第7章_矩量法

1、第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法第第 7 章章 矩矩 量量 法法 本章基于加权余量法的数学基础，阐明了矩量法的由来，并逐一讨论本章基于加权余量法的数学基础，阐明了矩量法的由来，并逐一讨论了常用的点匹配、伽辽金和最小二乘法等各种计算模式。限于矩量法基本了常用的点匹配、伽辽金和最小二乘法等各种计算模式。限于矩量法基本概念与应用的考虑，本方法以静态电场为分析研究对象，采用点匹配法计概念与应用的考虑，本方法以静态电场为分析研究对象，采用点匹配法计算模式，结合典型示例给出了方法实际应用全过程的阐述。此外，专题讨算模式，结合典型示例给出了方法实际应用全过程的阐述。此外，专题讨论了伽辽金有限元法与基于变

2、分原理的有限元法之间的等价性。论了伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。 7.1 概述概述 矩量法（矩量法（The Method of Moments，简称，简称MOM），是近年来在天线、），是近年来在天线、微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方法。从这些实际工程问题微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方法。从这些实际工程问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法是将待求的积涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法是将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题，借助于计算机，求得其数值解，从分方程问题转化为一个矩阵方程问题，借助于计算机，求得其数值

3、解，从而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻抗而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻抗等特性参数。等特性参数。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 矩量法的数学处理过程可以采用加权余量法或定义泛函内积等方法展矩量法的数学处理过程可以采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开开R。F. Harrington对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入的分析，其对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入的分析，其经典著作已于经典著作已于1968年出版年出版1 。为从数学意义上，既能理解通常矩量法构。为从数学意义上，既能理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值

4、计算方法与之相关的内在联系，本书采造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，本书采用加权余量法的概念来说明矩量法。加权余量法（用加权余量法的概念来说明矩量法。加权余量法（The Method of Weighted Residuals）的概念首先由）的概念首先由S.H.Crandall2在在1956年提出。他将由积分、微年提出。他将由积分、微分方程离散化为矩阵方程（代数方程组）的方法，统一归结为加权余量法，分方程离散化为矩阵方程（代数方程组）的方法，统一归结为加权余量法，由此构成各种近似计算方法统一的数学基础，并已在力学问题中得到广泛由此构成各种近似计算方法统一的数学基础，并已

5、在力学问题中得到广泛应用。应用。 本章着意于矩量法基本概念与应用的阐述，因此将仅限于讨论方法在静本章着意于矩量法基本概念与应用的阐述，因此将仅限于讨论方法在静态电场中由点匹配法构造的计算模式，关于在天线辐射场、导体涡流场和散态电场中由点匹配法构造的计算模式，关于在天线辐射场、导体涡流场和散射场等时谐场中矩量法的应用，读者可参阅参考文献射场等时谐场中矩量法的应用，读者可参阅参考文献3、4。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.2 矩量法的数学基础矩量法的数学基础 加权余量法加权余量法 设给定边值问题的场方程（微分方程或积分方程）统一表述为如下的设给定边值问题的场方程（微分方程或积分方程）统一表

6、述为如下的算子方程，即算子方程，即已知边界条件为已知边界条件为和和 式中，式中，L (为线性算子就微分方程而言，如对应于静电场的泊松方程，为线性算子就微分方程而言，如对应于静电场的泊松方程，若给定激励源项若给定激励源项g = -/0，则应有，则应有L = 2；就积分方程而言，如对应于静电；就积分方程而言，如对应于静电场中带电导线场中带电导线l上的线电荷密度上的线电荷密度（r）分布问题，则若给定激励源项）分布问题，则若给定激励源项g = ，即给定该导线的电位，便应有即给定该导线的电位，便应有 为已知函数；为已知函数；u为待求函数。很明显，若为待求函数。很明显，若u为精确解，则场方程（为精确解，则

