-二重积分在极坐标下的计算法及应用

1、1内容回顾内容回顾1 1、直角坐标系下二重积分的计算、直角坐标系下二重积分的计算转化成二次积分转化成二次积分( , )()dd,dDDf x yfyx yx21( )( )=d( , )dXbyxayxxf x yy型21( )( )=d( , )dYdxycxyyf x yx型1选择积分次序的原则：选择积分次序的原则： (1)积分容易；积分容易； (2)尽量尽量少分块少分块或不分或不分块块. . 划线定限划线定限 2 但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分内容回顾内容回顾次序次序, ,否则将导致无法计算否则将导致无法计算. .若不小心选错了积

2、分次序，若不小心选错了积分次序，则需交换积分次序则需交换积分次序. .交换积分次序的一般步骤：交换积分次序的一般步骤： 1 1、依据积分限作出积分区域、依据积分限作出积分区域D 的图形的图形. .2 2、将二次积分转化为二重积分、将二次积分转化为二重积分. .3 3、重新选择积分次序、重新选择积分次序, ,将二重积分转化为二次积分将二重积分转化为二次积分并计算并计算. .3第三节第三节 极坐标系下二重积分的计算法极坐标系下二重积分的计算法回顾极坐标的相关知识回顾极坐标的相关知识xOPr xy1 1、直角坐标与极坐标的关系：、直角坐标与极坐标的关系： cosxrsinyr22rxy)0( arc

3、tan xxy 42 2、常见曲线的极坐标方程：、常见曲线的极坐标方程： 1 1、圆、圆222xyara2 2、圆、圆222xyax2 cos(,)2 2ra 3 3、圆、圆222xyay2 sin(0, )ra xyoxyoxyo52 2、常见曲线的极坐标方程：、常见曲线的极坐标方程： 5 5、阿基米德螺线、阿基米德螺线raxya 2O6 6、双纽线、双纽线22cos2raxya4 4 4 4、心形线、心形线(1 cos )raxy a6所以面积元素为所以面积元素为在极坐标系下在极坐标系下, ,可用同心圆可用同心圆r = =常数常数及射线及射线 = =常数常数来来划分区域划分区域D. .则小

4、区域的面积为则小区域的面积为xyokkkkrrk212kkkkkrrr kkkkrr221)(kkr221一、极坐标系下二重积分的表示一、极坐标系下二重积分的表示kkkrrkrkrkkkr dddrr ( , )d( cos , sin )d dDDf x yf rrr rcossinxryr又7)(1ro)(2r（极点在区域（极点在区域D的外部）的外部）D则则( cos , sin ) d dDf rrr r二、极坐标系下二重积分的计算公式二、极坐标系下二重积分的计算公式（1）区域）区域D特征如图特征如图:,D12( )( )r 21( )( )d( cos , sin )df rrr r

5、8AoD)(r( cos , sin ) d dDf rrr r（极点在区域（极点在区域D的边界）的边界）二、极坐标系下二重积分的计算公式二、极坐标系下二重积分的计算公式（2）区域）区域D特征如图特征如图:,D0( )r ( )0d( cos , sin )df rrr r 则则9DoA)(r( cos , sin ) d dDf rrr r（极点在区域（极点在区域D的内部）的内部）二、极坐标系下二重积分的计算公式二、极坐标系下二重积分的计算公式（3）区域）区域D特征如图特征如图: 02,D0( )r 则则( )020d( cos , sin )df rrr r10在下述两种情况下在下述两种情

6、况下, ,往往利用极坐标来计算二重积分：往往利用极坐标来计算二重积分： 1)1)当积分区域当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时为圆域、环域或扇形域等时, ,D的边界的边界2)2)被积函数具有被积函数具有 等形式时等形式时, ,用极坐标积分用极坐标积分)(22yxf axyoxyo21用极坐标表示较为简单；用极坐标表示较为简单； 较为容易较为容易. .11a计算计算yxDyxdde22 ，其中，其中 D 是由中心在原点，是由中心在原点，半径为半径为 a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. 解解2dedrr r2012(e)2ar 例例1 1用极坐标计算用极坐标计算, ,2(1 e).ax

7、yoyxDyxdde22 ra2ed drDr r020a2200dedarr r22012ed()2arr 12222222ed d(1 e).xyaxyax y利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有用的广义积分用的广义积分PossionPossion积分积分. .20ed.2xx本题若选用直角坐标系本题若选用直角坐标系, ,则则22()ed dxyDx y222222ededaaxxyaaxxy（无法计算）（无法计算）13222()ed dxyRx y22ededxyxy2204ed.xx222222ed d(1 e).xyaxyax

8、y20ed.2xx22(ed )xx24.I解解14作如下三个平面区域作如下三个平面区域| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD ( , )|,Sx yRxRRyR1D2DSS1D2DRR222+e0,xy（）且显然有显然有12,DSD从而从而22222212()()()ededed ,xyxyxyDSD由例由例1 1结果结果, ,得得2222()2(1 e)ed(1 e).RxyRS1522()edxyS又又2204ed,Rxx由夹逼准则由夹逼准则, ,220edRxx22(1 e)4R2(1 e)4R,R 令则2(1 e),44R22(1 e).44R220ed()

