第三章第六节边际与弹性

1、第六节第六节 边际与弹性边际与弹性案例研究案例研究案例案例1 哪家公司更精明哪家公司更精明：从杭州开往南京的长途车即将出发. 无论哪个公司的车，票价均为75元. 1个匆匆赶来的乘客见一家国营公司的车上尚有空位，要求以50元上车，被拒绝了. 他又找到一家也有空位的私人公司的车，售票员二话没说，收了50元允许他上车了. 哪家公司的行为更理性呢？分析分析 边际分析法边际分析法. “边际”“增加的”“边际量”“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际量. 例例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际产量. 边际分析法就是分析自变量变动1

2、单位时，因变量会变动多少的方法. 在本案例中，当我们考虑是否让这名乘客以50元的票价上车时，实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念. 边际成本是增加1名乘客(自变量)所增加的成本(因变量). 在我们这个例子中，增加这1名乘客，所需磨损的汽车、汽油费、工作人员工资和过路费等都无需增加，对汽车来说多拉1个人少拉1个人都一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客的食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就是10元. 边际收益是增加1名乘客(自变量)所增加的收益(因变量). 在这个例子中，增加这一名乘客增加收益50元， 边际收益就是50元. 因为边际收益大于边际成本，所以让这名乘客上车是合适

3、的. 案例案例2 哪种产品对价格更有弹性：哪种产品对价格更有弹性：在日常生活中，我们发现生活必需品和奢侈品对价格变化的灵敏度是不同的. 生活必需品因为是日常所需的，即使价格上升需求量也不会减少多少. 例如，你一顿吃1个馒头，过去2角钱你吃1个，后来3角钱你吃1个，现在4角钱你还是吃1个；相反，如果馒头从4角下降到2角，你也不会一顿从吃1个增加到吃两个. 看病也一样，当看病的医疗、检测、药品等价格上升时，尽管人们会比平时减少一些看病，但不会大幅度地减少看病的次数. 但水果则不同，不是必需品，便宜的时候可以多吃，随着季节的变化，价格上升了也可以适当少吃一点，因此水果是对价格的变化比较敏感的东西.

4、商品对价格的灵敏度叫做该商品的弹性. 因此，水果比馒头对价格更有弹性.抽象归纳抽象归纳边际分析边际分析问问：怎样用数学方法来描述边际呢？分析分析 设函数 ( )f x可导. 根据导数的定义，有 0( )lim.xyfxx 因此，当 |x很小时，有 ( ).yfxx于是()( )( ).yf xxf xfxx 特别地，当 1x 时，有 ( ) 1( ).yfxfx 这就是说，当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值. 定义定义 我们把函数 )(xfy 的导数 )(x f称为边际边际 函数函数. 例例 函数 ,xy3在点 2x处的边际函数值为,x yxx123222它表示当 2x时， x

5、 改变1个单位，y 改变12个单位 1边际成本边际成本总成本函数 )(xCC （x为产量）的导数 ),(xC称为产量为 x 单位时的边际成本边际成本 边际成本 )(xC表示当产量为x时，再生产1个单 位产品时总成本将改变 )(xC个单位 2边际需求边际需求需求函数 )(pQQ （p为价格）的导数 ),(pQ称 为价格为p单位时的边际需求边际需求 边际需求 )(pQ表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 )(pQ个单位 3边际收益边际收益总收益函数 )(xRR（x为产量）的导数 ),(x R称为产量为x单位时的边际收益边际收益 边际收益 )(x R表示当产量为x时，再生产1个单 位

6、产品，总收益将改变 )(x R个单位 4边际利润边际利润 总利润函数 )(xLL（x为产量）的导数 ),(x L称 为产量为x单位时的边际利润边际利润 边际利润 )(x L表示当产量为x时，再生产1个单位 产品，总利润将改变 )(x L单位 例例1 某公司某产品的总利润（元）与日产量x(吨) 的关系为 ,xxxL25250)(试求日产量分别为20吨、 25吨及30吨时的边际利润解解 因为 , xx L10250)(所以，所求边际利润为分别为 502010250)20( L（元吨），02510250)25( L（元吨），503010250)30( L（元吨）.例例2 设生产某种产品的总成本为 ,