7、场方程（7-1a）和边界条件（）和边界条件（7-1b）、（）、（7-1c）应该完全满足，但是如果现在构造一个由有限个线性无关函）应该完全满足，但是如果现在构造一个由有限个线性无关函数数Ni（i=1，2，n）所组成的基函数集合）所组成的基函数集合N，并令其满足总体边界条，并令其满足总体边界条件（件（7-1b）、（）、（7-1c），借以展开得待求函数），借以展开得待求函数u的近似解为的近似解为 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法则因近似解则因近似解 近似满足场方程，故把上式代入式（近似满足场方程，故把上式代入式（7-1a）必有误差存在，）必有误差存在，或称之为有余量，记作或称之为有余量，记作 ，

8、即，即 这里，如果选用不同的函数构造方法，使余量这里，如果选用不同的函数构造方法，使余量 在某种平均意在某种平均意义上取零值，便可相应获得不同的求解方法。作为一般性的讨论，应令余义上取零值，便可相应获得不同的求解方法。作为一般性的讨论，应令余量加权求积后取零值，换句话说，取一个归属于试探函数的权函数集合量加权求积后取零值，换句话说，取一个归属于试探函数的权函数集合W，令，令上式系由上式系由n个方程构成的方程组，它等价于人为地强制近似解个方程构成的方程组，它等价于人为地强制近似解 ，使其因不，使其因不能精确地满足场方程而导致的误差在平均的含义上等于零。按式（能精确地满足场方程而导致的误差在平均的

9、含义上等于零。按式（7-4）展开，）展开，所构成的各种求解积分或微分方程近似解的方法可被统称为加权余量法。因所构成的各种求解积分或微分方程近似解的方法可被统称为加权余量法。因为按给定权函数为按给定权函数Wj展开的式（展开的式（7-4），即意味着余量），即意味着余量 对对Wj取矩取矩的一组平衡式，故式（的一组平衡式，故式（7-4）的构造亦就被称为矩量法。由此可见，矩量法和）的构造亦就被称为矩量法。由此可见，矩量法和加权余量法属于同一数学描述，在本章中，往后将一概采用矩量法的称谓。加权余量法属于同一数学描述，在本章中，往后将一概采用矩量法的称谓。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法基于加权余量式（

10、基于加权余量式（7-4），进行移项处理，便得），进行移项处理，便得将式（将式（7-2）代入上式左端，注意到其中）代入上式左端，注意到其中ui不是空间坐标的函数，且不是空间坐标的函数，且L为线性算为线性算子，所以有子，所以有为了书写方便，令为了书写方便，令 和和即记作内积即记作内积，的表达方式。这样，按式（的表达方式。这样，按式（7-6），式（），式（7-5）便可简写成）便可简写成 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法这样，即展开成含这样，即展开成含n个未知数个未知数ui的的n个方程。若用矩阵形式表示，则有个方程。若用矩阵形式表示，则有式中，系数矩阵为式中，系数矩阵为其元素其元素lji=Wj，L

11、（Ni）；以及两列向量分别为）；以及两列向量分别为其中右端项列向量其中右端项列向量g的元素的元素gj=Wj，g。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 至此，通过矩量法已将算子方程（至此，通过矩量法已将算子方程（7-1）转化为如式（）转化为如式（7-7）或（）或（7-8）所示）所示的代数方程组。从而，在基函数的代数方程组。从而，在基函数N构造的基础上，进一步选定权函数构造的基础上，进一步选定权函数W，就可计算出，就可计算出l和和g中的各个元素，并由此解出待求函数中的各个元素，并由此解出待求函数u的离的离散解散解ui（i=1，2，n）。显然，原则上，只要增加所构造的基函数的项数）。显然，原则上，只

12、要增加所构造的基函数的项数n，将保证近似解将保证近似解 收敛于精确解收敛于精确解n。 7.2.1 基函数基函数N的构造的构造 前已指出，待求函数前已指出，待求函数u的近似解的近似解 可以通过构造彼此线性无关的基函数集可以通过构造彼此线性无关的基函数集合合N，由式（，由式（7-2）所示的级数展开式来逼近。显然，近似解的收敛性、）所示的级数展开式来逼近。显然，近似解的收敛性、稳定性和所需的计算量等均和所取的基函数有关。取决于不同的具体问题的稳定性和所需的计算量等均和所取的基函数有关。取决于不同的具体问题的特征，可以选取不同类型的基函数。总体说来，基函数可以区分为如下整域特征，可以选取不同类型的基函

