第10章动量定理

1、动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对对质点系质点系动力学问题：理论上讲，动力学问题：理论上讲，n个质点列出个质点列出3n个微分方程，个微分方程， 联立求解即可。联立求解即可。 1、联立求解微分方程、联立求解微分方程(尤其是积分问题尤其是积分问题)非常困难。非常困难。实际上存在两个问题：实际上存在两个问题：2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动动,仅需要研究质点系整体的运动情况。仅需要研究质点系整体的运动情况。 从本章起从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方将要讲述解答动力学问题的其它方法法, 而首先要讨论的是而首先要讨论的是动力学普遍定理：

2、动力学普遍定理：质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理动量的改变与力的冲动量的改变与力的冲量之间的关系。量之间的关系。动量定理动量定理动量矩定理动量矩定理动能定理。动能定理。本章中研究内容：本章中研究内容：质点系动量定理的另一形式质点系动量定理的另一形式质心运动定理。质心运动定理。 101 动量与冲量动量与冲量 102 动量定理动量定理 103 质心运动定理质心运动定理 第十章第十章 动量定理动量定理10-1 10-1 动量与冲量动量与冲量1.1.质点的动量：质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。称为质点的动量。 动量是度量物体机械运动强弱的一个

3、物理量。动量是度量物体机械运动强弱的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。船：速度小，质量大。 一、动量一、动量注注：动量是瞬时矢量，方向与：动量是瞬时矢量，方向与v 相同。单位相同。单位:kg:kg m/sm/s。2.2.质点系的动量：质点系的动量：iivmP vv CiiMm即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于即：质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。质点系的动量。CiivMvmPMrmriiC质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系中所有各质点的动量的矢量和。由由两边求导两边求导求刚体的动量求刚体的动量ccv0cvcLcvcC

4、vMP 2LMPcMvP 0cMvP 对于 刚体系统的动量也同样成立。刚体系统的动量也同样成立。CCzzCCyyCCxxzMMvPyMMvPxMMvP向三个坐标轴投影向三个坐标轴投影注注： 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。效应的度量。二冲量二冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。tFI)(12ttFI1力是常矢量力是常矢量：F变力的

5、冲量变力的冲量：21ttdtFIdtFId2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量：在dt时间间隔内力F的冲量 3合力的冲量：合力的冲量： ittittttiRIdtFdtFdtFI212121冲量的单位冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位同等于各分力冲量的矢量和等于各分力冲量的矢量和212121 , ,ttttttzzyyxxdtFIdtFIdtFI10-2动量定理动量定理一质点的动量定理 Fdtvdmam质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量定理质点的动量定理Fvmdtd)(

6、 当质量不变时当质量不变时（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）间内的冲量）IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112微分形式：微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）积分形式积分形式：投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFImvmv2112ttyyyydtFImvmv2112ttzzzzdtFImvmv则常量，质点沿则常量，质点沿 x 轴的运动是惯轴的运动是惯性运动性运动xmv二、质点的动量守恒二、质点的动量守恒0F若若0 xF若若vm则常矢量，质点作惯性运动则常

7、矢量，质点作惯性运动一、质点系的动量定理一、质点系的动量定理对质点系内任一质点对质点系内任一质点 i，)()()(eiiiiiFFvmdtd对整个质点系：对整个质点系： )()()(eiiiiiFFvmdtd)(eiFdtPd质点系的动量定理质点系的动量定理10-3质点系的动量定理质点系的动量定理质点系动量对时间的导数等于作用在质质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。点系上所有外力的矢量和。 )0( iiF质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。元冲量的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作在某一时间间

8、隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。量的矢量和。2.2.积分形式积分形式)(12eiIPPeIdtF 1.1.微分形式微分形式eiPi)()(dd3.3.投影形式：投影形式：)(eixxFdtdP)(eiyyFdtdP)(eizzFdtdP21)()(12tteixexxdtFIixPP21)()(12tteiyeyydtFIiyPP21)()(12tteizezzdtFIizPP 锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生变形，历 时=0.01s， 求锤对锻件的平均压力.H研究锤，分

9、析受力:QFN * 锤由高 H 处自由落下所需时间:gH2t y建投影轴，列动量定理:y1y2yImvmv,)(,Ny21FtQI ,0vt0v)(而时间经过kNtQF9 .16) 1( N质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出后铅垂下降，待降落100m时将伞张开，从这时起经过时间t=3s后降落速度变为5m/s。求降落伞绳子拉力的合力（平均值）。以人为研究对象.视为质点.人从飞机上跳下至伞张开:ghv211008 . 92sm3 .44伞张开至降落速度达到v2=5m/sxtFmgvvmT12?NFT1718则常量。ixixvmP二、质点系的动量守恒二、质点系的动量守恒, 0)(eiF若, 0

