第七章IIR滤波器的设计方法

1、第7章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器设计方法主要内容n掌握冲激响应不变法n掌握双线性变换法n掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点n了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程n了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法7.2 数字滤波器的实现步骤数字滤波器的实现步骤 数字滤波器设计的4个步骤: (1) 按任务的需要，确定滤波器性能指标； (2) 用一个因果稳定的LSI系统函数去逼近这一性能要求，有IIR和FIR两种； (3) 用有限精度算法实现这个系统函数（包括选择运算结构（第5章）、选择合适的字长等）； （4）实际的技术实现；可以采用通用计算机软件

2、，也可以采用DSP。7.3 数字滤波器的技术指标n滤波器的频率响应：()()()jjjjH eH ee 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jH e 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()j：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限（波纹）1：阻带容限（波纹）2st2()jH en阻带：cstn过渡带：c11()1jH en通带：1.1.低通滤波器幅度响应的容限图低通滤波器幅度响应的容限图通带最大衰减：通带最大衰减： （dBdB） pR0p1()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eRH eH e 阻带最小衰减阻带最小衰减： (dB

3、)(dB)sA0s2()20lg20lg()20lg()ststjjjH eAH eH e 其中：其中：0()1jH e当当 时，时，()2/20.707cjH e称称 为为3dB3dB通带截止频率通带截止频率p3RdBc3.表征数字滤波器频率响应特性的三个参量n幅度平方响应2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的极点既是共轭的，又是以单的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的位圆成镜像对称的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH H( (z z) )的极点：单位圆内的极点的极点：单位圆内的极点n相位响应

4、相位响应()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位响应：相位响应：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z n群延迟响应相位对角频率的导数的负值相位对角频率的导数的负值()je若滤波器通带内若滤波器通带内 = = 常数，常数， 则为则为线性相位滤波器线性相位滤波器7.5 模拟原型低通滤波器设计模拟原型低通滤波器设计n

5、将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器n模拟滤波器模拟滤波器n巴特沃思巴特沃思 Butterworth 滤波器滤波器n切贝雪夫切贝雪夫 Chebyshev 滤波器滤波器n椭圆椭圆 Ellipse 滤波器滤波器n模拟滤波器设计步骤模拟滤波器设计步骤：2）选定滤波器类型（巴特沃思、切贝雪夫、椭圆）；）选定滤波器类型（巴特沃思、切贝雪夫、椭圆）； 3）计算滤波器所需阶次）计算滤波器所需阶次N；4）查表查表或计算确定归一化低通滤波器的系统函数或计算确定归一化低通滤波器的系统函数Ha

6、n(s)；n 1）给定滤波器技术指标：）给定滤波器技术指标：pst1p2s, (1)(dB),(dB)RA或或5）将）将Han(s)转换为所需类型的滤波器系统函数转换为所需类型的滤波器系统函数Ha(s) 。由幅度平方函数由幅度平方函数 确定模拟滤波器的确定模拟滤波器的系统函数系统函数2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs h(t)是实函数是实函数2()aHj( )aHs()()aaHjHj 将左半平面的的极点归将左半平面的的极点归Ha(s)将以虚轴为对称轴的对将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点的零点，虚轴上的零点一半归

7、一半归Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布 由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s平面函数平面函数n对比对比 和和 ，确定增益常数，确定增益常数()aHj( )aHsn由零极点分布，得系统函数由零极点分布，得系统函数 ( )aHs2()( )aaHjHs由确定的方法2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）5sj 零点：零点：5sj 7, 6ss 的极

8、点：的极点：( )aHs设增益常数为设增益常数为K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjK45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss7.5.2 模拟巴特沃思低通滤波器模拟巴特沃思低通滤波器1. 幅度平方函数幅度平方函数：221()1aNcHj当当2()1/2acHj时称称 c c为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽1( 0)20lg3()aacHjdBHjN 为滤波器的阶数为滤波器的阶数 c c为通带截止频率为通带截止频率2. 幅度函数特点幅度

