正弦定理余弦定理应用举例(距离)(高度)(角度)

1、1.2 正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理 应用举例应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量测量:距离问题、距离问题、高度问题、高度问题、角度问题、角度问题、计算面积问题、计算面积问题、航海问题、航海问题、物理问题等物理问题等.要测量不可到达的两点间的距离要测量不可到达的两点间的距离,可用可用哪些方法哪些方法?如图如图:设设A、B两点在河的两岸，怎样测两点在河的两岸，怎样测量两点之间的距离量两点之间的距离?AB方案一方案一:构造直角三角形构造直角三角形AB在河岸的一侧取一点C,使得ACBCC若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出此方案有缺

2、陷吗此方案有缺陷吗? 如图如图,设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸.需要测量需要测量A,B两点间的距离两点间的距离,测量者在测量者在A的同侧河岸边选定一点的同侧河岸边选定一点C.测出测出AC=55米米,求求A,B两点间的距离两点间的距离.75ACBBCA BAC=45,题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题如图，如图，A、B两点都在河的对岸（不可到两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量达），设计一种测量A、B两点间距离的两点间距离的方法。方法。.AB.DC基基线线 要测量对岸要测量对岸A、B两点之间的距离，选取两点之间的距离，选取 相距相距 k

3、m的的C、D两点两点,并测得并测得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求求 A、B之间的距离之间的距离. 分析题意，作出草图，综合运用正、分析题意，作出草图，综合运用正、 余弦定理求余弦定理求解解.3【例例2 2】解解 如图所示在如图所示在ACD中，中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在在BCD中，中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得3sin 7562.sin 602BC 2226262( 3)()23cos 752232335,5(km).5km.ABABAB 、 之之间间的的距距离离为为

4、3练习练习1 海上有海上有A、B两个小岛相距两个小岛相距10海里，从海里，从A岛望岛望C岛和岛和B岛岛 成成60的视角，从的视角，从B岛望岛望C岛和岛和A岛成岛成75的视角，那么的视角，那么B岛和岛和C岛间的距离是岛间的距离是 。ACB10海里海里6075答：答：65海里海里解：应用正弦定理，解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 解：如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 我舰在敌岛我舰在敌岛A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里

5、的B处，处，发现敌舰正由岛沿北偏西发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小时的小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB405010 我舰的追击速度为我舰的追击速度为14n mile/h28 BC 【例例3 3】又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得： sinsinACBCBAsin5 3 sin14ACABBC故0.6186B 38013故我舰行的方向为北偏东故我舰行的方向为北偏东11047A 我舰在敌岛我舰在敌岛A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B处，发现敌舰正处，

6、发现敌舰正由岛沿北偏西由岛沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小时的速度航行问我舰需小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB405010 求距离问题要注意：求距离问题要注意：（1 1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解解. .（2 2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可）确定用正弦定理还是余弦定理

7、，如果都可用，就选择更便于计算的定理用，就选择更便于计算的定理. .(3)(3)阅读课本第阅读课本第1111页和第页和第1212页的例页的例1,1,例例2 2的的距离测量方法距离测量方法. . AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一个建筑物，A为为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能直角三角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的距离的

8、距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰角，就可以计算的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出法借助解三角形的知识测出CA的长的长。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,使使H,G,B三点在同一条直线上。由三点在同一条直线上。由在在H,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的的仰角分别是仰角分别是，CD=a,测角仪测角仪器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根据正弦定理可得根据正弦定理可得例例1、AB是底部是底部B不可到达的一个建筑物，不可到达的一

9、个建筑物，A为建筑为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法的方法 题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题练习练习1 如图，要测底部不能到达的烟囱的高如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底，从与烟囱底部在同一水平直线上的部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和 45 60，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器已知测角仪器高高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？AA1BCDC1D1分析：分析：如图

10、，因为如图，因为AB=AA1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在6621836182211BCBA)(365 .1911mAABAAB）（答：烟囱的高为答：烟囱的高为.)(365 .19m）（例例2.在在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是俯角分别是30，60,则塔高为多少米则塔高为多少米 解析解析 作出示意图如图，作出示意图如图， 由已知：在

