第1章数字逻辑基础

1、第第1 1章章 数字逻辑基础数字逻辑基础1.1 1.1 数制数制1.2 1.2 几种常用的编码几种常用的编码1.3 1.3 逻辑代数基础逻辑代数基础1.4 1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简11.1 数制数制1.1.1 十进制数十进制数1.1.2 二进制数二进制数1.1.3 八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数1.1.4 不同数制间的转换不同数制间的转换21.1.1 十进制数十进制数 数制就是数制就是人人们计数的方式们计数的方式 十进制数是由十进制数是由09十个不同的数码组成的，所以计数的基数数十个不同的数码组成的，所以计数的基数数是是10，超过，超过9的数必须用多位数表示，其计数规律是

2、的数必须用多位数表示，其计数规律是“逢十进一逢十进一”。例如，十进制数例如，十进制数369.12可以表示为可以表示为 21012369.123 106 109 101 102 10 上式等号的右边为该数的按权展开，上式等号的右边为该数的按权展开，102、101、100、10-1和和10-2分别分别为百位、十位、个位、十分位和百分位的权，位数越高权值越大。为百位、十位、个位、十分位和百分位的权，位数越高权值越大。3任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)D=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)D110nmiiiK=Kn-1 10

3、n-1 + +K1101 + K0100 + K-1 10-1 + + K-m 10-m下标下标D表示十进制表示十进制4任意任意R进制进制只由只由0 （R-1）R个数码和小数点组成，个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值不同数位上的数具有不同的权值Ri，基数基数R，逢逢R进一。进一。1nmiiRiK(N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R=Kn-1 Rn-1 + +K1R1 + K0R0 + K-1 R-1 + + K-m R-m任意一个任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。进制数，都可按其权位展成多项式的形式。51.1.2 二进制数二进制数 只由只由0、1两

4、个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值同的权值2i。基数基数2，逢二进一，逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。12nmiiiK(N)B=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)B=Kn-1 2n-1 + +K121 + K020 + K-1 2-1 + + K-m 2-m下标下标B表示二进制表示二进制61.1.3 八进制数和十六进制数八进制数和十六进制数1.八进制数八进制数 八进制数中只有八进制数中只有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7八个数码，进位规律是八个数码

5、，进位规律是“逢八进一逢八进一”。各位的权都是。各位的权都是8的幂。的幂。1()8niOiimNK一般表达式一般表达式八进制就是以八进制就是以8为基数的计数体制。为基数的计数体制。式中下标式中下标O表示八进制数，表示八进制数，Ki代表第代表第i位的数码（位的数码（07），），8i表示第表示第i位的权值；位的权值；m和和n为正整数，分别表示八进制数的整数和小数部分为正整数，分别表示八进制数的整数和小数部分的位数。则八进制数的位数。则八进制数5703.6可表示为可表示为32101(5703.6)5 87 80 83 86 8O 7十六进制数中只有十六进制数中只有0, 1, 2, 3, 4, 5,

6、6, 7, 8, 9 , A、B、C、D、E、F十六个数码，进位规律是十六个数码，进位规律是“逢十六进一逢十六进一”。各位的权均为。各位的权均为16的幂。的幂。2.十六进制十六进制1()16niHiimNK式中下标式中下标H表示十六进制数，表示十六进制数，Ki代表第代表第i位的数码（位的数码（09和和A、B、C、D、E、F），），16i表示第表示第i位的权值；位的权值；m和和n为正整数，分别表为正整数，分别表示十六进制数的整数和小数部分的位数。则十六进制数示十六进制数的整数和小数部分的位数。则十六进制数FB8.A可可表示为表示为2101(FB8.A)16168 1616HFBA 8常用数制对照

7、表常用数制对照表 十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制十进制十进制 二进制二进制 八进制八进制 十六进制十六进制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF91.1.4 不同数制间的转换不同数制间的转换一、二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数一、二进制数、八进制数和十六进制数转换成十进制数1二进制数转换成十进制数二进制数转换成十进制数利用二进制数的一般表达式利

