函数的奇偶性

1、生活中的对称美 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。个例子。 除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类OxyOxyOxyOxyOxyOxy2)(xxfxxf)(|)(xxf|1)(xxfxxxf1)(3)(xxf(-a, a2)(a, a2)根据预习案（2）中

2、你画的函数f(x)=x2图象，再观察函数值对应表，你看出了什么？f(1)f(-1)= 1 = 1f(a)f(-a)= a2= a2f(2)f(-2)= 4= 4猜想 :f(-x) _ f(x)=32101239410149x2yx1.概括猜想，揭示内涵 结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x)P/(-x,f(x)-xP/(-x,f(-x)f(-x)=f(x)Oxy2.概括猜想，揭示内涵 偶函数的定义偶函数的定义 如果对于函数如果对于函数 y = f (x)的定义域的定义域A内的内的任意任意一个一个 x, 都有都有 f (- -

3、x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数，则这个函数叫做偶函数. 下列函数为偶函数吗？xy12( )(,1f xxx xy12( )1f xxx（）xy1-12( )(, 11,)f xxx 偶函数的特征:1.代数特征：f (-x)=f (x)2.图像特征:关于y轴对称2.概括猜想，揭示内涵2( ),1,2f xxx 0 x123-1-2-3123456y思考：观察下面的函数 的 图象关于y轴对称吗？思维认识提升：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？3.定义域关于原点对称.例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(

4、1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-x)= - f(x)-xx结论结论:当自变量任取定义域中的当自变量任取定义域中的两个相反数时两个相反数时,对应的函数值也对应的函数值也互为相反数互为相反数,即即f(-x)=-f(x)问题问题. .若函数若函数f(x)f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在x=0 x=0处有定义，处有定义，则则f(0)f(0)的值能确定吗？的值能确定吗？2.2.代数特征：代数特征：3.3.图像特征：奇函数的图像关于图像特征：奇函数的图像关于原点对称原点对称f (-x)=-f

5、(x)奇函数的特征奇函数的特征:1. f(0)=0函数奇偶性的定义: 偶函数定义偶函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, ,都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, , 都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。

6、若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；）先求函数的定义域；若定义域若定义域不是不是关于原点对称的区间，则函数为关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数若定义域若定义域是是关于原点对称的区间，进入第二步；关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算）计算 f (x ) 化向化向 f ( x ) 的解析式；的解析式；若等于若等于 f ( x ) ，则函数是，则函数是偶函数偶函数若等于若等于 f ( x ) ，则函数

7、是，则函数是奇函数奇函数若不等于若不等于 ，则函数，则函数是非奇非偶函数是非奇非偶函数3）结论。）结论。 )()(xfxf 22311f xxx (1) f(x)= (2) f(x)=x2 x- 4 , 4) 解: 定义域不关于原点 对 称 或 f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. f(x)为非奇非偶函数x解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？练习: 说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _ f(x)=x _ f(x)=x -2 _ f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ f(x)= x

8、-1 _奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。Zn例3. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.11)()4(1)()3(2xxfxxxf 为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)( 为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22例例2.2.如果定义在区间如果定义在区间3-a3-a，5 5上的函数上的函数f(x)f(x)是偶函数，则是偶函数，则a=_.a=_.3.若函数是偶函数,求m的值.mxxmxf2)2()(2例2：判断函数 f ( x ) = 的奇偶