10、)(eixF若iivmP则常矢量。恒矢量0PPnieiIPP1)(001)(nieiI只有外力才能改变质点系只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的引起系统内各质点动量的传递。传递。 特别注意：特别注意：机车的质量为m1，车辆的质量为m2，它们是通过相互撞击而挂钩。若挂钩前，机车的速度为v1，车辆处于静止，如图所示。求（1）挂钩后的共同速度u；（2）在挂钩过程中相互作用的冲量和平均撞击力。设挂钩时间为t秒，轨道是光滑和水平的。以机车和车辆为研究对象系统的动量在水平方向是守恒的ummvm21112111m

11、mvmu以机车为研究对象Ivmum1112121vmmmmItIF tvmmmm12121例例2 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体。求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。 解解：选选两物体组成的系统为研究对象研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exFxK水平方向常量。ravvvv设大三角块速度rv小三角块相对大三角块速度为 则小三角块运动分析运动分析， 0)(axmvvM由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx mmMSSmmMvvrxrx 例例3 流体流过弯管时，

12、流体流过弯管时， 在截面在截面A和和B处的平均流速分别为处的平均流速分别为 设流体不可压缩，流量设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，为常量， 密度为密度为 (kg/m3）。）。),m/s(,21vv求流体对弯管产生的动压力求流体对弯管产生的动压力(附加动压力附加动压力)。运动分析，设经过运动分析，设经过 时间时间后，流体后，流体AB运动到位置运动到位置ab，)()(12aBAaBbaBABabPPPPPPP1212 )()(vtQvtQPPPPPAaBbaBaB解：解： 取截面取截面A与与B之间的流体作为研究的质点系。之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。受力分析如图示。静反力静反

13、力)(21PPWR)( 12vvQR)()(1221vvQPPWR即即由质点系动量定理；得由质点系动量定理；得RPPWvvQtPdtPdt21120)( lim动反力动反力计算计算 时，常采用投影形式时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力到的流体作用的动压力 R10-4质心运动定理质心运动定理将将 代入到质点系动量定理，得代入到质点系动量定理，得CvMP )()(eiCFvMdtd若质点系质量不变，若质点系质量不变，或)(eiCFrM 叙述为：叙述为：质点系的质量与加速度的乘积，等于作用质点系的质

14、量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。)(eiCFaM则称为质心运动定理（或质心运动微分方程）称为质心运动定理（或质心运动微分方程）投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式质心运动定理是动量定理的另一种表现形式, 与质点运动微分方程形式相似。与质点运动微分方程形式相似。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心

15、的运动, 内力不内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。点的运动。说明：说明：若，则若，则 常矢量，质心作匀速常矢量，质心作匀速直线运动；直线运动； 0)(eiFCCvoa , 若开始时系统静止，即若开始时系统静止，即 则常矢量则常矢量,质质心位置守恒。心位置守恒。00CvCr若则若则 常量，质心沿常量，质心沿x方向方向速度不变；速度不变；,)( 0eixFCxCxva , 0若存在若存在 则则 常量，质心在常量，质心在x 轴的位置轴的位置坐标保持不变。坐标保持不变。00CxvCx 4. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律 两人若在地面上拔河，

16、力气大者必胜。若质量分别为mA,mB的宇航员A和B在太空中拔河，开始时两人在太空中保持静止，然后分别抓住绳子的两端使尽全力相互对拉。若A的力气大于B的力气，拔河赛的胜利属于谁？动量定理在跳高中的应用:动量定理在跳高中的应用:跨越式：一腿向前伸出先过杆，另一腿再过。翻滚式：身体绕纵轴翻滚，水平过杆。背越式：身体弯曲，背部过杆。0VC质心为抛物线0VC横杆高度0VCC横杆高度跨越式：1.8m0.3m=1.5m翻滚式：1.8m0.1m=1.7m背越式：1.8m0.1m=1.9m30cm0VCC横杆高度10cm10cm已知作用于质点系的外力，求质心已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。的运动规律。

17、 5 5质心运动定理可求解两类动力学问题：质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动已知质点系质心的运动, 求作用于求作用于质点系的外力质点系的外力(包括约束反力包括约束反力)。12121mmbmamxC12122)()(mmsbmslamxC122mmlms21CCxx例例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转转子质量为子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差但由于制造误差, 转子的质心转子的质心O2到到O1的距离为的距离为e 。求转子以角速度求转子以角速度 作匀速转作匀速转动

18、时，基础作用在电动机底动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。座上的约束反力。运动分析：定子质心加速度运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心，转子质心O2的加速度的加速度a2=e 2，方向指向，方向指向O1。解解:取整个电动机作为质点系。取整个电动机作为质点系。分析受力，分析受力， 受力图如图示。受力图如图示。teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)( ,)(eiyCiyiFamtemgmgmNtemNyxsin ,cos222122可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。函数。gmgmNtemamyy212222 sin 例例5 浮动起重船浮动起重船, 船的重量为船的重量为P1=200kN, 起重杆的重起重杆的重量为量为