chap4、5-拉格朗日-小结分析力学

1、第二章第二章 拉格朗日方程拉格朗日方程小小 结结一、理想约束一、理想约束 达朗贝尔方程达朗贝尔方程注意注意: (1)达朗贝尔方程适用于理想约束体系达朗贝尔方程适用于理想约束体系, 优点优点是其中不出现约束力是其中不出现约束力. (2) 要选择适当的坐标系来要选择适当的坐标系来描述体系中各质点的矢径描述体系中各质点的矢径ri. (3)分析体系中各质点分析体系中各质点所受主动力所受主动力Fi,再代入达朗贝尔方程求解再代入达朗贝尔方程求解.理想约束理想约束 iiNrFi. 0达朗贝尔方程达朗贝尔方程 iiiirrmFi. 0)( 实位移与虚位移的异同实位移与虚位移的异同: :虚功与理想约束虚功与理想

2、约束图图2.1力力F F在虚位移下所作功称为在虚位移下所作功称为虚功虚功. . 在任一瞬时在任一瞬时, ,质点的虚位移可以不止一个质点的虚位移可以不止一个, ,实位移实位移则受到运动定律的限制则受到运动定律的限制, ,当时间改变当时间改变dtdt后，实位移只后，实位移只有一个有一个. .如果约束稳定，实位移如果约束稳定，实位移drdr是许多虚位移中的是许多虚位移中的一个一个. .对于不稳定约束对于不稳定约束, ,实位移和虚位移不一致实位移和虚位移不一致. . (1.2)下列几种约束都是理想约束下列几种约束都是理想约束:(2) 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点

3、,如图如图2.3所示所示.图图2.2图图2.3刚体刚体可以看成任可以看成任意意两点间受到两点间受到上上述形述形式式约约束束的的质点系质点系.(1) 质点沿光滑曲画运动质点沿光滑曲画运动, 如图如图2.2所示所示. (3) 两个刚体以光滑表面接触两个刚体以光滑表面接触, 如图如图2.4所示所示.图图2.4(4) 两个物体以完全粗糙的表两个物体以完全粗糙的表面相接触面相接触 (不能有滑动不能有滑动,只能作纯滚动只能作纯滚动)(5) 两个质点以柔软而不可伸长的绳子相连接两个质点以柔软而不可伸长的绳子相连接. 如果把更复杂的力学体系看成是由一些刚体和质如果把更复杂的力学体系看成是由一些刚体和质点所组成

4、的，那么只要物体间的连接是刚性的点所组成的，那么只要物体间的连接是刚性的, 所所有接触面或是理想光滑有接触面或是理想光滑, 或是绝对粗糙，则任一复或是绝对粗糙，则任一复杂的力学体系均可看成具有理想约束的体系杂的力学体系均可看成具有理想约束的体系. 二、二、 完整约束完整约束 广义坐标广义坐标 完整约束完整约束是指约束条件只和体系各质点的坐标是指约束条件只和体系各质点的坐标ri及时间及时间t有关有关,约束方程可写成约束方程可写成 如果一个力学体系受到的约束都是完整的，则称如果一个力学体系受到的约束都是完整的，则称为为完整体系完整体系.如果不能由约束方程直接消去不独立坐标，这种如果不能由约束方程直

5、接消去不独立坐标，这种约束称为约束称为非完整约束非完整约束三三 、理想、完整体系的拉格朗日方程、理想、完整体系的拉格朗日方程称为对应于广义坐称为对应于广义坐标标q的的广义力广义力.(1) 理想、完整体系的普遍方程理想、完整体系的普遍方程-拉格朗日方程拉格朗日方程 niiiqrFQ1.,2,1,sQqTqTdtd (2) 拉格朗日函数拉格朗日函数如果主动力如果主动力Fi均为保守力均为保守力, , 则则.,2,1,0sqLqLdtd .,2,1,0sqLqLdtd 式中式中(1) L函数必须表示成广义坐标、广义速度及时间函数必须表示成广义坐标、广义速度及时间t的的函数形式函数形式.称为称为拉格朗日

6、函数拉格朗日函数.(2) L函数是保守体系的函数是保守体系的特性函数特性函数, 由它可导出体系由它可导出体系的动力学方程的动力学方程.(3) 保守体系的拉格朗日方程成立的条件是保守体系的拉格朗日方程成立的条件是: 体系所体系所受的约束是理想和完整的受的约束是理想和完整的, 主动力都是保守力主动力都是保守力 .四、拉格朗日方程对平衡问题的应用四、拉格朗日方程对平衡问题的应用静力学有两个基本问题静力学有两个基本问题:(1)在已知主动力的作用下在已知主动力的作用下, 求体系处于平衡状态时求体系处于平衡状态时的位置的位置;(2)求体系平衡时各部分受到约束力的大小和方向求体系平衡时各部分受到约束力的大小

7、和方向 拉格朗日方程是动力学方程拉格朗日方程是动力学方程,也可解静力学问题也可解静力学问题, 特别是前一类问题特别是前一类问题.(4.1)或或 (4.2) (4.1)和和(4.2)就是就是拉格朗日方程理论中质点系的平衡拉格朗日方程理论中质点系的平衡方程方程, 解此方程即可得到体系的平衡位置解此方程即可得到体系的平衡位置. 它们适用它们适用于理想约束体系于理想约束体系主动力为保守力时主动力为保守力时:平衡条件：平衡条件：主动力为普通力时主动力为普通力时:七、七、 对称性和守恒定律对称性和守恒定律1. 运动积分运动积分 在牛顿动力学方程中在牛顿动力学方程中, 若体系动量、角动量或它们若体系动量、角

8、动量或它们某个分量及能量在运动过程中守恒某个分量及能量在运动过程中守恒, 则可用这个守恒则可用这个守恒量表示式来取代一个动力学方程量表示式来取代一个动力学方程. 在运动过程中保持不变的广义坐标和广义速度的在运动过程中保持不变的广义坐标和广义速度的函数叫做函数叫做运动积分运动积分. 所以所以s个自由度力学体系共有个自由度力学体系共有2s-1个独立运动积分个独立运动积分. 原则上总可以做到用运动积分来取代全部拉格朗日原则上总可以做到用运动积分来取代全部拉格朗日方程方程. 2. 广义动量守恒和广义能量积分广义动量守恒和广义能量积分 若拉格朗日函数中不出现某一广义坐标若拉格朗日函数中不出现某一广义坐标

9、q, 这时这时 相应的拉格朗日方程变为相应的拉格朗日方程变为 就得到就得到一个运动积分一个运动积分 称为称为与广义坐标与广义坐标 共轭的广义动量共轭的广义动量, 拉格朗日拉格朗日函数中不显含的广义坐标称为函数中不显含的广义坐标称为循环坐标循环坐标或或可遗坐标可遗坐标. (1) 广义动量和广义动量守恒广义动量和广义动量守恒(2) 广义能量和广义能量积分广义能量和广义能量积分B. 函数函数H的物理意义的物理意义A. L不显含时间不显含时间t的运动积分的运动积分H函数函数H是一个与动能和势能有关的量是一个与动能和势能有关的量, 称作称作广义能量广义能量. 在在L不显含时间不显含时间, 并且约束是稳定的情况下并且约束是