8、用二进制数的一般表达式1()2niBiimNK即可将二进制数转换成十进制数。例如即可将二进制数转换成十进制数。例如321012(1011.11)1 2021 21 21 21 2(11.75)BD 102八进制数转换成十进制数八进制数转换成十进制数利用八进制数的一般表达式利用八进制数的一般表达式1()8niOiimNK即可将二进制数转换成十进制数。例如即可将二进制数转换成十进制数。例如32101(5703.6)5 87 80 83 86 8(3011.75)OD 3十六进制数转换成十进制数十六进制数转换成十进制数利用二进制数的一般表达式利用二进制数的一般表达式1()16niHiimNK即可将二

9、进制数转换成十进制数。例如即可将二进制数转换成十进制数。例如2101(FB8.A)16168 1616(4024.625)HDFBA 11二、十进制数转换成二进制数二、十进制数转换成二进制数1十进制整数转换成二进制数十进制整数转换成二进制数十进制数转换成二进制数：十进制数转换成二进制数： 整数部分整数部分小数部分小数部分整数部分的转换整数部分的转换除除2取余法：用二进制数的取余法：用二进制数的基数基数2去除去除十进制数，十进制数，第一次第一次相除所相除所得余数为目的数的得余数为目的数的最低位最低位K0，将所得将所得商商再除以再除以基数基数，反复执行，反复执行上述过程，上述过程，直到商为直到商为

10、“0”，所得余数为目的数的所得余数为目的数的最高位最高位Kn-1。12解：解：根据上述原理，可将根据上述原理，可将(173)D按如下的步骤转换为二进制数按如下的步骤转换为二进制数由上得由上得例例1.1.1 将十进制数将十进制数(173)D转换为二进制数。转换为二进制数。76543210(173)()(10101101)DBBK K K K K K K K13小数部分的转换小数部分的转换乘乘2取整法取整法：十进制十进制小数小数乘以二进制数的乘以二进制数的基数基数2，第一次第一次相乘结果相乘结果的的整数整数部分为目的数的部分为目的数的最高位最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次将其小数部分再乘基数

11、依次记下整数部分，反复进行下去，记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为直到小数部分为“0”，或满足，或满足要求的要求的精度精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。例例1.1.2 将十进制小数将十进制小数0.8125转换成二进制数。转换成二进制数。解：根据解：根据“乘乘2取整法取整法”1234(0.8125)(0.)(0.1101)DBBK K K K143二进制数与十六进制数相互转换二进制数与十六进制数相互转换 从低位到高位将整数部分每从低位到高位将整数部分每4 4位二进制数分为一组并代之以等位二进制数分为一组并代之以等值的十六进制数

12、，同时从高位到低位将小数部分每值的十六进制数，同时从高位到低位将小数部分每4 4位数分为一组位数分为一组并代之以等值的十六进制数。若不足并代之以等值的十六进制数。若不足4 4位时，可在整数的最高位前位时，可在整数的最高位前和小数的最低位后补和小数的最低位后补0 0构成构成4 4位。即可得到十六进制数。位。即可得到十六进制数。例例1.1.3 将二进制数将二进制数111110.101011转换成十六进制数。转换成十六进制数。解：解：(111110.101011)(0011 1110.1010 1100)(3 .)BBHE AC 若将十六进制数转换成二进制数，只需将十六进制数的每一位若将十六进制数转

13、换成二进制数，只需将十六进制数的每一位用等值的用等值的4位二进制数代替即可。位二进制数代替即可。例例1.1.4 将十六进制数将十六进制数FB8.A转换成二进制数。转换成二进制数。解：解：(FB8.A)(1111 1011 1000.1010)HB154二进制数与八进制数相互转换二进制数与八进制数相互转换将二进制数转换成八进制数，可将二进制数分为将二进制数转换成八进制数，可将二进制数分为3位一组，再将位一组，再将每组的每组的3位二进制数转换成等值的位二进制数转换成等值的1位八进制数即可。位八进制数即可。例例1.1.5 将二进制数将二进制数11110.10101转换成八进制数。转换成八进制数。解：

14、解：(11110.10101)(011 110.101 010)(36.52)BBO若将八进制数转换成二进制数，只需将八进制数的每一位用等值若将八进制数转换成二进制数，只需将八进制数的每一位用等值的的3位二进制数代替即可。位二进制数代替即可。例例1.1.6 将八进制数将八进制数703.6转换成二进制数。转换成二进制数。解：解：O(703.6)(111 000 011.110)B165.十六进制的十六进制的 1）与二进制之间的转换容易；）与二进制之间的转换容易； 2）计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，）计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至二进制最多可计至(

