椭圆的简单几何性质(一)

1、 2.2.2椭圆的简单几何性质(一)复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由12222byax即即byax和说明：椭圆位于矩形之中。说明：椭圆位于矩形之中。112222byax和即即bybaxa和和椭圆的对称性椭圆的对

2、称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性 oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得

3、 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所

4、学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为 a c 0，所以，所以0e 11）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就就越小，椭圆就越扁越扁.2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，椭圆就就越大，椭圆就越圆越圆.3）特例：）特例：

5、e =0，则，则 a = b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）圆方程变为（？）2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：22222 1612:9362,yxxyC1问：对于椭圆C与椭圆：更接近于圆的是。2C1 椭圆标准方程椭圆标准方程)0(12222babyax所表示的椭圆的存在范围是什么？所表示的椭圆的存在范围是什么？2 上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？3 椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？4 对称轴与长轴、短轴是什么关系？对称轴与长轴、短轴是什么关系？

6、5 2a 和和 2b是什么量？是什么量？ a和和 b是什么量？是什么量？6 关于离心率讲了几点？关于离心率讲了几点？回回 顾顾 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2标准方程标准方程范围范围对称性对称性 顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率a a、b b、c c的关系的关系22221(0)xyabab|x| a,|y| b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b. ababcea22221

7、(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前222cab(0e1)(e越接近于越接近于1越扁越扁)例例1.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的长轴长是它的长轴长是： 。短轴长是短轴长是： 。焦距是焦距是： 。 离心率等于离心率等于： 。焦点坐标是焦点坐标是： 。顶点坐标是顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于： 。 1068( 3,0)(0, 4)60解题的关键：解题的关键：1、将椭圆方程转化为标、将椭圆方程转化为

8、标准方程准方程 明确明确a、b192522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置54例例2 求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx这里，这里，31625,4,5cba因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率6.053ace焦点坐标分别是焦点坐标分别是)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是四个顶点坐标是)4,0(),4,0(),0

9、 , 5(),0 , 5(2121BBAA例例2 求椭圆求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。心率、焦点和顶点坐标，并作出简图。)4,0(),4,0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAAA1A2B2B1xyO例例3求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点）经过点P（- 3，0）、）、Q（0，2）;（2）长轴长等于）长轴长等于20，离心率等于，离心率等于 5 53 322194xy22110064xy22110064yx或或（1）例例4 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是

10、旋转椭圆面（椭圆绕如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一上，片门位于另一个焦点个焦点F2上上,由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点射后集中到另一个焦点F2.所在椭圆的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如图所示的直角坐标系，解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由椭圆的性质知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx为所以，所求的椭圆方程A的轨迹。，求点的距离的比是常数的距离和它到直线与定点点例Mx