13、数。总体说来，基函数可以区分为如下整域基和分域基两大类：基和分域基两大类： （1）整域基：）整域基：系指在算子系指在算子L的定义域内，即待求函数的定义域内，即待求函数u的定义域内都有定义的定义域内都有定义的基函数，通常应用的有：的基函数，通常应用的有：1）傅里叶级数）傅里叶级数k（x）=cosk；sink。由此待求函数。由此待求函数 可表示为可表示为 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法2）马克劳林级数）马克劳林级数xk。相应的待求函数。相应的待求函数 可表示为可表示为3）勒让特多项式）勒让特多项式Pk（x）。相应的待求函数）。相应的待求函数 可表示为可表示为 式中，勒让特多项式式中，勒让特多

14、项式 （2）分域基：）分域基：系指在待求函数系指在待求函数u的定义域中相应子域内才有定义的基函数，的定义域中相应子域内才有定义的基函数，通常应用的有：通常应用的有： 1）一维阶梯状插值）一维阶梯状插值脉冲函数脉冲函数i（x）。如图）。如图7-1a所示，在函数所示，在函数u（x）的各个子区间（的各个子区间（xi-1/2，xi+1/2）内分别取中值为基准插值。这样，整体综合即）内分别取中值为基准插值。这样，整体综合即在全域构成阶梯状的插值形态，其对应的分域基函数集合为在全域构成阶梯状的插值形态，其对应的分域基函数集合为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法函数图形如图函数图形如图7-1b所示，通常称

15、之为脉冲函数。由此待求函数所示，通常称之为脉冲函数。由此待求函数 可展开为可展开为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法2）一维分段线性插值）一维分段线性插值 三角形函数三角形函数Ti（x）。如图）。如图7-2a所示，在函数所示，在函数u（x）的各个子区间内分别以通过相应样点的线性关系来逼近原函数的）的各个子区间内分别以通过相应样点的线性关系来逼近原函数的连续变化，即整体综合成全域的折线状分段连续逼近形态。这时，根据连续变化，即整体综合成全域的折线状分段连续逼近形态。这时，根据相邻两样点之间的函数线性变化关系，即近似函数相邻两样点之间的函数线性变化关系，即近似函数可以推得对应的分域基函数集合为可

16、以推得对应的分域基函数集合为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法函数图形如图函数图形如图7-2b所示，通常称之为三角形函数。这样，待求函数所示，通常称之为三角形函数。这样，待求函数 可展可展开为开为按上式，由三角形函数为基函数所构成的待求函数按上式，由三角形函数为基函数所构成的待求函数u（x）的分段连续逼近形态，）的分段连续逼近形态，如图如图7-2c所示。所示。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法3）三角元剖分线性插值。对应于在平面域）三角元剖分线性插值。对应于在平面域D内定义的待求函数内定义的待求函数u（x，y）的逼）的逼近，在第近，在第5章中，已经给出了常用的由三角元分片拼合、整体插值函数

17、构造呈章中，已经给出了常用的由三角元分片拼合、整体插值函数构造呈宝石般表面形态的近似方法。这时，所采用的基函数即是三节点三角元的形状宝石般表面形态的近似方法。这时，所采用的基函数即是三节点三角元的形状函数函数 和和 式（式（5-35）。于是，三角）。于是，三角元中任意点的待求函数可展开成元中任意点的待求函数可展开成 十分明显，上述分域基都具有十分明显，上述分域基都具有“局部化局部化”的特点，即其只在一个局部范的特点，即其只在一个局部范围内不为零，其余全为零。这样，离散的节点值的变化将只直接影响到与其围内不为零，其余全为零。这样，离散的节点值的变化将只直接影响到与其相衔接的子域，从而保证了当节点

