模糊集的基本运算

1、 第二第二章章 模糊集的基本运算模糊集的基本运算一一. . 模糊集的表示方法模糊集的表示方法 模糊集合是论域模糊集合是论域X 到到0,10,1的映射的映射, , 因此用隶属函因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, , 还有还有以下的表示方法：以下的表示方法：1)1)序偶表示法序偶表示法 A=(x, A(x)|x X. 例如例如: : 用集合用集合X=x1, x2, x3, x4表示某学生宿舍中的四表示某学生宿舍中的四位男同学位男同学, “, “帅哥帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度对这

2、四位学生属于帅哥的程度(“(“帅度帅度”) )做的评价依做的评价依次为次为: : 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集则以此评价构成的模糊集合合A记为记为: : A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).2) 2) 向量表示法向量表示法 当论域当论域X=x1, x2, , xn时时, , X上的模糊集上的模糊集A可表示为向量可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), ,A(xn). 模糊集模糊集“帅哥帅哥”A可记为可记为: : A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). 向量的每个分量都在

3、向量的每个分量都在0与与1之间之间, ,称之为称之为模糊向量模糊向量。 3） Zadeh表示法表示法 当论域为有限集当论域为有限集x1, x2, , xn时时, , 模糊集合可表示为模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn. 注意注意, , 这里仅仅是借用了算术符号这里仅仅是借用了算术符号+和和/, 并不表示分数并不表示分数和运算和运算, , 而只是描述而只是描述A中有哪些元素中有哪些元素, ,以及各个元素的隶属以及各个元素的隶属度值。度值。 对于任意论域对于任意论域X中的模糊集合中的模糊集合A可记为可记为: :( )/x XAA xx( )x XA xA

4、x 模糊集模糊集“年轻年轻”A可表示为可表示为0,2521(25,100)100,2001251() 50 xxxAxxxx 注意：当论域明确的情况下注意：当论域明确的情况下, , 在序偶和在序偶和ZadehZadeh表示法表示法中中, , 隶属度为隶属度为0 0的项可以不写出。而在向量表示法中的项可以不写出。而在向量表示法中, , 应应该写出全部分量。该写出全部分量。 例如例如, , 论域论域X为为1 1到到1010的所有正整数的所有正整数, , 模糊集模糊集“近似于近似于5 5”A可表示为：可表示为：0/1 0/ 20.3/30.7/ 4 1/51/60.7/70.3/80/90/100.

5、3/30.7/ 4 1/5 1/60.7/70.3/8(0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)AAA 或或 或或二二. . 典型的隶属函数典型的隶属函数 构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一种基本的构造隶属函数的方法是种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法参考函数法”, 即参即参考一些典型的隶属函数考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数通过选择适当的参数, 或通过拟或通过拟合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。 下面介绍典型隶属函数。下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型偏小型

6、降半矩形分布降半矩形分布, 降半降半形分布形分布, 降半正态分布降半正态分布, 降半柯降半柯西分布西分布, 降半梯形分布降半梯形分布, 降岭形分布。降岭形分布。1( )0 xaA xxa()1( ),0k x axaA xexa k2()1( ),0k x axaA xexa k1( )1( ,0)1()cxaA xxa b cb xa1( )0 xabxA xaxbbaxb111( )sin2220 xaabA xxaxbbaxb2. 偏大型偏大型 升半矩形分布，升半升半矩形分布，升半形分布，升半正态分布，升半柯形分布，升半正态分布，升半柯西分布，升半梯形分布，升岭形分布。西分布，升半梯形分

7、布，升岭形分布。0( )1xaA xxa2()0( )1,0k x axaA xexa k()0( )1,0k x axaA xexa k0( )1( ,0)1()cxaA xxa b cb xa0( )1xaxaA xaxbbaxb011( )sin2221xaabA xxaxbbaxb “年轻年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取其中取a =1/5 , b =25 , c =2. “年老年老”模糊集合的隶属函数为升半柯模糊集合的隶属函数为升半柯西分布西分布, 其中取其中取a=1/5 , b=50, c= 2.3. 中间型中间型(对称型对称型) 矩形

8、分布矩形分布, 尖尖形分布形分布, 正态分布正态分布, 柯西分布柯西分布, 梯形分布梯形分布, 岭形分布。岭形分布。0( )10 xabA xabxabxab()()( )k x ak x aexaA xexa2()( ),0k x aA xek1( )0()1()cA xbcb x a为正偶数0( )10 xaccxaacxabcbA xabxabcxaabxaccbxac 011sin222( )111sin2220 xba bxbxab aA xaxaa bxaxbb axb 三三. . 模糊集上的运算模糊集上的运算几几点说明点说明 经典经典集合可用特征函数完全刻画集合可用特征函数完全刻

