结构力学第二章-轴向拉压

1、21 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 （Axial Tension） 2-4 拉压杆的变形拉压杆的变形 胡克定律胡克定律2-5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能2-7 强度条件、安全因数、许用应力强度条件、安全因数、许用应力2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能2-8 应力集中应力集中22 内力、截面法、内力、截面法、轴力及轴力图轴力及轴力图23 应力的概念、拉（压）杆内的应力应力的概念、拉（压）杆内的应力21 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆

2、的轴线重合。概念概念:轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图FFFF一、内力一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。力系的合成（附加内力）。22 内力内力 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图二、截面法二、截面法 轴力轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定

3、性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。截面法的基本步骤：截面法的基本步骤： 截开截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。2. 轴力轴力轴向拉压杆的内力，用轴向拉压杆的内力，用 表示。表示。0 X0NFFNFFAFF简图AFF截开：截开：平衡：平衡：NF代替：代替：FANF例如： 截面法求 。 NF反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；确定出最大轴力的数值

4、及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。3. 轴力的正负规定轴力的正负规定: : xF+意意义义NFNFNFNF0NF0NF 与外法线同向,为正轴力(拉力)NF 与外法线反向,为负轴力(压力)NF三、三、 轴力图轴力图 (x) 的图象表示。的图象表示。NFNF例例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、 F 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解： 求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN10 X01DCBANFFFFF 04851FFFFFNFFN21同理，求得AB、BC、CD段内力分别为： FN2= 3

5、FFN3= 5FFN4= F轴力图如右图BCDFBFCFDFN2CDFCFDFN3DFDFN4x2F3F5FF+NF一、应力的概念一、应力的概念 23 应力的概念、拉（压）杆内的应力应力的概念、拉（压）杆内的应力问题提出：问题提出：FFFF1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度： 内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。1. 定义：定义：杆件某截面上的分布内力在某点处的。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确而且重要，因为而且重要，因为“破坏破坏”或或“失效失效”往往从内力集度最大处开始。

6、往往从内力集度最大处开始。 F AM 平均应力：平均应力： 总应力（全应力）：总应力（全应力）：AFpMAFAFpAMddlim02. 应力的表示：应力的表示：pM 总应力可以分解为：总应力可以分解为： ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力” ( (Normal Stress) )；位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“切应力切应力”( (Shearing Stress) )。 变形前1. 变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。abcd受载后二、

7、拉（压）杆横截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力FFacbd均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2. 拉伸应力：拉伸应力：FNFAFN 轴力引起的正应力 ： 在横截面上均匀分布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3. 危险截面及最大工作应力：危险截面及最大工作应力：AFN max,max对于等截面直杆，有对于等截面直杆，有(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：应力分布示意图：4. 圣维南（圣维南（Saint-Venant）原理：原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。三、拉三、拉(压压)杆斜截面

8、上的应力杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力F作用。求：斜截面k-k上的应力。 FFakk解：采用截面法由平衡方程：Fa = F则：aaaAFpAa a：斜截面面积；斜截面面积； Fa a：斜截面上内力。：斜截面上内力。由几何关系：aaaacos cosAAAA代入上式，得：aaaaacoscos0AFAFp斜截面上总应力：aacos 0pFa aaFkkFFkka斜截面上总应力：aacos 0pFkkapa a分解：pa aaaa20coscos paaaaaa2sin2sincossin00p反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当a = 90时，0)(mina当a = 0时， )(0

9、maxa( 横截面上存在最大正应力 )当a = 45时，2|0maxa(45 斜截面上剪应力达到最大) a a a aa a当a = 0, 90时，0| mina63.7MPa 127.4/2 /2 0maxMPa5 .95434 .127cos20aaMPa2 .5560sin24 .1272sin2 0aaPaPaAFM4 .12710*4 .127 )10(*414. 310*10 62230例例6 直径d =1 cm杆受拉力F =10 kN的作用，试求最大剪应力， 并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之： 1 1、杆的纵向总变形：、杆的

10、纵向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变：lllll1 2 2、线应变：单位长度的伸长（或缩短）。、线应变：单位长度的伸长（或缩短）。一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变lll12 24 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 胡克定律胡克定律abcdxl4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：dxdxdxxxx0lim 5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：accaacFFxxdl1acaccaacac杆的横向线应变：杆的横向线应变：abcd二、拉压杆的弹性定律（胡克定律）二、拉压杆的弹性定律（胡克定律）AFLl EAlFEAFllN1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹

11、性定律“EA”称为杆的称为杆的拉伸拉伸( (压缩压缩) )刚度刚度。FF2 2、单轴应力状态下的弹性定律、单轴应力状态下的弹性定律 E3 3、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） E :或EAFEllN11单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律 :即1.0m1.0m1.0m20kN32kN12kNABCD，21800mmA 。22400mmA GPaE200一变截面杆件受力如图所示，已知左段的横截面积右段的横截面积杆件材料（1）画出该杆的轴力图； （2）求该杆的总伸长量。例例1 1：的弹性模量例例2 2： 设1、2两根钢杆用铰链连接如图，已知：各杆长为l=2m、 各杆直

12、径为d=25mm；两杆与竖向夹角为30。钢的弹性模量为 E=210GPa。外力 P=100KN，求结点 A 的位移。解：、平衡方程:0sinsin21aaNNxFFF0coscos21PFFFNNyaaacos2121EAPlEAlFllN求解各杆的轴力：求解各杆的轴力：物理方程物理方程弹性定律：弹性定律：变形协调方程：变形协调方程：acos221PFFNN) 4 (2dA其中aa21cos2cosEAPllAAA代入已知数据可得：代入已知数据可得：mA001293. 0例例3 3： 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2，L3=L ；各杆面积为 A1=A2= A3 =A；