9、函数特点：221()1aNcHj20()1aHj n 21()1/23caHjdB n 3dB不变性不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小 当当 st（阻带截止频率）时，衰减的（阻带截止频率）时，衰减的 2为阻带最小衰减为阻带最小衰减012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1( )()=()1aa

10、aNs jcHs HsHjsj1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN （1 1）3. 3. 滤波器的系统函数滤波器的系统函数： 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共圆上，共2N点点 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为/N rad 极点不落在虚轴上极点不落在虚轴上 N N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布(a) N=3 (三阶）三阶） (b)N=4 （四阶）（四阶）n 为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，2N个极

11、点中只取个极点中只取s平平面左半平面的面左半平面的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平面，而右半平面的的N个极点构成个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为的表示式为1( )()NcaNkkHsss设N=3，极点有6个（见前页图），它们分别为：（下页）(2)H(2)Ha a(s)(s)的极点的极点其中分子系数 由Ha(0)=1解得。23122133341356,jccjjccjccsessesesse 取s平面左半平面的极点s1, s2, s3 组成Ha(s)： 32233( )()()()cajjcccHsssese1( )()NcaNkkHsss1211222( 1)1,2,.

12、,kjNNkccsjekN 系统函数为：系统函数为：极点为：极点为：当当N为偶数为偶数，Ha(s)的极点（左半平面）皆成共轭对，记为：的极点（左半平面）皆成共轭对，记为：1,1,2,./ 2kNks skN 这一对共轭点构成一个二阶子系统：这一对共轭点构成一个二阶子系统：（7.5.9）22221( )(21)()()2cos()22cckkNkccHskssssssN 当当N为奇数为奇数，则系统由一个一阶系统（极点，则系统由一个一阶系统（极点s=-1）和）和(N-1)/2个二阶系统组成：个二阶系统组成：整个系统由整个系统由N/2（N为偶数）个此二阶系统级联而成：为偶数）个此二阶系统级联而成：/

13、21( )( )NakkHsHsN为偶数为偶数 （7.5.10）(1)/21( )( )NcakkcHsHssN为奇数为奇数 （7.5.11）1 /crad s 这时得到的是归一化系统的系统函数这时得到的是归一化系统的系统函数( )anHs去归一化去归一化，得，得( )( )caanssHsHsancsH为了便于对各种类型及各种截止频率为了便于对各种类型及各种截止频率 滤波器的滤波器的设计，滤波器设计手册中，都是将低通滤波器的截设计，滤波器设计手册中，都是将低通滤波器的截止频率止频率 归一化为归一化为1 1，即即cc4. 4. 滤波器的设计步骤：滤波器的设计步骤：( (P355-356)P35

14、5-356)221()1apNpcHj0.10.1101101psRAgn根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：ppssRAn确定技术指标：确定技术指标：20lg()papRHj 由由20.1110pNRpc得：得：20.1110sNAsc同理：同理：ssp令令lglgsgN则：则：0.10.1101101psNRpAsn求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：11( )()anNkkHsss或者由或者由N，直接查表得，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技术指标其中技术指标 c给出或由下式求出：给出或由下式求出：110.12101Ncp 121221,2,.,

15、kjNksekN其中极点：其中极点：n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕210.12101Ncs 或或通带指标有富裕通带指标有富裕 例：例：试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器，要求通带截止频率c=24000rad/s，通带最大衰减Rp=3dB，阻带下限截止频率st=28000rad/s，阻带最小衰减As=20dB.解：解：（1）求阶数N：221()1aNcHj220lg()10lg1 (/)10lg2NpacccRHj 220lg()10lg1 (/)NsaststcAHj 联立求解，得：3.249N 因此，可取因此，可取 N=4；（2）求极点：）求极点：121221,2,.,kjNk

16、csekN 由式：由式：*5 /814jcsse *7 /823jcsse （3）求系统函数）求系统函数Ha(s)：22122222( )( )( )0.76531.8478ccaccccHsH s Hsssss实际上实际上，求出，求出N=4时，可以直接查表（时，可以直接查表（表表7-2，P370），得到归），得到归一化的（一化的（c=1）4阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，然后再用阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，然后再用s/c代替其中的代替其中的s即可得到同样的结果。即可得到同样的结果。7.5.3 模拟切贝雪夫低通滤波器模拟切贝雪夫低通滤波器2221()1()aNcHjCN：滤波器的阶数：滤波