18、数相衔接的子域，从而保证了当节点数n递增时插值过程的数值稳定性。应指递增时插值过程的数值稳定性。应指出，若采用三阶以上的高阶插值函数，则由于它不具有局部化特点，因此，出，若采用三阶以上的高阶插值函数，则由于它不具有局部化特点，因此，不仅计算不很方便，而且数值稳定性也较差，故不宜应用。不仅计算不很方便，而且数值稳定性也较差，故不宜应用。 一般地说，分域基的数值稳定性较高，而整域基的收敛性较好。当所选一般地说，分域基的数值稳定性较高，而整域基的收敛性较好。当所选用的基函数和实际解答愈接近时，收敛愈快，所以基函数的选择应结合场的用的基函数和实际解答愈接近时，收敛愈快，所以基函数的选择应结合场的定性分

19、析。定性分析。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.2.2 权函数权函数W的选取的选取 在加权余量式（在加权余量式（7-4）中，很明显，不同类型的权函数的选择，将决定算）中，很明显，不同类型的权函数的选择，将决定算子方程的余量式（子方程的余量式（7-3）在不同的意义下取零值，从而可得各种不同计算）在不同的意义下取零值，从而可得各种不同计算模式的矩量法，现择要分别讨论如下：模式的矩量法，现择要分别讨论如下：（1）点匹配法）点匹配法若选取狄拉克若选取狄拉克函数为权函数，即令函数为权函数，即令 式中，狄拉克式中，狄拉克函数定义为函数定义为该函数的重要特性是：对于任一在该函数的重要特性是：对于任一在

20、r =rj处连续的函数处连续的函数f（r），应有），应有第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法因而可知矩量法方程（因而可知矩量法方程（7-8）中相应矩阵元素的计算结果为）中相应矩阵元素的计算结果为 和和由此表明由此表明lji和和gj的计算归结为只需计算的计算归结为只需计算 所在点处的对应值，因此称这种方所在点处的对应值，因此称这种方法为点匹配法。位矢法为点匹配法。位矢 所对应的点即称为离散点（也称为匹配点）。根据所对应的点即称为离散点（也称为匹配点）。根据场的惟一性定理，应将这些离散点场的惟一性定理，应将这些离散点 选取在相应的定解条件所在的位置上，选取在相应的定解条件所在的位置上，如选取在给定

21、电位值的电极表面上；或选取在不同媒质的分界面上，令其满如选取在给定电位值的电极表面上；或选取在不同媒质的分界面上，令其满足相应的边界条件。足相应的边界条件。 本章主题即在于运用这类计算模式的矩量法，对此将在下一节中详细本章主题即在于运用这类计算模式的矩量法，对此将在下一节中详细展开阐述。展开阐述。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法（2）伽辽金法）伽辽金法若权函数选为基函数，即令若权函数选为基函数，即令则构成伽辽金计算模式。设满足边界条件的近似函数则构成伽辽金计算模式。设满足边界条件的近似函数 由式（由式（7-2）给定，）给定，则基于加权余量式（则基于加权余量式（7-4），按式（），按式（7-

22、6）的推演，即可得出如下伽辽金法所）的推演，即可得出如下伽辽金法所对应的方程组对应的方程组 由此可求出各个待定系数由此可求出各个待定系数ui，代入式（，代入式（7-2）便得待求函数）便得待求函数u的近似解的近似解 。诚。诚如第如第5章中已经指出，基于伽辽金计算模式离散化，在有限单元分析基础上总章中已经指出，基于伽辽金计算模式离散化，在有限单元分析基础上总体合成的伽辽金有限元法，已不再局限于传统的有限元法源于泛函极值问题体合成的伽辽金有限元法，已不再局限于传统的有限元法源于泛函极值问题的导出基础。本章将在的导出基础。本章将在7.4节中专门阐述伽辽金有限元法。节中专门阐述伽辽金有限元法。第第 7

