流体力学第二章水静力学(2)

1、 第二章第二章 流体静力学流体静力学2-52-5作用在平面上的静水总压力作用在平面上的静水总压力一、用解析法求任意平面上的静水总压力一、用解析法求任意平面上的静水总压力二、用压力图法求矩形平面上的静水总压力二、用压力图法求矩形平面上的静水总压力2.62.6作用在曲面上的静水总压力作用在曲面上的静水总压力 一、曲面上静水压力一、曲面上静水压力 二、压力体二、压力体2.7 2.7 浮力与浮潜体的稳定浮力与浮潜体的稳定 一、浮力一、浮力 二、潜体的平衡与稳定性二、潜体的平衡与稳定性 三、浮体的平衡及稳定性三、浮体的平衡及稳定性第四讲第四讲2-52-5作用在平面上的静水总压力作用在平面上的静水总压力工

2、程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力静压力的问题。的问题。 本节研究作用在本节研究作用在平面上的液体静压力平面上的液体静压力，也就是研究它，也就是研究它的的大小、方向和作用点大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向内法线方向，因此只须求因此只须求总作用力的大小和作用点总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为研究方法可分为解析法解析法和和图解法图解法两种两种一、用解析法求任意平面上的静水总压力一、用解析法求任意平面上的静水总压力对对任意形状任意形状的平面，需要用的平面，需要用解析法

3、解析法来确定静水总压力的大小和作用点。来确定静水总压力的大小和作用点。如所示，如所示，EFEF为一任意形状的平面，为一任意形状的平面，倾斜放置于水中任意位置，与水面倾斜放置于水中任意位置，与水面相交成相交成角。设想该平面的一面受角。设想该平面的一面受水压力作用，其面积为水压力作用，其面积为A A，形心，形心( (几几何中心何中心) )位于位于C C处，形心处水深为处，形心处水深为hchc，自由表面上的压强为当地大气压强。自由表面上的压强为当地大气压强。问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作用点的位置用点的位置D D如何来确定？如

4、何来确定？( (一一) )静水总压力的大小静水总压力的大小取平面的延展面与水面的交线为取平面的延展面与水面的交线为OxOx轴，轴，以通过平面以通过平面EFEF中任意选定点中任意选定点N N并垂直于并垂直于OxOx轴的直线为轴的直线为OyOy轴。轴。 在平面中的在平面中的M处取一微小面积处取一微小面积dA，其上的压，其上的压力为：力为： dAgyghdApdAdP sin 作用于整个作用于整个EF平面上的静水总压力为（积平面上的静水总压力为（积分）：分）：ydAgdAgydPPAAA sinsin式中式中ydA表示面积表示面积dA对对Ox的的静矩静矩 。 因此，形心处的静水压强因此，形心处的静水

5、压强 相当于该平面的平均压强。相当于该平面的平均压强。上式表明：任意平面上的静水总压力之上式表明：任意平面上的静水总压力之P P的大小等于该平面的面积式的大小等于该平面的面积式A A与其与其形心处静水压强形心处静水压强 的乘积。的乘积。为形心点为形心点C处的液体静水压强处的液体静水压强( (一一) )静水总压力的大小静水总压力的大小根据理论力学中的根据理论力学中的静矩定理静矩定理：微小面积：微小面积dAdA对对某一轴的静矩之和（即某一轴的静矩之和（即 ），等于），等于平面面积平面面积A对同一轴的静矩对同一轴的静矩Sx （即平面面积（即平面面积A与其形心纵坐标与其形心纵坐标yc的乘积），即有：的

6、乘积），即有：ydAA AyydAScAx 则则 AygSgPcx sinsin 由图可见：由图可见： cchy sinhc代表形心代表形心C C处的水深，则：处的水深，则：ApAghPcc cpcpcp( (二二) )静水总压力的作用点静水总压力的作用点下面分析静水总压力的作用点下面分析静水总压力的作用点压力中心压力中心D的位置：的位置：yD和和xD。压力中心压力中心D的位置可通过的位置可通过力矩定理力矩定理来确定，即合力对任意轴的力矩等于各来确定，即合力对任意轴的力矩等于各分力对该轴的力矩代数和。分力对该轴的力矩代数和。1.1.分力分力dP对对Ox轴取力矩轴取力矩adAgyyadAgyyd