15、1111)B =( 15)D；八进制可计至八进制可计至 (7777)O = (2800)D；十进制可计至十进制可计至 (9999)D；十六进制可计至十六进制可计至 (FFFF)H = (65535)D，即，即64K。其容量最大。其容量最大。 3）书写简洁。）书写简洁。171.2 几种常用的编码几种常用的编码1.2.1 二进制编码二进制编码1.2.2 二二十进制编码（十进制编码（BCD）1.2.3 其他编码其他编码181.2.1 二进制编码二进制编码 若所需编码的信息有若所需编码的信息有N项，则需要的二进制数码的位数项，则需要的二进制数码的位数n应满应满足如下关系足如下关系2nN 例如例如4位二

16、进制码可以表示位二进制码可以表示16个不同的数码，表是常用的按个不同的数码，表是常用的按8421权位排列的权位排列的4位二进制编码表示的位二进制编码表示的16个十进制数。个十进制数。十进制数十进制数二进制码二进制码十进制数十进制数二进制码二进制码00000810001000191001200101010103001111101140100121100501011311016011014111070111151111191.2.2 二二十进制编码（十进制编码（BCD） 二二十进制码就是用十进制码就是用4位二进制数来表示位二进制数来表示1位十进制数中的位十进制数中的09这这10个数码，简称个数码，

17、简称BCD码。码。十进制十进制8421BCD码码01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 12421BCD码码5421BCD码码余三码余三码 8 4 2 1b3 b2 b1 b0权位权位0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10

18、1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 2 4 2 1b3 b2 b1 b0 5 4 2 1b3 b2 b1 b0无权无权20（2）各种编码的特点）各种编码的特点 余码的特点余码的特点:当两个十进制的和是当两个十进制的和是10时，相应的二进制正好时，相应的二进制正好是是16，于是可自动产生进位信号，于是可自动产生进位信号,而不需修正而不需修正.0和和9, 1和和8,.6和和4的余码互为反码的余码互为反码,这对在求对于这对在求对于10的补码很方便。的补码很方便。 有权码：编码与所表示的十进制数之间的转算容易有权码

19、：编码与所表示的十进制数之间的转算容易 如如(10010000) 8421BCD=(90)21对于有权对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：例如：BCD8421 0111()D 7=11214180+= ( )D BCD2421 7112041211101=+= （3）求）求BCD代码表示的十进制数代码表示的十进制数22 对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示。例如：代码来表示。例如： BCD2421 236810 BCD8421 536410 0

20、010 .0011 1100 11102 .8630101 .0011 0110 01005 .463 不能省略！不能省略！不能省略！不能省略！（4）用）用BCD代码表示十进制数代码表示十进制数231.2.3 其他编码其他编码1.格雷码格雷码 格雷码又称循环码。从表格雷码又称循环码。从表中的中的4位格雷码编码表中可以位格雷码编码表中可以看出格雷码的每一位的状态变看出格雷码的每一位的状态变化都按一定的顺序循环。如果化都按一定的顺序循环。如果从从0000开始，最右边一位的状开始，最右边一位的状态按态按0110顺序循环变化，右边顺序循环变化，右边第二位的状态按第二位的状态按00111100顺序顺序循

21、环变化，右边第三位按循环变化，右边第三位按0000111111110000顺序循环变顺序循环变化。可见，自右向左，每一位化。可见，自右向左，每一位状态循环中连续的状态循环中连续的0、1数目增数目增加一倍。由于加一倍。由于4位格雷码只有位格雷码只有16个，所以最左边一位的状态个，所以最左边一位的状态只有半个循环，即只有半个循环，即0000000011111111。二进制码二进制码b3b2b1b0格雷码格雷码G3G2G1G00000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111000000010011001001100111

22、010101001100110111111110101010111001100024 与普通的二进制代码相比，格雷码的最大优点就在于当它按与普通的二进制代码相比，格雷码的最大优点就在于当它按照编码顺序依次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化。照编码顺序依次变化时，相邻两个代码之间只有一位发生变化。这样在代码转换的过程中就不会产生过渡这样在代码转换的过程中就不会产生过渡“噪声噪声”。而在普通二。而在普通二进制代码的转换过程中，则有时会产生过渡噪声。例如，二进制进制代码的转换过程中，则有时会产生过渡噪声。例如，二进制代码代码0011转换为转换为0100过程中，如果最右边一位的变化比其他两位过程

