工程电磁场第五章

1、1第五章第五章 时变电磁场的基本原理时变电磁场的基本原理本章提示本章提示: : 本章讨论时变电磁场。通过法拉第电磁感应定律，将静电场的环路定本章讨论时变电磁场。通过法拉第电磁感应定律，将静电场的环路定理加以扩充并推广到时变场。根据电荷守恒原理，引入位移电流，将安培理加以扩充并推广到时变场。根据电荷守恒原理，引入位移电流，将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律，从而导出时变电磁场的基本方环路定理推广到时变场，得到全电流定律，从而导出时变电磁场的基本方程组和场矢量的媒质分界面条件。根据磁感应强度的散度方程和电场强度程组和场矢量的媒质分界面条件。根据磁感应强度的散度方程和电场强度的旋度方程，引入

2、动态位，从麦克斯韦另外两个方程导出时变电磁场的达的旋度方程，引入动态位，从麦克斯韦另外两个方程导出时变电磁场的达朗贝尔方程。给出达朗贝尔方程解的一般形式。讨论单元辐射子电磁波辐朗贝尔方程。给出达朗贝尔方程解的一般形式。讨论单元辐射子电磁波辐射的问题。最后，描述了在工程中两种简化条件下，时变电磁场的边值问射的问题。最后，描述了在工程中两种简化条件下，时变电磁场的边值问题。题。 应重点掌握感应电动势、位移电流的概念和时变电磁场的基本性质，应重点掌握感应电动势、位移电流的概念和时变电磁场的基本性质，理解电磁波传播的基本原理。学会区分远场理解电磁波传播的基本原理。学会区分远场( (辐射场辐射场) )和

3、近场和近场( (似稳场似稳场) )，学，学会将涡流场和准静态电流场表述为边值问题。会将涡流场和准静态电流场表述为边值问题。2 在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。3时变场的知识结构框图：磁通连续性原理高斯定律电磁感应定律全电流定律Maxwell方程组坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场动态位A A ,分界面上衔接条件达朗贝尔方程电磁辐射、传输线及波导45 .1 5 .1 法

4、拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律1.1.电磁感应定律电磁感应定律 当闭合回路环绕的磁通随时间发生变化时，在回路中将引起感应电动势和感应电流。当闭合回路环绕的磁通随时间发生变化时，在回路中将引起感应电动势和感应电流。感应电动势的大小与磁通对时间的变化率成正比。感应电动势的参考方向与磁通的方感应电动势的大小与磁通对时间的变化率成正比。感应电动势的参考方向与磁通的方向成右手螺旋关系。根据楞次定律，感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止向成右手螺旋关系。根据楞次定律，感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止导电回路所环绕的磁通发生变化，即由感应电流产生的磁通总是企图抵消原磁通发生导电回路所环绕

5、的磁通发生变化，即由感应电流产生的磁通总是企图抵消原磁通发生的变化。如果考虑到线圈的匝数，磁通应由磁链来代替。因此，感应电动势的表示式的变化。如果考虑到线圈的匝数，磁通应由磁链来代替。因此，感应电动势的表示式为为 当磁通发生变化时，闭合回路中产生了感应电动势，说明回路中产生了感应电当磁通发生变化时，闭合回路中产生了感应电动势，说明回路中产生了感应电场。感应电场不同于库仑电场。它不是由电荷产生的，而是由磁场的变化引起的。场。感应电场不同于库仑电场。它不是由电荷产生的，而是由磁场的变化引起的。 设设S为闭合回路为闭合回路L限定的曲面限定的曲面5电磁感应定律（Faradays Law） 当与回路交链

6、的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。电磁感应定律：tedd 负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。感生电动势的参考方向62.2.时变场中的静止回路时变场中的静止回路 对于静止回路，对于静止回路，L L和和S S不随时间变化不随时间变化对于单匝回路，感生电动势对于单匝回路，感生电动势 这种静止回路中的感应电动势类似于变压器线圈中的感应电动势，因此叫做这种静止回路中的感应电动势类似于变压器线圈中的感应电动势，因此叫做变压器电动势。变压器电动势就是变压器电动势。变压器电动势就是S S不变、不变、B B随时间变化时的感应电动势。随时间变化时的感应电动势。 感生

