机械优化设计总复习305029ppt课件

1、一一 设计变量设计变量 在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。在优化设计过程中，要优化选择的设计参数。 设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设设计变量必须是独立变量，即：在一个优化设计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。计问题中，任意两个设计变量之间没有函数关系。二二 设计空间设计空间 在一个优化设计问题中，所有可能的设计方在一个优化设计问题中，所有可能的设计方案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集案构成了一个向量集合。可以证明，这个向量集合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。合是一个向量空间，并且是一个欧氏空间。 一个优化设计问题中，设计变量的个数，就一个优化设计问题中，设计变

2、量的个数，就是它的设计空间的维数。是它的设计空间的维数。三三 目标函数目标函数 优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，优化设计中要优化的某个或某几个设计指标，这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。这些指标是设计变量的函数，称为目标函数。1212 ,Tnnxxx xxxx 四四 设计约束设计约束 优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件优化设计中设计变量必须满足的条件，这些条件是设计变量的函数。是设计变量的函数。约束条件的分类约束条件的分类（1根据约束的性质分根据约束的性质分边界约束边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即性能约束性能约束

3、由方案的某种性能或设计要求，推导出来由方案的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。的约束条件。iiibxai 1,2, ，nu=1,2, ，m 0Xgu 0Xhvv = 1，2， ，p n（2根据约束条件的形式分根据约束条件的形式分不等式约束不等式约束一个一个 n 维的优化设计问题中，等式约束的个数必须维的优化设计问题中，等式约束的个数必须少于少于 n 。显式约束显式约束 隐式约束隐式约束等式约束等式约束* *五五 可行域可行域 可行域可行域 : : 在设计空间中，满足所有约束条件的在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间所构成的空间 。 满足两项约束条件满足两项约束条件g1X）=x12

4、x2216 0g2X）2x20的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域Dmin. .0,1,2,0,1,2,nuvfXXRs tgXumhXvpn六六 优化设计的数学模型优化设计的数学模型七七 最优化设计的迭代解法及其收敛条件最优化设计的迭代解法及其收敛条件 最优化方法的迭代格式最优化方法的迭代格式 k=0,1,2, 二二 最优化方法中迭代解法的终止准则最优化方法中迭代解法的终止准则123 kkkkSXX1 11kkXX 21kkXfXf31kXf*一、一、 目标函数的基本性质目标函数的基本性质1 函数的等值面线）函数的等值面线） 函数的等值面线是用来描述、研究函数的整体性质的。函数的等值

5、面线是用来描述、研究函数的整体性质的。2 函数的最速下降方向函数的最速下降方向梯度梯度X1 点的最速下降方向为点的最速下降方向为 局部性质局部性质 TnnxXfxXfxXfxfxfxfXf21211fX2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目标函数等值线是以点目标函数等值线是以点2 2，0 0为圆心的一组同心圆。为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x，*()0Fx约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D D。01234

6、-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0*三三 函数的近似表达式函数的近似表达式 f (X) 的近似表达式为的近似表达式为 kkTkkTkkXXXHXXXXXfXfXf21 H(X (k) 为为Hessian 矩阵矩阵 22221222222122122122122nknknknkkknkkkkkxXfxxXfxxXfxxXfxXfxxXfxxXfxxXfxXfXfXH四四 函数的凸性理解）函数的凸性理解）1. 凸集凸集2. 凸函数凸函数 如果如果HESSEN矩阵正定，为凸函数；矩阵正定，为凸函数； 二次函数二次函

7、数 12TTfXX QXb Xc3. 凸规划凸规划*五、优化问题的极值条件五、优化问题的极值条件 1、无约束优化问题的极值条件、无约束优化问题的极值条件12() 0TnFFFFxxxxx1F(x)在在 处取得极值，其必要条件是处取得极值，其必要条件是: *x即在极值点处函数的梯度为即在极值点处函数的梯度为n维零向量。维零向量。2） 处取得极值充分条件处取得极值充分条件2222112122222*2122222212*()nnnnnFFFxx xx xFFFx xxx xFFFFx xx xx 正定或负定xxl海色海色Hessian矩阵矩阵 正定，即各阶主正定，即各阶主子式均大于零，则子式均大于