7、 x.xC11300)(总收益为 ,x.xxR200305)(试求： （1）边际成本、边际收益和边际利润. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并 说明其经济意义. （3）当边际成本与边际收益具有何种关系时，利润 最大？ 解解 （1） ; 11)11300()(.x.xC;00605)00305()(2x.x.xx R. x.xCx Rx L006093)()()(（2） . L30600006093)600(. L30700006093)700(思考：思考：它们的经济意义是什么？（3）令 ( )0L x,650 x.得这时，有(650)(650)1.1.CR即当边际成本等于边际

8、收益时利润最大. 问问：本例说明了什么问题？结论结论 当边际收益大于边际成本时，应该 增加 行动； 当边际收益小于边际成本时，应该 减少 行动；当边际成 本 等于 边际收益时，利润达到最大. 即 最大化原则最大化原则. 函数的弹性函数的弹性问问：怎样用数学方法来描述弹性呢？分析分析 绝对变化率 ,xylimxfx0)( 问问：用绝对变化率能否描述商品对价格的灵敏度的？例例 商品 A 的单价为10元，涨价1元；商品 B 的 单价为1000元，也涨价1元. 虽然两种商品的单价的绝 对改变量相同，但是两种商品涨价的百分比相差很大. 商品A为 %,10101商品B为 %,.1010001A是B的100

9、倍. 因此，弹性必须用相对变化率来描述. 定义定义 设函数 )(xfy 可导，函数 )(xf在点 x 处的 增量为 ),()(xfxxfy自变量的增量为 , x则比 值 xxyy与分别称为在点 x 处函数 y 的相对改变量及自变量 x 的相对改变量. 0,x 当时两个相对改变量之 比的极限0lim( ).( )xyxyfxxf xx 表示在点 x 处函数 y 的相对变化率，称为函数 )(xfy 在点 x 处的弹性弹性，记作记作 ,ExEy即 )()(xfxfxExEyyyx弹性可解释为：弹性可解释为：当自变量变化1%时，函数变化的百 分数为 %.EyEx注意注意 弹性研究的是相对变化率因此，弹

10、性没有 单位 例例3 求函数 xey450的弹性 ExEy及 .ExEyx 3解解因为 , xeex yyxExEyxx42005044所以 .ExEyx1231 1成本弹性思考成本弹性思考设总成本函数为 )(xCC （x为产量），则成本弹 性为 .xCxCxExEC)()(它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总成本变化的百分数 2 2需求弹性需求弹性设需求函数为 )(pQQ （p为价格），则需求弹性 为 ( ).( )EQpQ pEpQ p它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 变化的百分数 =1， 则称该商品的需求具有单位弹性， 1，则称该商品的需求缺乏弹性.pp)(

11、pQQpp 1，则称该商品的需求富有弹性， p)(pQQ 若函数 为需求函数，则需求弹性为 若商品的需求弹性满足：3收益弹性思考收益弹性思考设总收益函数为 )(xRR （x为产量），则收益弹性 为 ).()(x RxRxExER它表示在产量为x的水平上，当产量增加1%时，总收益 R变化的百分数 例例4 某商品的需求函数为求 需求价格弹性函数， 当 =5时的需求价格弹性并说明其经济意义， 当 =10时的需求价格弹性并说明其经济意义， 当 =15时的需求价格弹性并说明其经济意义. 解解 按弹性定义：.210pQppp20)21(210PPPPQQpp312055)5()2(P 由于 1，所以当 时

12、，该商品的需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降 %. 由于 所以当 该商品具有单位弹性，此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%. 由于 所以当 该商品是富有弹性的，此时若价格下降1%，将导致需求量增加3%.31)5(p31,1201010)10(p,1)10(p,3201515)15(p,13)15(p5p时，10p时，15p小结小结: :1边际分析（1）边际的定义： )(x f（2）常用的边际函数边际成本： );(xC边际需求： );(pQ边际收益： );(x R边际利润： ).(x L2函数的弹性（1）弹性的定义： )()(xfxfxExEy（2）常用的弹性成本弹性： );()(xCxCxExEC需求弹性： ( );( )EQpQ pEpQ p收益弹性： ).()(x