23、7 章章 矩矩 量量 法法（3）最小二乘法）最小二乘法若权函数选为余量本身，即令若权函数选为余量本身，即令则就构成最小二乘法的计算模式。最小二乘法在函数的逼近，最优化问题等方则就构成最小二乘法的计算模式。最小二乘法在函数的逼近，最优化问题等方面都有着广泛的应用。最小二乘法是通过定义目标函数面都有着广泛的应用。最小二乘法是通过定义目标函数F为余量平方和，求取为余量平方和，求取极小值的一种方法，即有极小值的一种方法，即有现将余量现将余量 及及 代入上式，则代入上式，则F便成为待定系数便成为待定系数uj的多元函数。这样，由式（的多元函数。这样，由式（7-27）给出的目标函数）给出的目标函数F的极值问

24、题即归结为一的极值问题即归结为一个多元函数的极值问题，其必要条件是个多元函数的极值问题，其必要条件是由于由于uj不是空间坐标的函数，故上式可展成不是空间坐标的函数，故上式可展成第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法换句话说，最小二乘法的离散化计算模式可归结为以下的代数方程组：换句话说，最小二乘法的离散化计算模式可归结为以下的代数方程组：对照加权余量式（对照加权余量式（7-4），显然，这相当于对权函数采取如式（），显然，这相当于对权函数采取如式（7-26）给出的）给出的定义，因而此处矩量法的计算模式即与最小二乘法等价。定义，因而此处矩量法的计算模式即与最小二乘法等价。 在实际应用中，当然还可有其他

25、权函数选择的方法，例如在将场域剖在实际应用中，当然还可有其他权函数选择的方法，例如在将场域剖分成许多子域的条件下，若在相应子域内定义权函数为常数分成许多子域的条件下，若在相应子域内定义权函数为常数1，就可构成子，就可构成子域匹配法等等。域匹配法等等。 综上所述，在矩量法中，不仅待求函数可用不同的基函数展开，而且相综上所述，在矩量法中，不仅待求函数可用不同的基函数展开，而且相应的权函数也可有不同的选择。很明显，基函数和权函数的不同配合对待求应的权函数也可有不同的选择。很明显，基函数和权函数的不同配合对待求物理场问题所需的计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不物理场问题所需的计算工作量

26、，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不同的影响。就算子方程为积分方程而言，虽然分域基的数值稳定性较高，而同的影响。就算子方程为积分方程而言，虽然分域基的数值稳定性较高，而且计算工作量也较少，但其光滑性较差，对某些积分方程并不适用。例如，且计算工作量也较少，但其光滑性较差，对某些积分方程并不适用。例如，若在积分方程中存在有对待求函数的微分运算，则显然不能选用脉冲函数作若在积分方程中存在有对待求函数的微分运算，则显然不能选用脉冲函数作为基函数，但在描述静电场问题的积分方程中，却没有微分运算，因而对基为基函数，但在描述静电场问题的积分方程中，却没有微分运算，因而对基函数的选择就没有这一限制。函数的

27、选择就没有这一限制。 对于静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函数为基函数，对于静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函数为基函数，计算过程比较简单；此外，在权函数选择的多种方案中，又以点匹配法最为简计算过程比较简单；此外，在权函数选择的多种方案中，又以点匹配法最为简捷，故由此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到了有效的应用。捷，故由此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到了有效的应用。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.3 点匹配法与典型算例点匹配法与典型算例 本节讨论应用于静电场（均匀介质）问题中的矩量法。如前所述，本方法本节讨论应用于静电场（均匀介质）问题中的矩量法。如前

28、所述，本方法采用点匹配的计算模式，并分别选用全域基和分域基（脉冲函数）展开阐述。采用点匹配的计算模式，并分别选用全域基和分域基（脉冲函数）展开阐述。例例7-1 一维静电场分布。一维静电场分布。 设一平行板电容器如图设一平行板电容器如图7-3所示，两极板接地，板间体电荷密度所示，两极板接地，板间体电荷密度=0（1+2x），板间距为一个单位长度。若忽略其边缘效应，试求此理想化），板间距为一个单位长度。若忽略其边缘效应，试求此理想化的一维静电场问题的场分布。的一维静电场问题的场分布。解解 设以电位函数设以电位函数为待求量，据题意，为待求量，据题意，本例的数学模型为本例的数学模型为 第第 7 7 章章