13、各杆弹性模量为：E1=E2=E3=E。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CFABDaa123解：、平衡方程:0sinsin21aaNNxFFF0coscos321FFFFFNNNyaaFAaaFN1FN3FN2EALFLN111EALFLN333几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：物理方程物理方程弹性定律：弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得补充方程：由几何方程和物理方程得解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得: :acos31LLacos3311EALFEALFNN1cos2 ; 1cos2cos333221aaaFFFFFNNNCABDaa1

14、23A11L2L3L2 25 5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能一一、弹性应变能：弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。二、二、 拉压杆的应变能计算：拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。WV根据拉杆应变能的计算，可得:lFlFWN2121222221llEAEAlFlFVNN可得:三、三、 拉压杆的应变能密度拉压杆的应变能密度 v单位体积内的应变能单位体积内的应变能212122EAFAFAlEAlFVVvNNN2222EEv例例4 4 设1、2两根钢杆用铰链连接如图，已知：各杆长为l=

15、2m、 各杆直径为d=25mm；两杆与竖向夹角为30。钢的弹性模量为 E=210GPa。外力 P=100KN，求结点 A 的位移。EAlPEAlFVN2221)cos2(22 a解：JmN67.64.67.64因为应变能等于荷载所做的功：VAP21NJPVA31010067.6422mmm293. 110293. 132 26 6 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器一、试验条件及试验仪器1 1、试验条件：常温、试验条件：常温(20)(20)；静载（极其缓慢地加载）；静载（极其缓慢地加载）； 标准试件。标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关

16、强度、变形方面的特性。2 2、试验仪器：、试验仪器：万能材料试验机万能材料试验机压力试验机压力试验机扭转试验机扭转试验机二、低碳钢试件的拉伸图二、低碳钢试件的拉伸图( (F- - L图图) )EAFLL 塑性变形后的卸载规律塑性变形后的卸载规律 ( (冷作硬化与冷作时效冷作硬化与冷作时效) )LL三、低碳钢试件的应力三、低碳钢试件的应力-应变曲线应变曲线 ( ( - 图图) )AF( (一一) ) 低碳钢拉伸的弹性阶段低碳钢拉伸的弹性阶段 ( (OB段段) )1 1、 OA - - 比例段比例段: : p - - 比例极限比例极限EatgE2 2、 AB - -曲线段曲线段: : e - -

17、弹性极限弹性极限( (二二) ) 低碳钢拉伸的屈服阶段低碳钢拉伸的屈服阶段C: 上屈服强度上屈服强度滑移线：滑移线：屈服强度屈服强度,屈服极限屈服极限: : s s 。D: 下屈服强度下屈服强度: -强度强度极限极限( (三三) )、低碳钢拉伸的强度极限、低碳钢拉伸的强度极限( (四四) )、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段1 1、断后伸长率、断后伸长率: :001100LLL2 2、断面收缩率：、断面收缩率：001100AAA3 3、脆性、塑性及相对性、脆性、塑性及相对性为界以005几个重要概念几个重要概念四、无明显屈服现象的塑性材料四、无明显屈服现象的塑性材料 规

18、定非比例延伸强度规定非比例延伸强度五、灰口铸铁拉伸时的力学性能五、灰口铸铁拉伸时的力学性能 ，铸铁拉伸强度，铸铁拉伸强度极限（失效应力）极限（失效应力） tgaE割线弹性模量割线弹性模量 P0.2P0.2 ，即此类材料的屈服强度。，即此类材料的屈服强度。006500/30N5024/160214. 32AF解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故不可再应用“弹性定律”。 应如下计算：MPa160例例5： 铜丝直径d=2mm，长 L=500mm， 材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm， 则大约需加多大的力F？ 0 5 10 15 20（）100 200 300 （M M PaPa）

19、由拉伸图知： (MPa)例例6：一根Q235钢的拉伸试样，直径d=10mm，长l=100mm。 试验机荷载读数达到F=10KN时，量得工作段的伸长l =0.0607mm，直径缩小d=0.0017mm。求此时试样横截面上正应力，并求材料的弹性模量 E 和泊松比 。已知Q235钢的弹性极限为200MPaMPamNAF3 .127)10*1 (410*10223解： F=10KN时，正应力4310*07. 61 . 010*0607. 0mmll43310*7 . 110*1010*0017. 0mmddGPaE21028. 0六、金属材料压缩时的力学性能六、金属材料压缩时的力学性能 y - -铸铁

20、压缩强度铸铁压缩强度极限；极限；七、强度条件、安全因数、许用应力七、强度条件、安全因数、许用应力 nu2、许用应力：许用应力：n (n1)3、安全因数：安全因数：4、强度条件：强度条件： )()(max(NmaxxAxF maxN,AF对等截面直杆：1、极限应力极限应力 u ： s (屈服极限) 和 b (强度极限)统称为极限应力。截面选择：截面选择：maxN,FA maxN,AF依强度准则可进行三种强度计算：依强度准则可进行三种强度计算： max强度校核：强度校核：许可载荷计算：许可载荷计算： 例例7：已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核

21、此杆是否满足强度要求。解： 轴力：FN = F =25kNMPa1620140143102544232max.d FAFN应力：强度校核：170MPa 162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。例例8：已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆1.42mq8.5m9.3m 整体平衡求支反力解：钢拉杆q1.42mFAYFBYFAX0 0AXFX0 19.5kNBAYMF应力：强度校核与结论：MPa 170 MPa 131 max 此杆满足强度要求，是安全的。MPa131016. 014. 3103 .264 d 4232PAFN 局部平衡求 轴力： qFAYFAXFCYFCXFNN0 26.3kNCMF 。 sin/; /hLFABDNBD例例