23、中，如果最右边一位的变化比其他两位的变化慢，就会在一个极短的瞬间出现的变化慢，就会在一个极短的瞬间出现0101状态，这个状态将成状态，这个状态将成为转换过程中出现的噪声。而格雷码为转换过程中出现的噪声。而格雷码0010向向0110转换过程中则不转换过程中则不会出现过渡噪声。会出现过渡噪声。25 2.美国信息交换标准代码（美国信息交换标准代码（ASC） 美国信息交换标准代码（美国信息交换标准代码（American Standard Code for Information Interchange，简称，简称ASC码）是由美国国家标准化码）是由美国国家标准化协会（协会（ANSI）制定的一种信息代码

24、，广泛地用于计算机和通信）制定的一种信息代码，广泛地用于计算机和通信领域中。领域中。ASC码巳经由国际标准化组织（码巳经由国际标准化组织（ISO）认定为国际通）认定为国际通用的标准代码。用的标准代码。 ASC码是一组码是一组7位二进制代码（位二进制代码（b7b6b5b4b3b2b1b0），共），共128个个，其中包括表示，其中包括表示09的十个代码，表示大、小写英文字母的的十个代码，表示大、小写英文字母的52个个代码，代码，32个表示各种符号的代码以及个表示各种符号的代码以及34个控制码。个控制码。261.3 逻辑代数基础逻辑代数基础1.3.1 基本逻辑运算基本逻辑运算1.3.2 复合逻辑运算

25、复合逻辑运算1.3.3 逻辑函数的表达形式逻辑函数的表达形式1.3.4 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则271.3.1 基本逻辑运算基本逻辑运算（一）逻辑变量（一）逻辑变量 取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数值数值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态两种逻辑状态。（二）基本逻辑运算（二）基本逻辑运算逻辑与逻辑与 逻辑或逻辑或 逻辑非逻辑非 28逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式Y =A B = AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表与逻辑运算与逻辑运算开关开关A 开

26、关开关B灯灯Y断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合灭灭灭灭灭灭亮亮ABY1 01 10 10 00010ABY 只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全部全部具备，这一事件才能发生。具备，这一事件才能发生。UABY 与逻辑运算规则为与逻辑运算规则为0 000 10 1 00 11129逻辑符号逻辑符号或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑关系表或逻辑关系表或逻辑运算或逻辑运算开关开关A 开关开关B灯灯Y断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合亮亮亮亮亮亮灭灭ABY1 01 10 10 01110 决定某一事件的条件决定某一事件的条件有一个或一有一个或一个以上个以上具备，这一事件才能发

27、生。具备，这一事件才能发生。 逻辑表达式逻辑表达式Y= A + BABYUYAB1 或逻辑运算规则为或逻辑运算规则为000 0 11 101 1 11 30非逻辑真值表非逻辑真值表非逻辑关系表非逻辑关系表非逻辑运算非逻辑运算开关开关A 灯灯YAY 当决定某一事件的条件满足时，事当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。件不发生；反之事件发生。逻辑表达式逻辑表达式 Y = AUYAR断断 合合亮亮灭灭1001逻辑符号逻辑符号ABY1或逻辑运算规则为或逻辑运算规则为01 1031与非逻辑运算与非逻辑运算Y=AB或非逻辑运算或非逻辑运算Y=A+B与或非逻辑运算与或非逻辑运算Y=AB+CD

28、ABY ABY1ABYCD1 1.3.2 复合逻辑运算复合逻辑运算32ABY1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式Y=A B=AB+AB ABY=1逻辑符号逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式Y=A BABY1 01 10 10 00011 异或运算异或运算 同或运算同或运算“ ”异或逻辑异或逻辑运算符运算符= A B“ ”同或逻辑同或逻辑运算符运算符ABF=1逻辑符号逻辑符号ABY=1331.3.3 逻辑函数的表达形式 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作( ,

29、)YF A B C一、逻辑真值表 对于逻辑函数将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即为逻辑真值表，简称真值表。例1.3.1 用真值表描述三个人表决，原则是少数服从多数。解：设三个人为A、B、C，同意为1，反对为0；表决结果为Y，通过为1，否决为0。真值表如表所示。ABCY000001001101111001010111110110002N2N若有若有N N个输入变量，则应有个输入变量，则应有个对应状态，应有个对应状态，应有个输出状态。个输出状态。 34二、逻辑函数表达式 将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数式。常见的逻辑函