7、Psinsin2 各分力对同一轴力矩之和即上式之积分为：各分力对同一轴力矩之和即上式之积分为： xAAaIgdAyagadAgyydPsinsinsin 22式中式中 dAyIAx2 Ix为平面面积为平面面积A对对Ox轴的轴的惯性矩惯性矩。2.2.合力合力P P对对OxOx轴取力矩轴取力矩总压力总压力P对对Ox轴的力矩为：轴的力矩为：DcDxDyAaygyaSgyP sinsin 3.3.据力矩定理据力矩定理得： AyISIycxxxD AyISIycxxxD 上式表明：平面上静水总压力作用点上式表明：平面上静水总压力作用点D的纵坐标的纵坐标yD等于受压面面积等于受压面面积A对对Ox轴的惯性矩

8、与静矩之比。轴的惯性矩与静矩之比。直接求惯性矩直接求惯性矩Ix 很不方便，可根据理论力学中惯性矩的很不方便，可根据理论力学中惯性矩的平行移轴定理平行移轴定理进行处理。进行处理。为图形对形心轴为图形对形心轴 的静矩，其值应等于零，则得的静矩，其值应等于零，则得 由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩并不相同，如由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩并不相同，如果其中一对坐标轴是图形的形心轴果其中一对坐标轴是图形的形心轴 时，如图所示，可得到如下平时，如图所示，可得到如下平行移轴公式行移轴公式: : AbIzcIzAaIycIy22简单证明之：简单证明之：dAadAza

9、dAzdAazdAzIyAcAcAcAA22222 )(AaIycIy2 其中其中 结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小 。在使用惯性矩移轴公式时应注意在使用惯性矩移轴公式时应注意a ，b的正负号。的正负号。平行移轴定理平行移轴定理Ic仅与受压面的形状有关，而与受压面在液体中的仅与受压面的形状有关，而与受压面在液体中的位置无关，因此用式位置无关，因此用式 计算计算yD比用式比用式 更为方便。更为方便。AyIIdAaadAydAydAaydAyIccxAAccAcAAx222222)(AyISIycxxxD

10、AyIyAyAyIyccccccD 2故对于本问题有：故对于本问题有：代入公式代入公式中，得：中，得：Ic为面积为面积A对形心轴的惯性矩对形心轴的惯性矩AyIyycccD AyIycxD 常见平面图形的面积常见平面图形的面积A、形心距上边界点长、形心距上边界点长yc以及惯性矩以及惯性矩Ic的计算式见的计算式见教材教材P31表表2.1。axcc根据同样道理，对根据同样道理，对Oy轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标轴取力矩，可求得压力中心的另一个坐标xD。同理有同理有 ADxydAgSinxpdAPx DcDxDxAaygxaSgxP sinsin AyIxCXYD AXYxydAIAyIxxC

11、CxyCD DDyx ,Dx得得 称为称为EF平面对平面对Ox及及Oy轴的轴的静矩积静矩积式中式中Icxy为平面为平面EF对通过形心对通过形心C并与并与Ox、Oy轴平行的轴的轴平行的轴的惯性积惯性积。因为惯。因为惯性积性积Icxy可正可负，可正可负，xD可能大于或小于可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压。也就是对于任意形状的平面，压力中心力中心D可能在形心可能在形心C的这边或那边的这边或那边即可确定即可确定D的位置。若受压面有纵向对称轴，则不必设算的位置。若受压面有纵向对称轴，则不必设算因压力中心肯定位于对称轴上。因压力中心肯定位于对称轴上。据据计算教材例题计算教材例题2-6 P3

12、22-6 P32二、用压力图法求矩形平面上的静水总压力二、用压力图法求矩形平面上的静水总压力1. .静水总压力的大小静水总压力的大小 适用条件：受压面为矩形平面适用条件：受压面为矩形平面 作用于整个平面上的静水总压力作用于整个平面上的静水总压力P的大小应等于该压强分布图的面积的大小应等于该压强分布图的面积S与矩形平面的宽度与矩形平面的宽度b的乘积，即的乘积，即P=bS计算教材例题2-7 P33静水压强分布图静水压强分布图 表示静水压强沿受压面分布情况的几何图形。即表示受压面上各点表示静水压强沿受压面分布情况的几何图形。即表示受压面上各点压强（大小和方向）分布的图形，简称静水压强图。压强（大小和

13、方向）分布的图形，简称静水压强图。绘制规则：绘制规则：按一定的比例尺，用按一定的比例尺，用一定长度的线段代表流体一定长度的线段代表流体静压强的大小。静压强的大小。用箭头表示流体静压用箭头表示流体静压强的方向，并与该处作用强的方向，并与该处作用面相垂直。面相垂直。 压强分布示意图压强分布示意图注意注意：1.1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分布图，当液体的表面压强为布图，当液体的表面压强为 时，时， 即即p p与与h h呈线性关系，据此绘呈线性关系，据此绘制液体静水压强图。制液体静水压强图。2. 2. 一般绘制的