7、电动势73.3.恒定磁场中的运动回路恒定磁场中的运动回路 在恒定磁场中，当导体回路的某一部分以速度在恒定磁场中，当导体回路的某一部分以速度v v运动时，随导体一起运动的自运动时，随导体一起运动的自由电荷将受到洛伦兹力的作用，磁场对运动电荷的作用力为由电荷将受到洛伦兹力的作用，磁场对运动电荷的作用力为 将作用在单位电荷上的洛伦兹力等效为电场强度，就可以认为运动导体中产生将作用在单位电荷上的洛伦兹力等效为电场强度，就可以认为运动导体中产生了感应电场，其电场强度为了感应电场，其电场强度为 若将磁场用磁感应强度线表示，运动的导体将切割磁感应强度线，因此，恒定若将磁场用磁感应强度线表示，运动的导体将切割

8、磁感应强度线，因此，恒定磁场中运动回路的感应电动势叫做切割电动势。这种感应电动势类似于发电机运动磁场中运动回路的感应电动势叫做切割电动势。这种感应电动势类似于发电机运动线圈中的感应电动势，又称为发电机电动势。线圈中的感应电动势，又称为发电机电动势。8磁场不变，回路切割磁力线lBd)(ddlte称为动生电动势，这是发电机工作原理，亦称为发电机电势。动生电动势9实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样是回路中的磁通发生变化。实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样是回路中的磁通发生变化。10磁场随时间变化，回路切割磁力线SBlBdd)(ddSltte实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，

9、回路中就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流产生。e114.4.时变场中的运动回路时变场中的运动回路称为电磁感应定律的积分形式称为电磁感应定律的积分形式在静止媒质中，场点相对静止在静止媒质中，场点相对静止这就是电磁感应定律的微分形式这就是电磁感应定律的微分形式电磁感应定律的本质就是变电磁感应定律的本质就是变化的磁场产生电场。化的磁场产生电场。12变化的磁场产生感应电场感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生的涡旋源，故又称涡旋电场。iEt B感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生的涡旋源，故又称涡旋电场。iEt

10、 B下 页下 页上 页上 页返 回返 回13 例例5-1-1如图如图5-1-2所示，无穷长直导线通以电流所示，无穷长直导线通以电流 ，导电线框以，导电线框以匀速匀速v向右运动。当线框运动到如图所示位置时，求接于向右运动。当线框运动到如图所示位置时，求接于AB之间的电压表的读数。之间的电压表的读数。 解解时变场中的两点之间电压不是惟一的。这里只考虑时变场中的两点之间电压不是惟一的。这里只考虑两种情况两种情况: :（1 1）电压表用短导线直接接到）电压表用短导线直接接到ABAB之间，并与线框一之间，并与线框一起运动起运动; ;（2 2）电压表用长导线沿线框接到）电压表用长导线沿线框接到ABAB之间

11、，并与线框之间，并与线框一起运动。一起运动。1415（2 2）当电压表用长导线沿线框接到）当电压表用长导线沿线框接到ABAB之间时，电压表联线与线框一起组成一个之间时，电压表联线与线框一起组成一个闭合回路，这个闭合回路围成的面积为零。无论电流和磁场如何变化，线框怎样闭合回路，这个闭合回路围成的面积为零。无论电流和磁场如何变化，线框怎样运动，闭合回路中都不会产生感应电动势。因此，电压表测得的电压为零。运动，闭合回路中都不会产生感应电动势。因此，电压表测得的电压为零。5 .25 .2全电流定律全电流定律1.1.时变场的电流连续性时变场的电流连续性在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流的连续性

12、，有在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流的连续性，有在时变场中，根据电荷守恒原理，有在时变场中，根据电荷守恒原理，有16应用散度定理，可得应用散度定理，可得这就是时变场的电流连续性方程这就是时变场的电流连续性方程传导电流不再保持连续传导电流不再保持连续。172.2.位移电流位移电流安培环路定理的微分形式为安培环路定理的微分形式为在恒定磁场中，电流是恒定的传导电流，传导电流密度的散度为零。在恒定磁场中，电流是恒定的传导电流，传导电流密度的散度为零。在时变场中，传导电流不再保持连续。可以看作是一种电流密度，记为可以看作是一种电流密度，记为全电流密度为183.3.全电流定律全电流定律根据位移

