任意角的三角函数(三角函数线)

1、1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数siny cosx tanyx xyyO( , )P x yx一、任意角的三角函数的定义一、任意角的三角函数的定义1:一、任意角的三角函数的定义一、任意角的三角函数的定义2:Oxry),(yxP :),0(),)(,(,22那么它与原点的距离是除端点外任意一点的终边上是一个任意角设yxrryxPxyxytan,tan,) 3(即记为的正切叫做比值rxrxcos,cos,)2(即记为的余弦叫做比值ryrysin,sin,) 1 (即记为的正弦叫做比值sinycosytany三角函数的定义域三角函数的定义域:三角函数三角函数定义域定义域RR,2|Zkk终边

2、相同的角的同一三角函数值相等：终边相同的角的同一三角函数值相等：000sin360sincos360cos,tan360tankkkZk公式一公式一的作用：公式一的作用： 把求任意角的三角函数值转化为求把求任意角的三角函数值转化为求0 00 0到到3603600 0角的三角函数值。角的三角函数值。三角函数的符号三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：1sinyr、正弦函数值, 00,yryr 第一象限：故为正值；, 00,yryr 第二象限：故为正值；oxy, 00,yryr 第三象限：故为负值；, 00,yryr 第四象限：故为负值；上正下负横为上正下负横为02co

3、sxr、余弦函数值, 00,xrxr 第一象限：故为正值；, 00,xrxr 第二象限：故为负值；, 00,xrxr 第三象限：故为负值；, 00,xrxr 第四象限：故为正值；oxy三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为左负右正纵为000,yxyx第一象限：故为正值；00,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,yxyx第三象限：故为正值；00,yxyx第四象限：故为负值；3tanyx、正切函数值三角函数在各象限内的符号：三角函数在各象限内的符号：交叉正负交叉正负yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(

4、1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线三角函数线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 【思考思考】为了去掉为了去掉上述等式中的绝对值上述等式中的绝对值符号符号, ,能否给线段能否给线段OMOM、MPMP规定一个适当的方规定一个适当的方向向, ,使它们的取值与点使它们的取值与点P P的坐标一致的坐标一致? ?【定义定义】有向线段有向线段* 带有方向的线段叫有向线段带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量有向线段的大小称为

5、它的数量.在坐标系中在坐标系中, ,规定规定: : 有向线段的方向与坐标系的方向相同有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时即同向时,数量为正数量为正;反向时反向时,数量为负数量为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()() 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向 时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的的方向方向为为负向负向

6、,且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有向线段向线段MP叫角叫角的的正正弦线弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且有有负值负值x. OM=x=cos 有

7、有向线段向线段OM叫角叫角的的余余弦线弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单位作单位圆的切线圆的切线,设它与设它与的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段有向线段ATAT叫叫角角的的正切线正切线这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边

8、终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正切值都为切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.三角函数线的意义：方向表示三角函数值三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值符号，长度表示三角函数值的绝对值.xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()同学们实践：同学们实践： 例例1.作出下列各

9、角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线332（1） ；（；（2） 例例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sinxOy-1-11121y角的终边PM例题1(2)sin;2)(265,26Zkkk -1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21sin121y665Zkkk)652 ,62(-1xy11-1O例例:在单位圆中作出符合条件的角的终边在单位圆中作出符合条件的角的终边: 21cos221x335Zkkk352 ,32变式：变式： 写出满足条件写出满足条件 cos 的角的

10、角的集合的集合.2123xOy-1-1116611323462 |k，或322k342kZkk，6112Zkkkkk)6112 ,342322 ,62(课堂课堂 练习练习1.已知是第三象限且 ，问 是第几象限角？02cos 2 2.若在第四象限，试判sin(cos)cos(sin)的符号 课堂课堂 练习练习3 .若若lg(sintan )有意义，则有意义，则 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C4. 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a35.5.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：取值范围：(1)(1)sincos; sincos; 课堂课堂 练习练习1. 内容总结：内容总结： (1)三角函数的概念三角函数的概念.(2)三角函数的