30、数表达式有与或例如 五种常用表达式五种常用表达式“与与或或”式式)(BACA“或或与与”式式CAAB“与非与非与非与非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“与与或或非非”式式= AB+ AC基本形式基本形式35三、逻辑图将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图，如图所示。36四、波形图 如果将逻辑函数输人变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图，如图所示。这种波形图也称为时序图。37五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换1真值表与逻辑函数式的相互转换由真值表

31、写出逻辑函数式的一般方法： 找出真值表中使逻辑函数Y = 1的那些输人变量取值的组合。 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写为原变量，取值为0的写为反变量。将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。ABCY0000001001000111 10001011 1101 1110ABCABCABCYABCABCABC38 由逻辑式列出真值表只需将输入变量取值的所有组合状态逐一代人逻辑式求出函数值，列成表，即可得到真值表。解：先将输入变量A、B、C取值，然后进行或运算和与运算。真值表如表。例1.3.3 将逻辑表达式()YA BC写成真值表。ABCY0000001001000110100

32、010111101111139 2逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换 从给定的逻辑函数式转换为相应的逻辑图时，只要用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到所求的逻辑图了。 例1.3.4 已知逻辑函数为()YA BC，画出其对应的逻辑图。 解：将式中所有的与、或、非运算符号用图形符号代替，并依据运算优先顺序将这些图形符号连接起来，就得到了图所示的逻辑图。40 从给定的逻辑图转换为对应的逻辑函数式时，只要从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，就可以在输出端得到所求的逻辑函数式了。 例1.3.5 已知逻辑函数的逻

33、辑图如图所示，试求它的逻辑函数表达式。 解：根据图 (a)所示逻辑图从输入到输出逐级逐个写出逻辑运算图形符号的逻辑关系式，如图 (b)所示，最后可得逻辑函数表达式YABAB413波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换 在从已知的逻辑函数波形图求对应的真值表时，首先需要从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。 1 0 1 0 1 1 1 0 0 t1 t4 t2 t3 0 1 0 A B Y 真值表真值表ABL000101011110421.3.4 逻辑代数的运算公式和规则逻辑代数的运算公式和规则一、逻辑代数基本公式一

34、、逻辑代数基本公式A+ 0=A A+ 1=1A 0=0 A 1=A A A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B = B A A + B = B + A (AB)C = A (BC) (A+B)+C = A+(B+C) A ( B+C ) = A B+ A C A+ B C =( A + B) (A+ C )0-1律律互补律互补律重叠律重叠律交换律交换律结合律结合律分配律分配律43反演律反演律A B= A+B A+ B=AB还原律还原律 A= A吸收律吸收律A+A B=A A (A+B)=AA+ A B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C(A+

35、B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)44例例1.3.9：证明吸收律：证明吸收律BABAA成立成立BAA)()(AABBBABABABBA)(互补律互补律重叠律重叠律ABABABABABABAB45例：证明反演律例：证明反演律A B= A+B 和和 A+ B=ABA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000由真值表得由真值表得 证：证：利用真值表利用真值表A B= A+B ， A+ B=AB1110111010001000 反演律又称摩根定律，常反演律又称摩根定律，常变形为变形为A B= A+B 和和 A+B=AB46例：例： A B= A

36、+BBC替代替代B得得由此反演律能推广到由此反演律能推广到n个变量：个变量： n nAAA A AA2121利用反演律利用反演律 n nAAAA AA2121 ABC = A+BC= A+B+C二、代入定理二、代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这就是所谓的代入定理。471.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1.4.1 代数法化简逻辑函数1.4.2 卡诺图法化简逻辑函数1.4.3 具有无关项的逻辑函数化简48分配律分配律吸收律吸收律加法律加法律YABCABCABCABCABCABCAB(CC)ABCABCABABCA(BBC)ABC

37、A(BC)ABCABACB(AAC)ACB(AC)ACABACBC吸收律吸收律分配律分配律分配律分配律例1.4.1 将YABCABCABCABC化简。49函数化简的目的函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性50与或表达式最简的标准与或表达式最简的标准 与项最少，即表达式中与项最少，即表达式中“+ +”号最少。号最少。 每个与项中变量数最少，即表达式中每个与项中变量数最少，即表