9、画, 因而经典集合可看成因而经典集合可看成模糊集的特例模糊集的特例(即隶属函数只取即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集两个值的模糊集)。 设设X为非空论域为非空论域, X上的全体模糊集记作上的全体模糊集记作F(X). 于是于是, P(X) F(X), 这里这里P(X)为为X的幂集的幂集(即即X的全体子集构成的集的全体子集构成的集合合). 特别特别地地, 空集空集的隶属函数恒为的隶属函数恒为0, 全集全集X的隶属函数恒为的隶属函数恒为1, 即即、X都是都是X上的模糊集。上的模糊集。2. 模糊集的包含关系模糊集的包含关系 设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个经典集合。上的两个经典集

10、合。 A B当且仅当属于当且仅当属于A的元素都属于的元素都属于B. 易证易证A B当且仅当对任意当且仅当对任意x X有有CA(x) CB(x). 定义定义 设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个模糊集合。上的两个模糊集合。 称称A包含于包含于B(记作记作A B), 如果对任意如果对任意x X有有A(x) B(x). 这时也称这时也称A为为B的子集。的子集。例例 论域论域X=x1, x2, x3, x4时时, X上的模糊集上的模糊集A为为: A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集上的模糊集B为为: B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).

11、 则根据定义有则根据定义有B A. 定义定义 论域论域X上的模糊集上的模糊集A与与B称为是相等的称为是相等的, 如果如果A B 且且B A, 即对任意即对任意x X有有A(x)= B(x). 3. 模糊集的并模糊集的并 设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个经典集合。上的两个经典集合。 AB=x X| x A或或x B. 易证易证 CA B(x)=maxCA(x), CB(x)=CA(x) CB(x). 定义定义 设设X为非空论域为非空论域, A, B为为X上的两个模糊集合。上的两个模糊集合。 A与与B的并的并(记作记作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集, 其隶属函数为其隶

12、属函数为 (AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x) B(x), x X. 4. 模糊集的交模糊集的交 定义定义 非空论域非空论域X上的两个模糊集合上的两个模糊集合A与与B的交的交(记作记作AB)是是X上的一个模糊集上的一个模糊集, 其隶属函数为其隶属函数为 (AB)(x)=minA(x), B(x)=A(x) B(x), x X.5. 模糊集的补模糊集的补 定义定义 非空论域非空论域X上的一个模糊集合上的一个模糊集合A的补的补(记作记作A 或或AC)X上的一个模糊集上的一个模糊集, 其隶属函数为其隶属函数为 A (x)=1 A(x), x X. 注：注：两个模糊集的并、交运算可以推

13、广到一般情形两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形, 即即对任意指标集对任意指标集I, 若若Ai是是X上的模糊集上的模糊集, i I. 则模糊集的则模糊集的(任意任意)并、并、(任意任意)交定义为交定义为:0,1;( )( ),.iiIiiiIiIAXAxAxxX:0,1;( )( ),.iiIiiiIiIAXAxAxxX例例 设论域设论域X=x1, x2, x3, x4为一个为一个4人集合人集合, X上的模糊集合上的模糊集合 A表示表示“高个子高个子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4) . 模糊集合模糊集合B表示表示“胖子胖子”:

14、B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) . 则模糊集合则模糊集合“高或胖高或胖”为为: AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3),(x4,0.40.4) =(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4). 模糊集合模糊集合“又高又胖又高又胖”为为: AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4). 模糊集合模糊集合“个子不高个子不高”为为: A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6). 四

15、四. .模糊集的运算性质模糊集的运算性质 1. 经典集合的运算性质经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设设X为论域为论域, A, B, C为为X上的经典集合上的经典集合, 则则 (1) 幂等律幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);(6) 对合律对合律(复原律复原律

16、): (A ) =A; (7) 两极律两极律(同一律同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan对偶律对偶律: (AB) =A B , (AB) =A B ;(9) 排中律排中律(互补律互补律): AA =X, AA =.注：注：满足上述前四条规律的代数系统称为格满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序可诱导出一个序A BAB=AAB=B)。 满足以上满足以上9条性质的代数系统条性质的代数系统称为布尔代数称为布尔代数(Boolean algebra, 即即“有补的有界分配格有补的有界分配格”. 2. 模糊集合的运算性质模糊集合的运算性质 定理定理 设

17、设X为论域为论域, A, B, C为为X上的模糊集合上的模糊集合, 则则 (1) 幂等律幂等律: AA=A, AA=A; (2) 交换律交换律: AB=BA, AB=BA; (3) 结合律结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (4) 吸收律吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A; (5) 分配律分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);(6) 对合律对合律(复原律复原律): (A ) =A; (7) 两极律两极律(同一律同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan对偶律对偶律: (AB) =A B ,

18、 (AB) =A B .证明证明De Morgan对偶律对偶律:对任意对任意x X, 由于由于 (AB) )(x)=1 (AB)(x) = 1 (A(x)B(x) = (1 A(x)(1 B(x) =A (x)B (x) =(A B )(x).所以所以 (AB) =A B .同理可证同理可证 (AB) =A B . 注：注：模糊集中互补律不成立模糊集中互补律不成立(参见下面的反例参见下面的反例). 满足以上满足以上8条性质的代数系统称为条性质的代数系统称为De Margan代数代数, 也称为软代数也称为软代数(soft algebra). 反例反例 设论域设论域X=a, b上的模糊集上的模糊集

