人教A第二章学案1平面向量的实际背景及基本概念

1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三1.有向线段有向线段AB的长度，记作的长度，记作 .有向线段包含三个要有向线段包含三个要素：素： .知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定定. 2.向量可以用有向线段表示向量可以用有向线段表示.也可用字母表示，也可用字母表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如例如 ， . |AB|起点、方向、长度起点、方向、长度 返回返回 a,b,c，AB，CD，3.(1) 叫做平行向量，向叫做平行向量，向量量a与与b平行，通常记作平行，通常记

2、作 .我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有都有 .相等向量是相等向量是 ,向量向量a与与b相等相等,记作记作 .(2)任一组平行向量都可以移动到同一直线上任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因因此此 ，也叫做共线向量，也叫做共线向量.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量 ab 0a 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量平行向量平行向量 a=b返回返回 下列物理量：下列物理量：质量；质量；速度；速度；位移；位移；力；力；加速度；加速度；路程；路程；密度；密度；功功.其中不是向量的有（其中不是向量的有（ ）

3、A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个【分析【分析】由向量的概念直接作出判断由向量的概念直接作出判断.【答案【答案】D【解析【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向的两个要素：大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量度、功只有大小而没有方向，所以不是向量. 故应选故应选.【评析】向量与数量的区别在于是否具有方向，即向量既【评析】向量与数量的区别在于是

4、否具有方向，即向量既有大小又有方向，而数量只有大小有大小又有方向，而数量只有大小.向量与向量的关系一定向量与向量的关系一定要从大小和方向两方面考虑要从大小和方向两方面考虑.返回返回 学点一学点一 向量的概念向量的概念下列各组是不是向量？如果是向量，说明这些向量之下列各组是不是向量？如果是向量，说明这些向量之间有什么关系间有什么关系.（）两个三角形的面积（）两个三角形的面积S1，S2；（）桌面上两个物体各自受到的重力（）桌面上两个物体各自受到的重力G1,G2;（）小船驶向对岸的速度（）小船驶向对岸的速度v1与水流的速度与水流的速度v2;（）浮在水面上的物体受到的重力（）浮在水面上的物体受到的重力

5、G和水的浮力和水的浮力F.（）（）因为面积因为面积S1，S2只有大小只有大小,没有方向，所以不是向量没有方向，所以不是向量.（）（）是向量，方向相同，为共线向量是向量，方向相同，为共线向量.（）（）是向量，为不共线向量是向量，为不共线向量.（）（）是向量，方向相反，为共线向量是向量，方向相反，为共线向量.返回返回 学点二学点二 向量的表示向量的表示 一辆汽车从一辆汽车从A点出发向西行驶了点出发向西行驶了100km到达到达B点，然后又改变点，然后又改变方向向西偏北方向向西偏北50行驶了行驶了200km到达到达C点，最后又改变方向，点，最后又改变方向，向东行驶了向东行驶了100km到达到达D点点.

6、 （）作出向量（）作出向量AB，BC，CD;（）求（）求|AD|.【分析【分析】根据向量的表示方法解答根据向量的表示方法解答.【解析【解析】（1）向量）向量AB，BC，CD如图所示：如图所示：（2）由题意易知，）由题意易知，AB与与CD方向相反，故方向相反，故AB与与CD共线，共线，又又|AB|=|CD|,在四边形在四边形ABCD中，中，AB CD，四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，AD=BC，|AD|=|BC|=200km.返回返回 【评析】（【评析】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量点，

7、再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点的终点.（2）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学）要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型模型.“数学建模数学建模”能力是今后能力培养的主要方向能力是今后能力培养的主要方向,需要需要在日常学习中不断积累经验在日常学习中不断积累经验.返回返回 如图所示如图所示,AD是是ABC的边的边BC上的高上的高,BE是边是边AC上的中上的中线线,问线段问线段AD，BE是否可以表是否可以表示向量？示向量？平面几何中的线段只有大小没有方向，所以线段平面几何中的线段只有大小没有方向，所以线段AD，BE都不能表示向量都不能表示向量.(在平面几何中，线段