29、 矩矩 量量 法法显然，这是一个简单的边值问题，其解析解为显然，这是一个简单的边值问题，其解析解为 现应用矩量法讨论此边值问题的解答。为了求得幂级数形式的解，这现应用矩量法讨论此边值问题的解答。为了求得幂级数形式的解，这里选用的全域基为里选用的全域基为 显然，由上式给出的基函数集合满足给定的边界条件，按式（显然，由上式给出的基函数集合满足给定的边界条件，按式（7-2），），待求函数的近似解待求函数的近似解为得到点匹配解，在区间为得到点匹配解，在区间0 x1中，设定等间距的匹配点，它们的坐标为中，设定等间距的匹配点，它们的坐标为 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法这样，在给定权函数为狄拉克这样

30、，在给定权函数为狄拉克函数，即函数，即的情况下，按式（的情况下，按式（7-22）和式（）和式（7-23）即可分别算得点匹配计算模式（）即可分别算得点匹配计算模式（7-8）中）中相应的矩阵元素为相应的矩阵元素为 和和 为了考察解答的收敛性，现研究当为了考察解答的收敛性，现研究当n增加时的逐次逼近程度。首先，取增加时的逐次逼近程度。首先，取一级近似一级近似n=1，此时，此时，l11=-2，g=-2，由式（，由式（7-8），得），得1=1，按式（，按式（7-34）可）可知电位函数的一级近似解为知电位函数的一级近似解为 ；当；当n=2时，点匹配方程是时，点匹配方程是第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法

31、由上式可求得由上式可求得1=1/2，2=1/3。同样，按式（。同样，按式（7-34）可得二级近似解为）可得二级近似解为 ，其结果全同于，其结果全同于解析解式（解析解式（7-32）。当）。当n=3时，可再次得到解析解，对于时，可再次得到解析解，对于n3也是如此。也是如此。由此表明，对于本问题由由此表明，对于本问题由Ni的有限项（的有限项（i=2）组合就能精确地表示其解答。）组合就能精确地表示其解答。 对于一般性的积分方程型边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉冲对于一般性的积分方程型边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉冲函数，此时，以静电场问题为求解对象，由其积分方程型的数学模型函数，此时，以

32、静电场问题为求解对象，由其积分方程型的数学模型可归纳方法的具体步骤如下：可归纳方法的具体步骤如下： 1）离散化带电体的表面，设剖分为）离散化带电体的表面，设剖分为n个子块个子块 ，且令每一子块中的电荷密度且令每一子块中的电荷密度i分别为相应的常量。这样，导体表面待求的电分别为相应的常量。这样，导体表面待求的电荷密度函数荷密度函数（r）可基于脉冲函数）可基于脉冲函数i（r）近似表达为）近似表达为 2）在给定边界条件）在给定边界条件（rb）的导体表面上设定）的导体表面上设定n个匹配点个匹配点Mj（j=1，2，n）；）；第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 3）计算带电体表面上各子块对应的元电荷）计

33、算带电体表面上各子块对应的元电荷 在各匹配点在各匹配点Mj上产生的上产生的电位，并分别叠加，从而，由各匹配点电位，并分别叠加，从而，由各匹配点Mj上的电位必须等于给定电位值上的电位必须等于给定电位值（rb），即建立对应于式（），即建立对应于式（7-40）的离散积分方程；）的离散积分方程； 4）按点匹配法计算模式建立方程（）按点匹配法计算模式建立方程（7-8），由相应的代数解法，解之即得），由相应的代数解法，解之即得待定系数待定系数i； 5）由求出的）由求出的i，按式（，按式（7-41），即得待求电荷密度），即得待求电荷密度（r）的数值解，并）的数值解，并可继续由式（可继续由式（7-40），在已