13、电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时变场，得到全电流定律的微分形式的微分形式位移电流密度位移电流密度应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式19 麦克斯韦最关键的贡献就是引入了最后一个关键角色麦克斯韦最关键的贡献就是引入了最后一个关键角色变化的电变化的电场，他认为不止是静电场中的稳恒电流能产生磁场，变化的电场更应该场，他认为不止是静电场中的稳恒电流能产生磁场，变化的电场更应该能产生磁场，只不过不太容易被观察到而已。这个关键性的观念直接导能产生磁场，只不过不太容易被观察到而已。

14、这个关键性的观念直接导致了麦克斯韦电磁场理论致了麦克斯韦电磁场理论可以说是牛顿力学后，物理学历史上的第二可以说是牛顿力学后，物理学历史上的第二个人类理性的辉煌胜利。个人类理性的辉煌胜利。 把变化的电场作为一个电磁现象中的角色，关键就是把变化的电把变化的电场作为一个电磁现象中的角色，关键就是把变化的电场也看成一种电流，这就是麦克斯韦提出的位移电流的概念。场也看成一种电流，这就是麦克斯韦提出的位移电流的概念。 我们已经学习过的两种电流形式我们已经学习过的两种电流形式传导电流传导电流和和运流电流运流电流。传导电。传导电流是电荷定向地传递相互作用，而运流电流则是电荷自身的宏观定向运流是电荷定向地传递相

15、互作用，而运流电流则是电荷自身的宏观定向运动。这两种电流都可以通过静电场来产生，但无法用来描述变化的电场动。这两种电流都可以通过静电场来产生，但无法用来描述变化的电场所传递的相互作用，而通过变化的电场来传递相互作用却是我们还没能所传递的相互作用，而通过变化的电场来传递相互作用却是我们还没能加以描述的物理过程。加以描述的物理过程。20有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流电流密度为有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流电流密度为完整的全电流定律完整的全电流定律的微分形式应为的微分形式应为全电流定律表明，除传全电流定律表明，除传导电流、运流电流产

16、生导电流、运流电流产生磁场外，位移电流也产磁场外，位移电流也产生磁场。传导电流和运生磁场。传导电流和运流电流都是电荷的运动。流电流都是电荷的运动。但位移电流却不是电荷但位移电流却不是电荷的运动，而只是电场的的运动，而只是电场的变化。变化。21例例5-2-15-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。 解解设电容器极板面积为设电容器极板面积为S S，正负极板距离为，正负极板距离为d,d,电介质的介电常电介质的介电常数为数为，电容器正负极之间加随时间变化的电压，电容器正负极之间加随时间变化的电压u u。22 电容本身是不可能传导电流

17、的，但接入电容器的闭合电路并不电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并不就是等于断开了电路。电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这就是等于断开了电路。电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是种相互作用体现在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化放电，在电容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。如果我们考虑电场通过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发现总是和电路

18、中的电这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率的方向总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就可以把这个变化的电场看成一流的方向一致，那么我们很自然地就可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电流就没有因为电容的缘故而断开，种等效的电流，而整个电路的电流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个等效的电流就是位移电流。而是仍然保持连续性。这个等效的电流就是位移电流。 23 例例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sint，铜的电

19、导率=5.8107S/m, 0。解： 铜中的传导电流大小为 tEEJcsin0tEtEtDJdcos0ffJJcd1979106 . 9108 . 5103612245 .3 5 .3 电磁场的基本方程组电磁场的基本方程组积分形式积分形式微分形式微分形式在各同同性媒质中，有关场矢在各同同性媒质中，有关场矢量之间的关系用下列辅助方程量之间的关系用下列辅助方程表示表示: :25全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化 的电场都能产生磁场。电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场。磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭合曲线。高斯定律：表明电荷以发散的方式