19、A=(a, 0.6), (b, 0.3). 则则 A =(a,0.4),(b,0.7). 从而从而 AA =(a,0.6), (b, 0.7) X, AA =(a, 0.4), (b, 0.3) .五五. L型模糊集型模糊集 本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上, 并研究这类广义模糊集合及其性质。并研究这类广义模糊集合及其性质。 1. 偏序集与格偏序集与格 定义定义 称称(P, )为偏序集为偏序集, 若若P上的二元关系上的二元关系 满足以下三满足以下三个条件个条件: (1) 自反性自反性: a P, a a; (2) 反对称性反对称性: a

20、b且且b a a = b; (3) 传递性传递性: a b且且b c a c. 对于偏序集对于偏序集(P, ), 如果对于任意如果对于任意a, b P总有总有a b或或b a成立成立, 则称则称P为线性序集或全序集。为线性序集或全序集。 设设(P, )为偏序集为偏序集, 若存在若存在a P使得对任意使得对任意b P都有都有a b, 则称则称a为为P的的最小元最小元。若存在。若存在a P使得对任意使得对任意b P都有都有b a, 则则称称a为为P的的最大元最大元。 易知易知, 如果偏序集有最小元或最大元如果偏序集有最小元或最大元, 则最小元或最大元则最小元或最大元是惟一的。为此是惟一的。为此,

21、记记0为最小元素为最小元素, 1为最大元素。为最大元素。 设设(P, )为偏序集为偏序集, X P, 若存在若存在a P使得对任意使得对任意x X都有都有x a, 则称则称a为为X的的上界上界。如果。如果X的上界集合有最小元素的上界集合有最小元素, 则称则称它为它为X的最小上界或的最小上界或上确界上确界, 记为记为supX或或X. 对偶地对偶地, 可以定可以定义义下界下界、最大下界或、最大下界或下确界下确界(记为记为infX或或X)。 定义定义 偏序集偏序集 (L, )称为格称为格, 如果如果 a, b P, 上确界上确界a b与与下确界下确界ab都存在。都存在。 任意子集都有上、下确界的格称

22、为任意子集都有上、下确界的格称为完备格完备格。 上、下确界运算满足分配律的格称为上、下确界运算满足分配律的格称为分配格分配格, 这里分这里分配律指有限分配律。配律指有限分配律。 定理定理 设设(L, )为格为格, 则上、下确界运算满足则上、下确界运算满足: (1) 幂等律幂等律: aa=a, aa=a; (2) 交换律交换律: ab=ba, ab=ba; (3) 结合律结合律: (ab)c=a( (bc), (ab)c=a(bc); (4) 吸收律吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.定理定理 设代数系统设代数系统(L,)中的二元运算中的二元运算,满足满足: 幂等律幂等律: aa=a,

23、aa=a; 交换律交换律: ab=ba, ab=ba; 结合律结合律: (ab)c=a( (bc), (ab)c=a(bc); 吸收律吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a. 则则: (1) ab=a ab=b; (2) 在在L中定义二元关系中定义二元关系 如下如下a b ab=a. 那么那么 (L, )是格是格, 且且,是这个格是这个格(L, )的上、下确界运算。的上、下确界运算。2. Boole代数与代数与De Morgan代数代数 定义定义 设设L是有界分配格是有界分配格, 0, 1分别是其最大元和最小元。分别是其最大元和最小元。对任意对任意a L, 若存在若存在a L使得使得aa

24、=1, aa =0, 则称则称L为布为布尔代数。尔代数。 定义定义 设设P是偏序集是偏序集, h:PP是映射。如果当是映射。如果当a b时恒有时恒有h(a) h(b), 则称则称h为保序映射。如果当为保序映射。如果当a b时恒有时恒有h(b) h(a), 则称则称h为逆序映射。如果逆序映射为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律满足对合律h(h(a)=a, 则则h称为称为逆序对合对应逆序对合对应或或逆合映射逆合映射, 也称也称h为为伪补伪补。 定义定义 设设L是有界分配格是有界分配格, h:LL是是L上的一元运算且满足上的一元运算且满足(1) h(h(a)=a,(2) h(ab)=h(a)h(b)

25、, h(ab)=h(a)h(b).则称则称L为为De Morgan代数代数。 易知易知De Morgan代数中代数中h是逆合映射。是逆合映射。 设设X为非空集合为非空集合, 则幂集格则幂集格(P(X), , c)为布尔代数为布尔代数, 而而X上的模糊集全体构成的格上的模糊集全体构成的格(F(X), , c)为为De Morgan代数。代数。 布尔代数是布尔代数是De Morgan代数代数, 反之不真。反之不真。3. L型模糊集及其运算型模糊集及其运算 定义定义 设设X为论域为论域(经典集合经典集合), L是一个有逆合映射是一个有逆合映射(伪补伪补)h的格。则映射的格。则映射A:XL称为集合称为集合X上的上的L型模糊集合。型模糊集合。 记记FL(X)=A|A:XL为为L型模糊集合型模糊集合. 设设