第7章参数估计

1、17.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计7.4 样本量的确定样本量的确定23451.参数估计：用样本统计量去估计总体参数参数估计：用样本统计量去估计总体参数2.估计量：用于估计总体参数的统计量估计量：用于估计总体参数的统计量n如样本均值，样本比率如样本均值，样本比率, 样本方差等样本方差等n例如例如: 样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量3.参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示4.估计值：估计参数时计算出来的统计量的估计值：估计参数时计算

2、出来的统计量的具体值具体值n如果样本均值如果样本均值 x =80，则，则80就是就是 的估计值的估计值671.用样本估计量的某个取值直接作为总体参用样本估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值数的估计值例如：用样本均值直接例如：用样本均值直接作为作为总体均值总体均值的估计；用两个样本均值之差直接的估计；用两个样本均值之差直接作作为为总体均值之差的估计总体均值之差的估计82. 无无法给出估计值接近总体参数程度的信息法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽

3、样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性度量 91.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量体参数的接近程度给出一个概率度量10111.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平称为置信水平 2.表示为表示

4、为 (1 - n 为是总体参数为是总体参数未在未在区间内的比率区间内的比率 3.常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%n相应的相应的 为为0.01，0.05，0.10置信水平(confidence level)121.由样本统计量所构造的总体参数的估计区由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间区间 133.用一个具体的样本所构造的区间是一个用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知

5、道这个样本所特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值产生的区间是否包含总体参数的真值n我们只能是希望这个区间是大量包含总体我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个少数几个不包含参数真值的区间中的一个n总体参数以一定的概率落在这一区间的表总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的述是错误的1415置信区间的理解有些区间包含真不完全相同则区间计算区间去每次都由样本中抽样只要反复从的置信区间是置信度为如果.,),(),(,);(,95. 0),(),(. 121212

6、21121212211nnnnnxxxxxxxxxxfxxxxxx16值 ,有些区间不包含真值 .不过包含真值 的区间的频率应该在0.95左右.2.置信区间表达了区间估计的精确性,置信水平则表明了区间估计的可靠性它是区间估计的可靠概率;显著性水平表明了区间估计的不可靠的概率。173.置信概率是区间估计中事前按一定 的要求指定的标准,常用的有三种: 1- =0.95 即 =0.05 或 1- =0.99 即 =0.01 或 1- =0.999 即 =0.001.4.区间估计中精确性与可靠性是相互 矛盾的.1819点估计的优良性准则点估计的优良性准则 (一一) 无偏性无偏性 若估计量 的数学期望等

7、于未知参数的真实值, 即则称 为 的无偏估计量。 无偏性的实质无偏性的实质: 对一个估计量,多次变更数据，反复求估计值时,估计值的平均值与真实值一致,即尽管 有时比大, 有时比 小,但总的来看,它的“平均值”就是 。)(E20无偏估计量)(E)(E偏差有偏估计量的抽样分布的抽样分布21(二二)有效性有效性 n有效性是指对同一参数的两个无偏估计量，有有效性是指对同一参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。更小方差的估计量更有效。 。DD，更有效的一个估计量是比则称若的无偏估计量分别为总体参数和设212121),()(223.3.一致性一致性(consistency)(consistenc

8、y). 0)|(|lim1)|(|lim.,的一致估计是则称或即按概率收敛于若时当的估计值是未知参数若PPnnn237.2.1 总体均值的区间估计总体均值的区间估计7.2.2 总体比率的区间估计总体比率的区间估计7.2.3 总体方差的区间估计总体方差的区间估计242526【 例例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋袋，测得每袋重

9、量如下表所示。已知产品重量的，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为为95%27112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.328已知已知N( ，102)，n=25, 1- = 95%，z /2=1.96。根据样本数据计算得：。根据样本

10、数据计算得： 。由。由于是正态总体，且方差已知。于是正态总体，且方差已知。总体均值总体均值 在在1- 置置信水平下的置信区间为信水平下的置信区间为该食品平均重量在该食品平均重量在95%置信水平的置信区间为置信水平的置信区间为101.44g109.28g29一家保险公司收集到由一家保险公司收集到由36个个投保人组成的随投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁单位：周岁)数据如数据如下表。试建立投保人年龄下表。试建立投保人年龄90%的置信区间的置信区间 2335392736443642464331334253455447243428393644403949

11、3834485034394548453230已知已知n=36, 1- = 90%，z /2=1.645。根据样本数。根据样本数据计算得：据计算得： ， 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁岁41.63岁岁31总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (正态总体、正态总体、 未知、小样本未知、小样本)3233151015201480150014501480151015201480149015301510146014601470147034已知已知N( ， 2)，n=16, 1- = 95%，t /2=

12、2.131 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ， 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h1503.2h35365nn(1-p）537某城市想要估计下岗职工中女性所某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了占的比率，随机地抽取了100名下岗职名下岗职工，其中工，其中65人为女性职工。试以人为女性职工。试以95%的的置信水平估计该城市下岗职工中女性比置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间率的置信区间3839404142【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现

13、从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量标准差的置信区间 43112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3444011.12)24() 1(2975. 0212n3641.39)24() 1(2025. 022n45均值均值比率比率方差方差大样本大样本小样本小样本正态总体正态总体大样本大样本 2 2分布

14、分布 2 2已知已知 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布Z Z分布分布Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布4648495051中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x5253545556方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.557585960【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有

15、关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 61方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.26263646566学生编号学生编号试卷试卷A试卷试卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-276855138766016985778105539166768697071727374757677均值差均值差比率差比率差方差比方差比独立大样本独立大样本独立小样本独立小样本匹配样本匹配样本独立大样本独立大样本 1 12 2、 2 22 2已已 1 12 2、 2 22 2未未Z Z分布分布Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2已知已知 1 12 2、 2 22 2未知未知Z Z分布分布 1 12 2= = 2 22 2 1 12 2 2 22 2正态总体正态总体F F分布分布Z Z分布分布t t分布分布t t分布分布t分布分布7879808182838485 =50%8687888990919293一家瓶装饮料制造商想要估计顾一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知的广告效果。他客对一种新型饮料