38、达式中“ ”号最少。号最少。 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少与门的输入端个数少1.4.1 代数法化简逻辑函数 代数法化简的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。511AA并项法并项法: : CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABAB吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： BABAA CABAB CAB 配项法配项法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)(

39、 CBACABCA=AB )()(BCACACABAB 52()()YAB DDABDABD CCDBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB YABDA B DABDA B CDA BCD例例 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为要求：要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解： B A Y AB BA & & & & & 53CBACBA CBACBA CBACBA B Y CB

40、A 1 1 1 A C CBA 1 1 1 YABC ABC例例 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：解： YABCABC541.4.2 卡诺图法化简逻辑函数卡诺图法化简逻辑函数1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简用这种化简方法技巧强，较难掌握

41、。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：代数法化简在使用中遇到的困难：55一、最小项和逻辑函数的最小项表达式一、最小项和逻辑函数的最小项表达式最小项：最小项：n个变量有个变量有2n个最小项，记作个最小项，记作mi。3个变量有个变量有23（8）个最小项。个最小项。CBACBAm0m100000101CBABCACBACBACABABC m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个

42、变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n个变量个变量的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。量或反变量的形式出现一次）。1. 最小项最小项乘积项乘积项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号 最小项编号最小项编号i：各输入各输入变量取值看成二进制数，变量取值看成二进制数，对应十进制数。对应十进制数。560 0 1A B C0 0 0m0CBAm1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACAB ABC1 -20niimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 1

43、1 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项三变量的最小项 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值：任意同一组变量取值：任意两个不同两个不同最小最小项的项的乘积乘积为为0，即，即mi mj=0 (ij)。 全部全部最小项之最小项之和和为为1，即，即1201niim 任意一组变量取值：任意一组变量取值：只有一个只有一个最小项的最小项的值为值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0。572逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 若逻辑函数的与或表达式中的每一个乘积项均为最小项，则称这

44、一与或表达式为最小项表达式。例如237( , ,)(2,3,7)Y A B CABCABCABCmmmm( , ,)()()Y A B CAB CCA BB C例例 将将( , ,)Y A B CABAC化成最小项表达式化成最小项表达式ABCABCABCABC= m7m6m3m5 (7, 6 3 5)m, ,58( , ,)()Y A B CABABC AB 例例 将将 化成最小项表达式化成最小项表达式 a.去掉非号去掉非号()()Y A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括号去括号ABCABCAB()ABCABCAB CCABCABCABCABC357

45、6(3,5,6,7)mmmmm59 二、逻辑函数的卡诺图表示法二、逻辑函数的卡诺图表示法 将变量的全部最小项相应地写入一个特定的方格图内，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的方格图称为n变量的卡诺图。二二变变量量K图图A B miAABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m30 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3ABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD三三变变量量

46、K图图四四变变量量K图图0001111000011110ABCD（1）n个逻辑变量的函数，个逻辑变量的函数，卡诺图有卡诺图有2n个方格，对应个方格，对应2n个最小项。个最小项。（2）行列两组变量取值按）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。小项为逻辑相邻项。（3）相邻有邻接和对称两）相邻有邻接和对称两种情况。种情况。特点：特点： 图中图中一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一一行行，即一个，即一个最小项最小项，又称真值图。，又称真值图。601. 已知函数为最小项表达式，存在的最小项对已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填应的格填1，其余格均

47、填，其余格均填0。2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为为1的那些最小项对应的方格填的那些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与与或式或式，再用直接法填写。，再用直接法填写。 用用卡诺图表示逻辑函数卡诺图表示逻辑函数例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示例：某函数的真值表如图所示，用卡诺图表示该逻辑函数。该逻辑函数。ABCF00000100100100010111110101111110ABC00 0111 100111110000Y= ABC+ABC+ABC+ABC例：用卡诺图表示该逻辑函数例：用卡诺图表示该逻辑函数ABC00 0111 10011000011110111111000061三、用卡诺图化简逻辑函数三、用卡诺图化简逻辑函数 1合并最小项的原则合并最小项的原则DABDADBA ABCDABCDABDABCDABCDABD m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后若两个最小项相邻，