17、器的阶数 c ：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3dB带宽带宽0 模拟低通模拟低通pppp,(7.5.97)ppppss 式将截止频率将截止频率 的低通滤波的低通滤波器变换成为截止频率为器变换成为截止频率为 的低通滤波器；的低通滤波器； 当通带截止频率当通带截止频率 时，时，相当于去归一化相当于去归一化。1p ppOr 参见图参见图7.132. 模拟低通模拟低通模拟高通模拟高通n变换关系：变换关系：ppss (7.5.99)pp Or 参见图参见图7.14: 0 0 sccs : 0 0sccscc 3. 模拟低通模拟低通模拟带通模拟带通n变换关系：变换关系：21221()ppppsss

18、 22121()pppp sj 由sj or参见图参见图7.15: 0 sccs 11022: 0 ss2220222101ppppcp 201221pppppB 2pp 1pp B为通带带宽为通带带宽0 为通带几何对称中心角频率220 4. 模拟低通模拟低通模拟带阻模拟带阻n变换关系：变换关系：stst2st12st1st2()sss st2st12st2st1() or参见图参见图7.16: 0 0 sccs 022110: 0 ss20222022012201cc 20122210/cB 20220 2c 1c B为阻带带宽0 为阻带几何对称中心角频率n例：例：7.3 7.4 P382设

19、计举例设计举例n将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减ppR阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减ssA通带截止频率通带截止频率/ppT 阻带截止频率阻带截止频率/ssT 通带截止频率通带截止频率(/2)ppc tg 阻带截止频率阻带截止频率(/2)ssc tg psRA、不变n确定数字滤波器的技术指标：确定数字滤波器的技术指标：n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法7.6 间接法的间接法的IIR数字滤波器设计方案数字滤波器设计方案n按模拟滤波器的技术指标设计模拟低

20、通滤波按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器器nButterworth低通滤波器低通滤波器nChebyshev低通滤波器低通滤波器n将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法7.7 模拟滤波器数字化为数字滤波器的模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法映射方法n设计思想：设计思想： s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统( )( )aHsH znH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆

21、平面的单位圆n因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) ，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| 1映射方法：映射方法：- - 冲激响应不变法冲激响应不变法- - 双线性变换法双线性变换法7.7 冲激响应不变法冲激响应不变法1. 变换思路数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)( )( )at nTh nh t12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHsT抽样周期抽样周期( )H z( )aHs12

22、akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2. 变换过程变换过程1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 12()()jakH eHjTTT11( )1kNks TkTAH zez当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nT

23、h nT令：令：2()jakkH eHjT则：则：aHjT12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs3. s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系n系数相同：系数相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zezn极点：极点：s 平面平面 z 平面平面kssks Tzen稳定性不变：稳定性不变：S域稳定，即极点位于域稳定，即极点位于s平面平面左半平面，故在左半平面，故在 s 平面平面 ： z 平面平面Re 0ks1ks Te4. Ha(s)与与H(z)之间的关系之间的关系从频率响应来看：从频率响应来看：kakajTkjHTkTjjHTeH)2(1)2

24、(1)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为的周期延拓，周期为2 /T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即限于折叠频率以内时，即2, 0)(saTjH才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真模拟滤波器的频响而不产生混迭失真)(),(1)(jHTeHaj6. 混叠失真现象混叠失真现象2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器例

25、：例：设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设设T = 1sT = 1s，则，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22(

26、)(3)4aHjj n优点优点：n缺点缺点：n保持线性关系：保持线性关系： = T线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器n频率响应混叠频率响应混叠只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器n只适用于并联结构，即系统函数必须先展开成只适用于并联结构，即系统函数必须先展开成部分分式部分分式nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好时域逼近良好9. 冲激响应不变法的优缺点冲激响应不变法的优缺点7.8 阶跃响应不变法阶跃响应不变法自学自学 P3887.9 双线性变换法双线性变换法q冲