34、知场源分布的前提下，求得场中任意点的电位，），在已知场源分布的前提下，求得场中任意点的电位，乃至场强、电容参数等。乃至场强、电容参数等。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法例例7-2 带电导体棒的电场分布。带电导体棒的电场分布。 设一半径为设一半径为a，长度为，长度为L的细长带电导体棒如图的细长带电导体棒如图7-4所示，其上给定电位所示，其上给定电位0，求此带电导体棒的电场。求此带电导体棒的电场。解解 本问题具有轴对称特征，且进一步根据带电导体棒本问题具有轴对称特征，且进一步根据带电导体棒La的几何特征，的几何特征，当可合理地把待求的导体表面上电荷密度当可合理地把待求的导体表面上电荷密度（r）

35、的分布，等价地看作寻求沿导）的分布，等价地看作寻求沿导体轴线线电荷密度体轴线线电荷密度（z）的分布。这样，本问题积分方程型的数学模型是）的分布。这样，本问题积分方程型的数学模型是 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法沿沿z轴等间距分割导体为轴等间距分割导体为n段，得各离散场源点的坐标为段，得各离散场源点的坐标为 于是，该导体棒待求的线电荷密度于是，该导体棒待求的线电荷密度（z）的近似表达式为）的近似表达式为 对应于各离散场源点的同一对应于各离散场源点的同一 坐标，在导体棒表面上选定各相应的匹坐标，在导体棒表面上选定各相应的匹配点配点Mj（j=1，2，n）。这样，便可建立对应于式（）。这样，便可

36、建立对应于式（7-42）的离散积分）的离散积分方程为方程为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法按点匹配法计算模式，根据矩量法方程（按点匹配法计算模式，根据矩量法方程（7-8），基于上式即得），基于上式即得 记作矩阵表达形式记作矩阵表达形式式中，电位系数矩阵的元素由式（式中，电位系数矩阵的元素由式（7-24）可写为）可写为当当ji 时，容易看出时，容易看出当当j=i时，为保证较高的计算精度，应从比较精致的计算模型着手分析。为此，时，为保证较高的计算精度，应从比较精致的计算模型着手分析。为此，取出第取出第i个单元的分割段个单元的分割段l，如图，如图7-5所示。这样，问题转化为呈圆柱形面分布所示。这

37、样，问题转化为呈圆柱形面分布电荷电荷i对该单元段中心对该单元段中心 处产生的电位问题。设单元段的表面积为处产生的电位问题。设单元段的表面积为S，则对应场源的等价关系是：则对应场源的等价关系是：iS=il，由此可知，由此可知，i=2ai。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 由图由图7-5所示的坐标系和几何关系，不难导得，该单元段的面电荷所示的坐标系和几何关系，不难导得，该单元段的面电荷i与中心与中心Mj处的电位处的电位i，两者间应满足以下关系式：，两者间应满足以下关系式：因题设因题设La，且，且l2a，故近似有，故近似有l/（2a）1。于是，上式可近似。于是，上式可近似表达为表达为所以，可得所

38、以，可得显然，由式（显然，由式（7-23），右端列向量元素为），右端列向量元素为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法由此可展开方程（由此可展开方程（7-47）得）得解之即可求得待定系数解之即可求得待定系数，然后代，然后代入式（入式（7-44），便可得出沿导体棒的），便可得出沿导体棒的线电荷密度的近似分布线电荷密度的近似分布 。本。本问题计算程序的编写比较简单，代数问题计算程序的编写比较简单，代数方程组求解的子程序也已列于第方程组求解的子程序也已列于第2章，章，故在此不再展开。图故在此不再展开。图7-6示出当设定具示出当设定具体参数为体参数为a=10-3m，L=1m，0=1（相（相对值），以及分

39、割段数对值），以及分割段数n=20时，时， 的分布图形。的分布图形。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 在已知在已知的基础上，基于第三章所述的数值积分法，就可以算出任意的基础上，基于第三章所述的数值积分法，就可以算出任意场点场点P（，z）处的电位和场强为）处的电位和场强为和和 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法例例7-3 矩形带电导板的电场分布。矩形带电导板的电场分布。 设一矩形带电导板（长设一矩形带电导板（长边为边为2a，宽为，宽为2b）如图）如图7-7所所示，其厚度忽略不计。现给定示，其厚度忽略不计。现给定导板电位为导板电位为0，求空间电场分，求空间电场分布。布。 解解 建立如图建立如

