势力。取过圆柱的水平面为零势面，则系统的势能为1.2拉 格 朗 日 方 程BBgymV故拉格朗日函数为BBBABBBABAgymyxmymxmmVTL22)23(41求诸导数0AxLBBABAAymxmmxL)23(21BBABAAymxmmxLdtd )23(21)(gmyLBBABBBBxmymyL2ABBBBxmymyLdtd 2)(代入拉格朗日方程0)(AAxLxLdtd得0

20、)23(21BBABAymxmm （1）1.2拉 格 朗 日 方 程代入拉格朗日方程0)(BByLyLdtd得02gmxmymBABBB （2）联立求解方程（1）、（2）得gmmmxaBABAA3 gmmmmyaBABABB)3(223 于是角加速度为gRmmmRaBABAA)3(gRmmmmRaaBABAABB)3(2231.2拉 格 朗 日 方 程 例9 质量为质量为 的金属板放置在光滑水平面上，的金属板放置在光滑水平面上，板上有半径为板上有半径为 r 、 质量为质量为 的均质圆柱，圆柱在板的均质圆柱，圆柱在板上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力 拉动金属拉动金属板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。1m2mFFCA 解：以系统为研究对象，系统具两个自由度。选取 、 为广义坐标。AxAxxgm1gm2 系统的动能为2222221222222143)(21)21(21)(2121rmxrmxmmrmrxmxmTAAAA系统的广义力为FxxFxWQA