14、压强分布图都是指这种平面压强分布图。一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。0php ABpaPa+gh相对相对压强分布图 静水压强分布示意图静水压强分布图实例静水压强分布图实例画出下列画出下列AB或或ABC面上的静水压强分布图面上的静水压强分布图ABCABAB画出下列容器左侧壁面上的压强分布图2.62.6作用在曲面上的静水总压力作用在曲面上的静水总压力在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面，例如拱坝坝面、弧形闸门、闸门、U形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确定作用于曲面形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确

15、定作用于曲面上的静水总压力。上的静水总压力。曲面上的静水压强曲面上的静水压强方向：作用于曲面上任意点的静水压强也是沿着作用面的法线指向作用面方向：作用于曲面上任意点的静水压强也是沿着作用面的法线指向作用面大小：与该点所在的水下深度成线性关系大小：与该点所在的水下深度成线性关系因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图因而与平面情况相类似，也可以由此画出曲面上的压强分布图 因为工程上多数曲面为二维曲面，即具有平行母线的柱面或球面。因为工程上多数曲面为二维曲面，即具有平行母线的柱面或球面。在此先着重讨论柱面情况，然后再将结论推广到一般曲面。在此先着重讨论柱面情况，然后再将结论推广到一般

16、曲面。dPzEFdPxdP(dA)x(dA)zBAFEhA在曲面在曲面AB上沿母线方向任取条形微元上沿母线方向任取条形微元EF，因各条形微元上的压力，因各条形微元上的压力dP方向方向不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。由于该柱面极小，故可不同，而不能直接积分求作用在曲面上的总压力。由于该柱面极小，故可将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的水压力，它垂直于该微元柱将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上的水压力，它垂直于该微元柱面，与水平线成面，与水平线成角，角，dP可以分解成水平分力可以分解成水平分力dPx和铅直分力和铅直分力dPzxxghdAghdAdPdP coscoszzghdA

17、ghdAdPdPsinsin ghdApdAdP 一、曲面上静水压力一、曲面上静水压力1.液体总压力液体总压力P 的水平分力的水平分力 ：结论：作用于曲面上的静水总压力结论：作用于曲面上的静水总压力P的水平分力的水平分力Px等于作用于该曲面的垂等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积过面积Ax的压强分布图体积的重心。的压强分布图体积的重心。XPxAAAxAxhdAgghdAghdAdPPx coscosxcxAAhhdAx dPzEFdPxdP(dA)x(dA)zoxzPxAxBA

18、FEhA 于是得于是得xcxAghP 因此可按确定平面上静水总压力因此可按确定平面上静水总压力(包括大小和作用点包括大小和作用点)的方法来求解的方法来求解Px。静矩静矩结论：作用于曲面上的静水总压力结论：作用于曲面上的静水总压力F F的铅垂分力的铅垂分力FzFz等于该曲面上的压力体所等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。2.液体总压力液体总压力的铅直分力的铅直分力Pz：FzoxzBAFAEhBdPzEFdPxdP(dA)x(dA)zzAzAAzAzhdAgghdAghdAdPPzsinzgh

19、dA zAhdAgz 为微小柱面为微小柱面EF上的液体重，即图中上的液体重，即图中EF FE 柱状体内的液体重柱状体内的液体重应是整个曲面应是整个曲面AB上的液体重，即柱状体上的液体重，即柱状体ABBA内的液体重内的液体重, ,将柱体将柱体ABBA称为称为压力体压力体，其体积以，其体积以V表示。表示。 gVPz EF于是得于是得3.总压力总压力P 大小大小：22zxPPP 方向方向：总压力：总压力P P的作用线与水平线的夹角的作用线与水平线的夹角为为xzPParctan 作用线：总压力的作用线必须通过作用线：总压力的作用线必须通过Pz和和Px 的交点。但这个交点不一定位于曲面上。的交点。但这个

20、交点不一定位于曲面上。对于圆弧面，对于圆弧面，P作用线必通过圆心。作用线必通过圆心。BOAPxPPxPZPZ作用点作用点：P的作用点作用在的作用点作用在P作用线与曲面的交点。作用线与曲面的交点。压力体体积应由下列周界面所围成：压力体体积应由下列周界面所围成：（1 1）受压曲面本身）受压曲面本身（2 2）自由液面或自由液面的延长面）自由液面或自由液面的延长面（3 3）通过曲面的边缘向液面或液面的延长面所作的铅直平面）通过曲面的边缘向液面或液面的延长面所作的铅直平面二、压力体二、压力体实压力体判定方法：实压力体判定方法： 绘出的绘出的压力体图形压力体图形与与实际的水体实际的水体居于受压曲面居于受压