40、图7-7所示的坐标系统。为求空间电场分布，应用点匹所示的坐标系统。为求空间电场分布，应用点匹配法，首先离散化导板为配法，首先离散化导板为n个子块个子块Si=2c2d（i=1，2，n），且令），且令每个子块上的面电荷密度为每个子块上的面电荷密度为i，则导板表面的待求电荷密度函数，则导板表面的待求电荷密度函数按式按式（7-41）可表示成）可表示成在二维情况下，上式中在二维情况下，上式中第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法对应于式（对应于式（7-40），现与定解条件相联系的积分方程为），现与定解条件相联系的积分方程为式中，（式中，（x，y）是导板上任一点的坐标。）是导板上任一点的坐标。 取各子块面积

41、的中心为匹配点（即狄拉克取各子块面积的中心为匹配点（即狄拉克函数的定义点），则按点匹函数的定义点），则按点匹配法计算模式，便得配法计算模式，便得 即即亦即亦即第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法式中，系数矩阵式中，系数矩阵 P P 的元素为的元素为 它表征了子块它表征了子块Si上的电荷对匹配点上的电荷对匹配点 上电位的贡献。当上电位的贡献。当ji时，时，为了计算方便又不致于引起很大的误差，可以假设子块上的电荷效应集中体为了计算方便又不致于引起很大的误差，可以假设子块上的电荷效应集中体现于该面积现于该面积Si的中点，因此有的中点，因此有 当当j=i 时，应另作处理，否则上述公式的计算将出现奇点。

42、这时，计算模型中时，应另作处理，否则上述公式的计算将出现奇点。这时，计算模型中子块上的电荷必须按面电荷分布处置，并采用子块上的电荷必须按面电荷分布处置，并采用“等效面积等效面积”处理方法，即用处理方法，即用一面积与子块面积相等的半径为一面积与子块面积相等的半径为R的小圆盘取代该矩形子块。这样，设圆盘上的小圆盘取代该矩形子块。这样，设圆盘上分布有面密度为分布有面密度为i的电荷，它在圆盘中心处产生的电位应为的电荷，它在圆盘中心处产生的电位应为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法由此可得由此可得而同样由式（而同样由式（7-23），右端列向量元素），右端列向量元素gj即是式（即是式（7-52）。类同于

43、式）。类同于式（7-53），本问题的系数矩阵），本问题的系数矩阵P亦是对称的满矩阵，宜用列主元或亦是对称的满矩阵，宜用列主元或全主元消去法解之。往后求场中任意点的电位或场强的方法和过程同全主元消去法解之。往后求场中任意点的电位或场强的方法和过程同于前例。于前例。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.4 伽辽金有限元法伽辽金有限元法 现按伽辽金准则来建立电磁场有限元方程，以论证基于加权余量法的伽现按伽辽金准则来建立电磁场有限元方程，以论证基于加权余量法的伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。设给定二维非线性泊松场问题，其数学模型表

44、述为设给定二维非线性泊松场问题，其数学模型表述为当场域当场域D剖分为剖分为e0个单元后，将待求函数的插值函数个单元后，将待求函数的插值函数 代入泛定方程（代入泛定方程（7-64a），则由），则由7.2节讨论可知，在剖分单元节讨论可知，在剖分单元e上对应于伽辽金上对应于伽辽金准则的加权余量式（准则的加权余量式（7-4），应表示为），应表示为第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法在单元在单元e的定义域的定义域De内，内，e可看作常量，因此由于可看作常量，因此由于故式（故式（7-65）可以改写成）可以改写成 根据格林公式根据格林公式第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法令式（令式（7-66）左边第一项积分中）左边第一项积分中 ，即得，即得将上式回代至式（将上式回代至式（7-66），便有），便有第第 7 7 章章 矩矩