11、由已知：在RtOAC中，中，OA=200，OAC=30，则，则OC=OAtanOAC =200tan 30= 在在RtABD中，中，AD= ，BAD=30， 则则BD=ADtanBAD=200 3.3200 33200 33 200tan 30,3 200400200.33BCCDBD 练习练习2 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地处测得地面上一点面上一点A的俯角的俯角75，在塔，在塔底底C处测得处测得A处的俯角处的俯角45。已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为30m，求，求出山高出山高CD.分析：根据已知条件，应该设分析：根据已知条件，应该设法计算出法计算出AB或或AC的长的长解：在解：

12、在ABC中，中，BCA=90+=1350, ABC=90-=150, BAC=-=300, BAD=750.根据正弦定理，根据正弦定理，ACBABBACBCsinsin23030sin135sin30sinsin00BACACBBCAB所以，15 15 33015 315(km)CDBDBC) 13(1542623075sin230sin0BADABBD练习练习3 如图所示，测量河对岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C与与D，现测得，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并，并 在点在点C测得塔顶测得塔顶

13、A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高AB. 解解 在在BCD中，中，CBD= ,sinsinsinsinsinsin()tansinRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB 由由正正弦弦定定理理得得所所以以在在中中 解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形, 逐步求解问题的答案；逐

14、步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.它等于地球椭圆子午线上纬度1分（一度等于六十分，一圆周为360度）所对应的弧长。 1海里=1.852公里(千米) (中国标准) n mile：海里，航海上度量距离的单位。 没有统一符号例例1 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为渔轮在方位角为，距离为，距离为10n mile的的处，并测得渔轮正沿方位角为处，并测得渔轮正沿方位角为

15、105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以立即以n mile/h的速度前去营救求舰艇的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1 ,时间精确到时间精确到min）北北北北BC105方位角：方位角：指从正北方向指从正北方向顺时针旋转到目标方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角的水平角题型三题型三 与角度有关的问题与角度有关的问题北北北北BC105解：设舰艇收到信号后解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则在处靠拢渔轮，则21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=

16、120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化简得：化简得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）负值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角为，方位角为45 +21.8 =66.8 答：舰艇应沿着方位角答：舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行，的方向航行，经过经过min就可靠近渔轮就可靠近渔轮练习：海中有岛练习：海中有岛A，已知，已知A岛周围岛周围8海里内有暗礁，今有一货海里内有

17、暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见轮由西向东航行，望见A岛在北偏东岛在北偏东75，航行，航行20 海里后，海里后，见此岛在北偏东见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，问有无，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。触礁危险。2ABCM北北北北220解：解：在在ABC中中ACB=120ABC=15由正弦定理得：由正弦定理得：sin15sin 45ACBC由由BC=20 ,可求可求AC 得得AM= 8.978265215 无触礁危险无触礁危险ABCM北北北北22075 30 例例2.在海岸在海岸A处处,发现北偏东发现北偏东45方向方向,距离距离A n mile的的B处有一艘走私船，在处有

18、一艘走私船，在A处北偏西处北偏西75的的 方向方向,距离距离A 2 n mile的的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，走私船正以此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析分析 如图所示，注意到最快追上走如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABC中求出中求出BC， 再在再在BCD中求中求BCD.31 3则有则有CD=

19、10 t，BD=10t.在在ABC中，中，AB= -1，AC=2，BAC=120, 由余弦定理，由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6,BC= ， 即即CBD=90+30=120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船北偏东即缉私船北偏东60方向能最快追上走方向能最快追上走私船私船. 3336sin10 sin1201sin,210 3BDCBDtBCDCDt 3解解:设缉私船用设缉私船用t h在在D处追上走私船，处追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC 由由正正弦弦定定

20、理理，如图如图.当甲船位于当甲船位于A处时获悉处时获悉,在其正东方向相距在其正东方向相距20海海里的里的 B处有一艘渔船遇险等待营救处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即甲船立即 前往救前往救援援.同时把消息告知在甲船的南偏西同时把消息告知在甲船的南偏西.相距相距10海里海里C处的乙船处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往前往B处营救处营救(角度精确到角度精确到1).30ABC071练习2 如图如图:甲船以每小时甲船以每小时 海里的速度向正海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行. 当甲船位于当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的方向的 处，此时两船相距处，此时两船相距20海里海里. 当当甲船航行甲船航行20分钟到