20、产生电场 (变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。26媒质分界面条件媒质分界面条件在时变场中，电位移矢量所满足的方程与其在静电场中的方程相同。因此，电位移在时变场中，电位移矢量所满足的方程与其在静电场中的方程相同。因此，电位移矢量的媒质分界面条件与静电场中相同，即矢量的媒质分界面条件与静电场中相同，即 e en n是分界面的法向单位矢量，从第一种电介质指向第二种电介质是分界面的法向单位矢量，从第一种电介质指向第二种电介质在时变场中，磁感应强度所满足的方程与其在恒定磁场中的方程相同。因此，磁在时变场中，磁感应强度所满足的方程与其在恒定磁场中的方程相同。因此，磁感应强度的媒质分界面条件与恒定磁场中相同

21、，即感应强度的媒质分界面条件与恒定磁场中相同，即27小矩形的面积为零小矩形的面积为零为有限值为有限值28当分界面上不存在自由面电流和自由面电荷时，时变电磁场的分界面条件可简化为当分界面上不存在自由面电流和自由面电荷时，时变电磁场的分界面条件可简化为29为电磁场的折射定律为电磁场的折射定律3031325 .45 .4动态位动态位1 1 动态位的定义动态位的定义令令定义动态位定义动态位332.2.动态位的方程动态位的方程为了求得动态位与场源之间的关系，需要将动态位代入电磁场的基本方程和辅助方为了求得动态位与场源之间的关系，需要将动态位代入电磁场的基本方程和辅助方程。程。在均匀媒质中在均匀媒质中全电

22、流定律全电流定律34上式表示上式表示A A与与JcJc的关系的关系上式表示上式表示与与的关系的关系353.3.洛伦兹规范和达朗贝尔方程洛伦兹规范和达朗贝尔方程洛伦兹规范洛伦兹规范36上式为非齐次波动方程，称为达朗贝尔方程。上式为非齐次波动方程，称为达朗贝尔方程。对于静态场和恒定场对于静态场和恒定场在无源的自由空间，达朗贝尔方程简化为齐次波动方程，即在无源的自由空间，达朗贝尔方程简化为齐次波动方程，即375 .5 5 .5 达朗贝尔方程的解达朗贝尔方程的解1.1.点电荷情况下的达朗贝尔方程的解点电荷情况下的达朗贝尔方程的解 达朗贝尔方程是非齐次波动方程，它的解应当同时具有波的特征和泊松方程解的达

23、朗贝尔方程是非齐次波动方程，它的解应当同时具有波的特征和泊松方程解的特征。特征。 下面以标量动态位下面以标量动态位为例，讨论在坐标原点处变化的点电荷为例，讨论在坐标原点处变化的点电荷q(t)产生时变场达朗贝产生时变场达朗贝尔方程的解。尔方程的解。在无源的自由的空间源点电荷拥有球对称性一维齐次波动方程通解 f1和f2是存在二阶偏导数的任意函数。3839图图.1 的物理意义的物理意义 )(1vrtfr图图5.6.2 5.6.2 波的入射、反射与透射波的入射、反射与透射2fr40由此推论，时变点电荷的动态标量位为2. 动态位的积分的表达式根据叠加定理，连续分布电荷产生的标量位为Vrv

24、rtzyxtzyxVd4),(),(无反射VrvrtzyxtzyxVd4),(),(无反射的特解为02静电场中，的特解为02静电场中，rvrtqt4)()(无反射rvrtqt4)()(无反射rq4（无限大均匀媒质）rq4（无限大均匀媒质）下 页下 页上 页上 页返 回返 回41若激励源是时变电流源时VrvrtzyxtzyxVd),(4),(JA（无反射）电磁波是以有限速度传播的， 光也是一种电磁波。1v电磁波是以有限速度传播的， 光也是一种电磁波。1v达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于时刻的激励源。又称为滞后位（Retarded Potential）。)/(vrt ，A达朗贝尔方程