27、激响应不变法：时域模仿逼近，缺冲激响应不变法：时域模仿逼近，缺点是产生频率响应的混叠失真点是产生频率响应的混叠失真q为了克服这一缺点，采用为了克服这一缺点，采用双线性变换双线性变换法法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似器的频率响应相似1. 基本思路基本思路q冲激响应不变法的映射是多值映射冲激响应不变法的映射是多值映射, ,导致频导致频率响应交叠。率响应交叠。q改进思路：先将改进思路：先将s s域平面压缩到一个中介平域平面压缩到一个中介平面面s s1 1，然后再将，然后再将s s1 1映射到映射到Z Z平面。平面。:, 1:,T T 1tan2T

28、 111111221221tan()21TTjjjTTTjTjjTeeejjeee 2. 变换过程、变换关系式变换过程、变换关系式js 11js 1111zzs1(7.9.4, 7.9.5)1szs式1111sTsTese1s Tzen为使模拟滤波器与数字滤波器的某一频率有为使模拟滤波器与数字滤波器的某一频率有对应关系，引入常数对应关系，引入常数 c12Tc tg 1111zsczcszcs12Tc tg 2cT1 1 12Tcn例如例如，零频率附近有确切对应关系：，零频率附近有确切对应关系：3. 逼近情况：映射需满足两个基本条件逼近情况：映射需满足两个基本条件2222()()czc01z11

29、11112jjzesccjc tgjze （1）s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆cscjzcscj （2）01z01z左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上4. 非线性频率变换关系非线性频率变换关系2c tg 00 5. 避免了频率响应的混叠现象，可设计各型避免了频率响应的混叠现象，可设计各型滤波器滤波器s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换00 除了零频率附近，除了零频率附近， 与与 之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然

30、会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变11/T 11112 tgc6. 局限性局限性9. 预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 1，则，则112c tg 按按 1设计模拟滤设计模拟滤波器，经双线性波器，经双线性变换后，即可得变换后，即可得到到 1为截止频率为截止频率的数字滤波器的数字滤波器1111111( )( )1aazs czzH zHsHczq可分

31、解成级联的低阶子系统可分解成级联的低阶子系统1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz11. Ha(s)H(z)q可分解成并联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：归一化归一化模拟低通模拟低通模拟低通、模拟低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻

32、带阻模拟域模拟域频带变换频带变换双线性双线性变换变换7.10 先做模拟频带变换再数字化先做模拟频带变换再数字化n将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标的技术指标通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减ppR阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减ssA通带截止频率通带截止频率/ppT 阻带截止频率阻带截止频率/ssT 通带截止频率通带截止频率(/2)ppc tg 阻带截止频率阻带截止频率(/2)ssc tg psRA、不变n确定数字滤波器的技术指标：确定数字滤波器的技术指标：n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法利用

33、模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤数字滤波器的步骤n设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器nButterworth低通滤波器低通滤波器nChebyshev低通滤波器低通滤波器n将相应频带的模拟滤波器转换成数字滤波器将相应频带的模拟滤波器转换成数字滤波器n冲激响应不变法冲激响应不变法n双线性变换法双线性变换法n利用模拟频带变换关系，将模拟低通滤波器转利用模拟频带变换关系，将模拟低通滤波器转换成相应频带的模拟滤波器换成相应频带的模拟滤波器n利用表利用表7.8模拟频带变换关系，将模拟滤波器模拟频带变换关系，将模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标技术指标转换成模拟低通滤波

34、器的技术指标n例例 7.5：设计：设计Butterworth数字低通滤波器，要求数字低通滤波器，要求在频率低于在频率低于0.2 rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率。在频率0.3 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad1pRdB15sAdB1pRdB15sAdB(一一) 冲激响应不变法冲激响应不变法（1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：（2）得模拟滤波器的技术指

35、标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s/1.5spsp 0.10.11010.092101psRspAklg/lg5.8846spspNkN 取10.1321017.032 10/pRNcprad s a）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真（3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHss

36、sssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssc) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化（4）将）将Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz变换成变换成Butterworth数字滤波器：