8、零，则X*为极小点。为极小点。()Hx*xl海色海色Hessian矩阵矩阵 负定，即各阶主负定，即各阶主子式负、正相间，则子式负、正相间，则X*为极大点。为极大点。()Hx1约束优化设计的最优点在可行域约束优化设计的最优点在可行域 D 中中 最优点是一个内点，其最优解条件与无约束最优点是一个内点，其最优解条件与无约束优化设计的最优解条件相同；优化设计的最优解条件相同；2、约束优化问题的极值条件、约束优化问题的极值条件2约束优化设计的最优点在可行域约束优化设计的最优点在可行域 D 的边界上的边界上 设设 X (k) 点有适时约束点有适时约束10 (1,2, )( )0 ()0 ()ljkjkj

9、JkiiijjghFinxxxgjJjJx库恩库恩塔克条件塔克条件 （K-T条件）：条件）：第三章第三章 一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法*一、确定最优解所在区间的进退法一、确定最优解所在区间的进退法 在寻找一个区间在寻找一个区间 Xa , Xb ，使函数，使函数 f (X)在该区间的极小点在该区间的极小点 X* Xa , Xb 。*二、黄金分割法二、黄金分割法 用黄金分割法在区间用黄金分割法在区间 Xa , Xb 中寻找中寻找 X* 。 Xa ，X1， X2， Xb 如何消去子区间？如何消去子区间？f (X1) f (X2) ，消去，消去X2， Xb，保管，保管Xa， X2f (X1

10、) f (X2) ，消去，消去Xa， X1，保管，保管X1， Xb120.618bbaabaXXXXXXXX第三章第三章 一维搜索的最优化方法一维搜索的最优化方法了解一维搜索的插值类方法了解一维搜索的插值类方法*一、一、 梯度法梯度法负梯度方向负梯度方向 是函数最速下降方向。是函数最速下降方向。梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即 k=1,2, ,n kXf kkdfX 第第 四四 章章 无约束最优化方法无约束最优化方法 在最速下降法中，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜数梯度相互垂直。而搜索方向就是

11、负梯度方向，索方向就是负梯度方向，因此相邻两个搜索方向因此相邻两个搜索方向互相垂直。互相垂直。图图4-2 最速下降法的搜索路径最速下降法的搜索路径1()()0kTkffxx*会证明：会证明：二、二、 牛顿法牛顿法牛顿法的迭代公式牛顿法的迭代公式 阻尼牛顿法的迭代公式阻尼牛顿法的迭代公式牛顿方向牛顿方向 110,1,kkkkkXXHXfXk , 1 , 011kXfXHXXkkkk 1kkkdHXfX 三、三、 共轭方向法共轭方向法1、共轭方向、共轭方向定义：定义： 设设 A 为为 n n 阶实对称正定矩阵，有一组非零的阶实对称正定矩阵，有一组非零的 n 维向量维向量 d1、 d2 、 dn，若

12、满足，若满足 diT A dj 则称向量系则称向量系 di ( i=1,2,n ) 对于矩阵对于矩阵 A 共轭。共轭。2 二次收敛性二次收敛性定义：对于一个定义：对于一个 n 维的二次函数维的二次函数若应用某种优化方法，经过有限次一般不超过若应用某种优化方法，经过有限次一般不超过 n 次次一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有二一维搜索，就能找到极小点，则称该优化方法具有二次收敛性质。次收敛性质。定理：共轭方向法具有二次收敛性。定理：共轭方向法具有二次收敛性。 AXXBXCXfT21*3、鲍威尔、鲍威尔 (Powell)法法 直接法直接法 鲍威尔法原理，如何构成共轭方向？！鲍威尔法原理，

13、如何构成共轭方向？！ 改进的算法。改进的算法。jjkkkdd ddjgg gk+1xxk+1*四、四、 单纯形方法单纯形方法单纯形思想、原理、特点；单纯形思想、原理、特点；四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。四种操作：反射、扩张、收缩和缩边。第五章第五章 约束优化设计约束优化设计一、关于设计约束的若干概念 可行域 所有满足全部约束条件的点的集合。0,1,2,0,1,2,uvgXumDXhXvpn可行点可行点 可行域中的点，即满足所有约束条件的点。可行域中的点，即满足所有约束条件的点。边界点边界点 在可行域边界上的点。在可行域边界上的点。 若有点若有点 Xk 使得使得 那么那么 Xk 为一个边界点