25、解的形式表明：t 时刻的响应取决于时刻的激励源。又称为滞后位（Retarded Potential）。)/(vrt ，A当场源不随时间变化时，蜕变为恒定场中的位函数。，A当场源不随时间变化时，蜕变为恒定场中的位函数。，A下 页下 页上 页上 页返 回返 回42时变电磁场的波动性表明，它是空间传播的电磁波时变电磁场的波动性表明，它是空间传播的电磁波由上可知，电磁波是以有限速度传播的，这个传播速度称为波速，用由上可知，电磁波是以有限速度传播的，这个传播速度称为波速，用v v表示。波表示。波速决定于媒质的性质，其表示式为速决定于媒质的性质，其表示式为435.6.1 坡印廷定理（Poynting Th

26、eorem）在时变场中，能量密度为体积V内储存的能量为HBED2121mewww（1）VHBEDVd21dVVwW）（2）Poynting Theorem and Poynting Vector 5.6 坡印廷定理和坡印廷矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。44)2121(HBEDttw)()(EHJHEBHDEtt)(JEHEtw代入式(3)得VVStwtWVJESHEVdd)(d式(2)对 t 求导，则有)()()(HEEHHE矢量恒等式)()()(HEEHHE矢量恒等式VdVtwtW（3）VdVtwtW（3）下 页

27、下 页上 页上 页返 回返 回45VSVtWdd)(JESHE整理得代入上式第二项将若体积内含有电源，则,/, )( eeEJEEEJ物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面 S 的电磁功率。tWVJVVVSddd)(2eJESHE坡印廷定理下 页下 页上 页上 页返 回返 回46VJVSVVddd)(2eJESHE恒定场中的坡印廷定理 注意：磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能量的流动。 在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为：坡印廷定理tWVJVVVSddd)(2eJESHE47 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位

28、面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。5.6.2 坡印廷矢量 (Poynting Vector)HESW/m2 定义坡印廷矢量电磁波的传播48例 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a 和b。解: 理想导体内部电磁场为零。电场强度eE)/ln(abUeH2IzIabUeHES2)/ln(磁场强度坡印廷矢量下 页下 页上 页上 页返 回返 回同轴电缆中的电磁能流同轴电缆中的电磁能流49baAUIabUIPd2)/ln(2d2AS电源提供的能量全部被负载吸收。流入内外导体间的横截面A 的功率为zI

29、abUeHES2)/ln(坡印廷矢量下 页下 页上 页上 页返 回返 回电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。50zaeIJE2eH22aI导体吸收的功率为:SHEd)(SPRIalI222例 导线半径为a，长为 l，电导率为，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。电场磁场解: 思路：下 页下 页上 页上 页返 回返 回PSHEI,设PSHEI,设计算导线损耗的能量计算导线损耗的能量51电路中正弦量有三要素：振幅、频率和相位。)cos(2)(ttiIjjjeII )sin(2d)(dtttiIjeII 正弦电磁场也有三要素：振幅

30、, 频率和相位。Sinusoidal Electromagnetic Field5.7.1 正弦电磁场的复数形式(Sinusoidal Electromagnetic Field Complex Form)cos(),(2),(tzyxtzyxFFj),(ezyxFF )sin(),(2tzyxtFFieFFjj5.7 正弦电磁场52正弦电磁场基本方程组的复数形式场量与动态位的关系ABAEjSDJlHd)j(dSl0dSSBSlSBlEdjdqSSD dDJHjBEj D0 BSDJlHd)j(dSl0dSSBSlSBlEdjdqSSD dDJHjBEj D0 B下 页下 页上 页上 页返 回

31、返 回)(j1jAAj Aj A53在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为)cos()(2)cos()(2),(HEtttrHrErS)2cos()cos()(HEHEtHETttT0avd),(1)(rSrS称之为平均功率流密度。S 在一个周期内的平均值为)cos()(HEHE54)cos()()()(avHEHEHERSer)( jjje )(e )(e )(HEHEHErHrEHE因为aV)cos()(SHEHERHEe所以EEttje )( )cos()(),(rEErErE因为H(je)rHH 同理H(je)rHH 同理实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。HES定义:坡印廷矢量的复数形式可以证明下 页下 页上 页上 页返 回返 回55)()