9、.4RxxR 22ededRRxyRRxy即即220ed.4xx20ed.2xIx从而从而2222()2(1 e)ed(1 e).RxyRS16其其中中积积分分区区域域为为41| ),(22 yxyxD. 解解 Dyxyxyxdd)sin(2222 2201dsindr r. 4 ,dd)sin(2222 Dyxyxyx 计算二重积分计算二重积分例例2 2区域区域D为环域为环域, 用极坐标计算用极坐标计算xyo21D2112(cos)r sin()d dDrr rr17解解xyR cosRr 用极坐标计算用极坐标计算, ,22d dDRrr r原式 cos222 0 2ddRRrr r原式3

10、32 2( sin1)d3R 33 32 02sind33RR 3332211(34).3339RRR 例例3 3 cos222220 21d()d()2RRrRr 223cos20 21() |d3RRr18解解xyR cosRr 用极坐标计算用极坐标计算, ,22d dDRrr r原式 cos222 0 2ddRRrr r3 32 2( sin1)d3R 3332211(34).3339RRR 例例3 3常见错误：常见错误：原式333 2 2(1si)d33nRR19xyo922 yx3例例4 4解解.d)6(d 290222230 xyyxyxxI计计算算直接做麻烦直接做麻烦, , 化为

11、极坐标化为极坐标, ,32200d(6)drrr r81(279)249.8 43230(3)|243rrr2 (6) d dDIrr r r20作业：作业：942P21内容回顾内容回顾极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算( , )d( cos , sind d)DDf x yf rrrr21( )( )d( cos , cos ) df rrr r 21选用极坐标计算的二重积分的特点：选用极坐标计算的二重积分的特点： (1) 积分区域积分区域D是圆域或环域等是圆域或环域等； (2)(2)被积函数具有被积函数具有 形式形式)(22yxf 2222d .(1cos )()DxyDra

12、ra计算其中是由心脏线和圆所围的图形 取圆外部 例例5 5解解 d22 Dyx 2233d1)cos1(31 a. )2922(3 a )cos1(22dd aarrrd dDr r r332202(cos3cos3cos )d3a3221(1 33 1)332 2a 第四节第四节 二重积分的几何应用二重积分的几何应用一、求平面图形的面积一、求平面图形的面积 例例1 1dD（）求由曲线求由曲线 和直线和直线 及及x 轴所轴所lnyx(e 1)yx围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. .解解xy(e 1)yxlnyxDdD( (用直角坐标用直角坐标) )1(e 1)0eddyyyxeyx

13、(e 1)xy(e,1)10(e+1e )dyyy3.224二、求曲顶柱体的体积二、求曲顶柱体的体积 求顶为求顶为224yxz , ,底为区域底为区域xyxD2:22 , , 0 x, ,0 y的曲顶柱体体积。的曲顶柱体体积。 例例2 2Oxyzxyoxyx222 2解解 DyxV d422 cos20220d4drrr 203d)cos1(38 .91634)322(38 ( (用极坐标用极坐标) )2cosr322cos22001(4) |d3r( , )d )DVf x y曲顶柱体25求由旋转抛物面求由旋转抛物面22yxz ，抛物柱面，抛物柱面yx ，平面平面0 z，0 x及及1 y所围

14、成的曲顶柱体的体积所围成的曲顶柱体的体积 例例2 2解解yx 11xyo平面投影区域为平面投影区域为 10,0| ),( yyxyxD所求立体体积为所求立体体积为 DyxV d)(22 yxyxy02210d)(d 102523d)31(yyy.10544 2626利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算设积分区域设积分区域D关于关于y 轴对称，轴对称，;0d),( Dyxf yx),(yxP )(xfy ox- -x),(yxP(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 x 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于 x 是偶函数，是偶函数，则

15、有则有其中其中 是是D的右半区域的右半区域. .1D,d),(2d),(1DD yxfyxf2727设积分区域设积分区域D关于关于x 轴对称，轴对称，(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 y 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于 y 是偶函数，是偶函数，,d),(2d),(1DD yxfyxf则有则有其中其中 是是D的上半区域的上半区域. .1Dyxo1D;0d),( Dyxf 注意注意：利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算不仅要考虑区域的对称性不仅要考虑区域的对称性, ,还要考虑函数的奇偶性还要考虑函数的奇偶性. .2828例例

16、3 3 设有平面区域设有平面区域,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD 则则 Dyxyxxy_dd)sincos(. . ( (A A) ) 1ddsincos2Dyxyx ( (B B) ) 1dd2Dyxxy ( (C C) ) 1dd)sincos(4Dyxyxxy ( (D D) ) 0 解解如如图图将将D分分为为4 4 部部分分4321,DDDD, ,则则: : Dyxyxxydd)sincos(oxy1D2D3D4D2929(A) (A) 1ddsincos2Dyxyx (B) (B) 1dd2Dyxxy (C) (C) 1dd)sincos(4Dyxyxxy (D) (D) 0 解解oxy1D2D3D4D如如图图将将D分分为为4 4 部部分分4321,DDDD, ,则则: : Dyxyxxydd)sincos( 2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy 4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy000,ddsincos21 Dyxyx选选( (A).A).30解解2sin2002d(4sin )drr r d)sin38sin8(24202 204202dsin316dsin16 2214331622116 利用对称性化简，利用对称性化简，.3 xyo2例例4 41y(4