37、数字滤波器：用冲激响应不变法设计出的用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器滤波器（二）双线性变换法（二）双线性变换法20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad1pRdB15sAdB1pRdB15sAdB1Ts选（1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：（2）考虑）考虑预畸变预畸变，得模拟滤波器的技术指标：，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 0.10.11010.092101psRspAklg/lg5.3066spspNkN 取10.121010.7662/pRNcsrad s a）确定参

38、数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题（3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsssc) 构造系统函数构造系统函数234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化( )aan

39、csHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz（4）将）将Ha(s)变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：n例例7.6：用双线性变换法设计：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通数字低通滤波器，要求在频率低于滤波器，要求在频率低于0.2 rad的通带内幅度特的通带内幅度特性下降小于性下降小于1dB。在频率。在频率0.3 到到 之间的阻带内，之间的阻带内，衰减大于衰减大于15dB。20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sst

40、grad sT 0.2 prad0.3 srad1pRdB15sAdB1pRdB15sAdB1Ts选(1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：(2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：0.65/cprad s 0.11111013.01414sAscchNNch 取0.11010.5088pR a）确定参数）确定参数(3）设计）设计Chebyshev模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求左半平面极点求左半平面极点sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.17021110.36462NNa1111.06442NNb0.0

41、9070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 构造系统函数构造系统函数220.04381(0.43780.1180)(0.18140.4166)ssss44311( )2()cakkHsssc) 去归一化去归一化2340.2756( )0.27560.74261.45390.9528anHsssss( )aancsHsH220.04381(043780.1180)(0.18140.4166)ssssb) 由由N=4， 直接查表得直接查表得1pRdB或者或者：112 11( )( )azsTzH zHs1 412120.001836(1)(1 1.49960.8482) (

42、1 1.55480.6493)zzzzz( )aHs(4）将）将 变换成变换成Chebyshev数字滤波器：数字滤波器：设计的四阶设计的四阶Chebyshev滤波器滤波器例例7.7：设计一个数字带通滤波器，通带范围为：设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3 rad到到0.4 rad，通带内最大衰减为通带内最大衰减为3dB，0.2 rad以下和以下和0.5 rad以上为阻带，阻带内最小衰减为以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用采用Butterworth模拟低通滤波器、双线性模拟低通滤波器、双线性变换法。变换法。110.2rad0.3rad3dBsppR220.5rad0.4rad18dB

43、spsA1120.65/2sstgrad sT1121.019/2pptgrad sT解：解：1）确定数字带通滤波器的技术指标：）确定数字带通滤波器的技术指标：2）转换为模拟带通滤波器的技术指标：）转换为模拟带通滤波器的技术指标： （选（选T=1s）2221.453/2pptgrad sT2222/2sstgrad sT0121.217/ppprad s 210.434/pppBrad s 3）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标：）转换为归一化模拟低通滤波器技术指标：2220222.902spsspB2210113.7506spsspB /2.902spsp 0.10.11010.127101

44、psRspAklg/lg1.9402spspNkN 取2.902s 取小者：取小者：1p 118psRdBAdB 又有又有4）设计归一化模拟低通滤波器：）设计归一化模拟低通滤波器：21( )21aHsss查表得查表得：5）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：）将归一化模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器：220( )( )ppbpansssBHsHs112 11( )( )bpzsTzH zHs2412340.021(12)1 1.4912.8481.681.273zzzzzz6）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字）通过双线性变化法将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器：带通滤波器：7.11 将样本模拟低通滤波器直接数字化为将样本模拟低通滤波器直接数字化为各种频率响应数字滤波器的设计方案各种频率响应数字滤波器的设计方案不作要求不作要求7.12 数字域频带变换法数字域频带变换法 LZHZ平面 11( )dLZG zzHzHZ平面归一化归一化模拟低通模拟低通数字数字低通低通数字低通、数字低通、高通、带通、高通、带通、带阻带阻数字域数字域频带变换频带变换双线性双线性变换变换7.12.1 基本要求：基本要求：1Zz） 平面单位圆平面单位圆2Zz）保持因果稳定：平面单位圆内平面单位圆内113()G zz）系统函数是的有理函数阶数：阶数：N,jjZeze令 1*1111()