21、曲面同侧同侧（重叠重叠），），为实压力体。方向向下。为实压力体。方向向下。虚压力体判定方法：虚压力体判定方法： 绘出的绘出的压力体图形压力体图形与与实际的水体实际的水体分居受压曲面分居受压曲面两侧两侧（不重叠不重叠），），为虚压力体。方向向上。为虚压力体。方向向上。对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原则对于复式断面，先根据压力体的三个面围出压力体，再根据上述原则判定虚、实。判定虚、实。压力体可分为实压力体和虚压力体压力体可分为实压力体和虚压力体a有有液液体体AA无无液液体体绘制图中曲面上的压力体绘制图中曲面上的压力体 三、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序三、静止液体

22、作用在曲面上的总压力的计算程序 (1)(1)将总压力分解为水平分力将总压力分解为水平分力P Px x和垂直分力和垂直分力P Pz z。 (2)(2)水平分力的计算水平分力的计算， 。 (3)(3)确定压力体的体积。确定压力体的体积。 (4)(4)垂直分力的计算，垂直分力的计算， 方向由虚、实压力体确定。方向由虚、实压力体确定。 (5)(5)总压力的计算总压力的计算， 。 (6)(6)总压力方向的确定总压力方向的确定， 。 (7)(7)作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。xcxAghP gVPz 22zxPPP xzPParctan 一

23、、浮力一、浮力阿基米德定律阿基米德定律：物体在静止液体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向：物体在静止液体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。阿基米德定律阿基米德定律2.82.8浮力及浮潜体的稳定浮力及浮潜体的稳定012 PPPx)(BADBABACBAzVVgP ABCDgV 潜体所排开液体的重量潜体所排开液体的重量 （方向朝上）（方向朝上） AA B D C B C DP1 C DP2 浮力浮力 浮力：即在阿基米德定律中，物体所受到的具有把物体推向液体表面浮力：即在阿基米德定律中，物

24、体所受到的具有把物体推向液体表面 倾向的力的合力，即为浮力。浮力方向总是铅垂向上。倾向的力的合力，即为浮力。浮力方向总是铅垂向上。浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。浸没物体的三态浸没物体的三态 （3 3）浮体：当）浮体：当GGGPz ，下沉到底的物体。，下沉到底的物体。（2 2）潜体：当）潜体：当G=G=Pz ，潜没于液体中任意位置而保持平衡，潜没于液体中任意位置而保持平衡 即悬浮的物体。即悬浮的物体。浮轴：过浮心和重心的连线。浮轴：过浮心和重心的连线。 二、潜体的平衡与稳定性二、潜体的平衡与稳定性潜体的平衡条件是潜

25、体的平衡条件是：重力：重力G G与浮力与浮力Pz大小相等，方向相反，作用在同一铅大小相等，方向相反，作用在同一铅垂直线上。垂直线上。潜体的稳定平衡条件潜体的稳定平衡条件：重力：重力G G与浮力与浮力P PZ Z大小相等，且重心大小相等，且重心C C在在浮心浮心D D之下。之下。GCPzD潜体平衡的稳定性潜体平衡的稳定性：是指遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复它原来平衡：是指遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复它原来平衡状态的能力。状态的能力。潜体：当潜体：当G=G=Pz ，潜没于液体中任意位置而保持平衡，即悬浮的物体。，潜没于液体中任意位置而保持平衡，即悬浮的物体。 随遇平衡：重心随遇平衡：重心C C与

26、浮心与浮心D D重合重合 稳定平衡：重心稳定平衡：重心C C在在浮心浮心D D之下之下 不稳定平衡：重心不稳定平衡：重心C C在在浮心浮心D D之上之上潜体平衡的三种情况潜体平衡的三种情况 潜体平衡的三种情况潜体平衡的三种情况随随遇遇平平衡衡PzGD CPzGD C稳稳定定平平衡衡不不稳稳定定平平衡衡GCPzDMPzDGCPzDGCPzDGCGCPzD潜体平衡的三种情况潜体平衡的三种情况略转恢复略转倒置MGCPzD 随遇平衡：重心随遇平衡：重心C C与浮心与浮心D D重合重合 稳定平衡：重心稳定平衡：重心C C在在浮心浮心D D之下之下 不稳定平衡：重心不稳定平衡：重心C C在在浮心浮心D D之上之上潜体平衡的三种情况潜体平衡的三种情况浮体的平衡稳定性浮体的平衡稳定性(b)(b)受扰后受扰后 HPZMDCPZeHFEADBG (a)(a)受扰前受扰前 GPZHHAFEBoCD三、浮体的平衡与稳