14、。为一个边界点。内点内点 除边界点以外的所有可行点。除边界点以外的所有可行点。 若有点若有点 Xk 满足满足 那么那么 Xk 为一个内点。为一个内点。miXgki, 2 , 1, 0miXgki, 2 , 1, 0非可行域非可行域 可行域以外的区域。可行域以外的区域。非可行点非可行点 非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。非可行域中的点，即不满足所有约束条件的点。适时约束适时约束 若有点若有点 X k 使某个不等式约束使某个不等式约束 gu(X) 0 的等号的等号 成立，即成立，即 则称则称 g i(X) 0 为点为点 X k 的一个适时约束。的一个适时约束。 等式约束始终是适时约束。等式

15、约束始终是适时约束。miXgki, 2 , 10*二、可行方向法二、可行方向法1 可行方向法的寻优策略可行方向法的寻优策略 （1当前点在约束面上，则产生一个可行方向寻优，得到新点当前点在约束面上，则产生一个可行方向寻优，得到新点在可行域内，则命名为当前点；在可行域内，则命名为当前点； （2若得到的新点在可行域外，则取可行方向与约束面的交点若得到的新点在可行域外，则取可行方向与约束面的交点为当前点；为当前点； （3沿线性约束面搜索；沿线性约束面搜索； （4沿非线性约束面搜索。沿非线性约束面搜索。2 可行下降方向可行下降方向定义定义 设设 d 是是 的一个可行方向，即的一个可行方向，即 若对于上式

16、中的若对于上式中的 X (k) 、 X (k+1) 存在存在 则称则称 d为为 X (k) 点的一个可行下降方向。点的一个可行下降方向。X (k) 为可行域中的一个内点；为可行域中的一个内点； DXk 11,kkkXXdXD 01kkXfXf()0kTkfxdX (k) 点是可行域中边界点；点是可行域中边界点； 设设 X (k) 点在约束面点在约束面 gj (X ) = 0 ，j=1,2,J假设假设 d 是是 X (k) 点的一个可行下降方向，则应有点的一个可行下降方向，则应有可行：可行：下降：下降：iii. X (k) 为非可行点，不存在可行下降方向。为非可行点，不存在可行下降方向。 01,

17、2,kjgXjJ()0(1,2, )kTkjjJgxd()0kTkfxd(1)负梯度方向；负梯度方向；(2)优选方向法；优选方向法；(3)梯度投影法。梯度投影法。3 可行下降方向确定可行下降方向确定*三、三、 约束优化设计的复合形法约束优化设计的复合形法 对约束优化问题对约束优化问题1 确定初始复合形确定初始复合形 选择选择 （n+1K2n顶点，这顶点，这 k 个顶点必须是可行点。个顶点必须是可行点。2 确定搜索方向确定搜索方向计算计算 k 个顶点的函数值，设个顶点的函数值，设 记记 最坏点最坏点 X (1) 为为 X (H) 次坏点次坏点 X (2) 为为 X (SH) 最好点最好点 X (

18、k) 为为 X (L) muXgtsRXXfun, 2 , 10. .min kkXfXfXfXf121求出求出 X (2)、 X (3)、 X (k-1)、 X (k) 的点集的中心的点集的中心(几何中心几何中心) X (S) 以以 X (H) 指向指向 X (S) 的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的方向作为寻优的方向，沿此方向寻找一个较好的点的点 X (R) 。假设假设 f (X (R) ) f (X (H) ) ，则以，则以 X (R) 替代替代 X (H) ，构成新的复合形。，构成新的复合形。 kjjSXkX211 HSSRXXXX内点法内点法( )11( , )( )( )mkiirfrgxxx( )1( , )( )ln( )mkiirfrgxxx或或2211( , )( )max0,( )( )mlijijrfrgrhxxxx012rrr 罚因子罚因子( )( )2( )1111( ,)( )( )( )mlkkjkijirfrhgrxxxx01210kkrrrrr罚因子罚因子01210kkrrrrr 罚因子罚因子*四、四、 惩罚函数法惩罚函数法内点法和外点法的异同内点法和外点法的异同*一、掌握多