8、没有起点和终点之在平面几何中，线段没有起点和终点之分，即线段分，即线段AB与线段与线段BA同义，正因为如此，本题中同义，正因为如此，本题中AD=DA，BE=EB，所以，所以AD，BE都是只有大小，没有方都是只有大小，没有方向的量向的量.)返回返回 返回返回 学点三学点三 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 返回返回 返回返回 【评析【评析】给出下列命题给出下列命题:平行向量的方向一定相同；平行向量的方向一定相同；共线向量一定在同一条直线上；共线向量一定在同一条直线上；不平行的向量一定不相等；不平行的向量一定不相等；与任意向量平行的向量是零向量；与任意向量平行的向量是零向量；平行于同一个非零向

9、量的向量是平行向量平行于同一个非零向量的向量是平行向量.其中所有正确命题的序号是其中所有正确命题的序号是.【答案【答案】返回返回 【解析【解析】平行向量的方向可能相反，不正确平行向量的方向可能相反，不正确.共线向量可能分别在两条平行线上，不正确共线向量可能分别在两条平行线上，不正确.不平行的向量其方向不相同，故一定不相等，正确不平行的向量其方向不相同，故一定不相等，正确.零向量与任意向量平行，正确零向量与任意向量平行，正确.平行于同一个非零向量的两个向量中，若至少有一个零平行于同一个非零向量的两个向量中，若至少有一个零向量，它们是平行向量，若都是非零向量，它们也是平行向量，它们是平行向量，若都

10、是非零向量，它们也是平行向量，正确向量，正确.返回返回 1.向量由大小和方向确定，与位置无关，所以所有向量都向量由大小和方向确定，与位置无关，所以所有向量都可以从同一个起点出发，也就是向量可以任意平移，平移可以从同一个起点出发，也就是向量可以任意平移，平移后向量与原向量仍相等后向量与原向量仍相等.0与与0不同，前者是数量，后者是向量，规定不同，前者是数量，后者是向量，规定0的方向是的方向是任意的任意的.3.若实数若实数a大于实数大于实数b，则记作，则记作ab. 若若|a|b|,则不能记作则不能记作ab，向量没法比较大小，向量没法比较大小. 若向量若向量a，b相等，则可以记作相等，则可以记作a=

11、b.4.任一向量任一向量a都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量都是平行向量任一向量都是平行向量.5.共线向量的定义中指的是非零向量的共线问题共线向量的定义中指的是非零向量的共线问题.返回返回 1.掌握向量的表示法，可以用有向线段来表示向量，也掌握向量的表示法，可以用有向线段来表示向量，也可以用字母表示向量可以用字母表示向量.用有向线段用有向线段AB表示一个向量，显表示一个向量，显示了图形的直观性，为用向量处理几何问题和物理问题示了图形的直观性，为用向量处理几何问题和物理问题打下了基础，同时提供了一种几何方法，它也体现了数打下了基础，同时提供了

12、一种几何方法，它也体现了数形结合的数学思想，另外，应该注意的是有向线段是向形结合的数学思想，另外，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段；用字母表示向量的表示，并不是说向量就是有向线段；用字母表示向量便于向量运算量便于向量运算.返回返回 2.注意理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念注意理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念. 因为向量既有大小，又有方向，所以向量不同于数量因为向量既有大小，又有方向，所以向量不同于数量.数量数量之间可以比较大小，之间可以比较大小，“大于大于”“”“小于小于”的概念对于数量是的概念对于数量是适用的；向量由模和方向确定，由于方向不能比较

13、大小，适用的；向量由模和方向确定，由于方向不能比较大小，因此，因此，“大于大于”“”“小于小于”对于向量来说是没有意义的，向对于向量来说是没有意义的，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 3.由于零向量是特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规由于零向量是特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规定零向量与任意方向的向量平行定零向量与任意方向的向量平行.今后解答问题时，要注意今后解答问题时，要注意看清题目中是看清题目中是“零向量零向量”还是还是“非零向量非零向量”，从而正确解，从而正确解题题. 4.非零向量相等非零向量相等.任意两个相等的非零向量都可用一任意两个相等的非零向量都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关条有向线段来表示，并且与有向线段的起