自动控制原理5

1、第五章频率域方法第5章 频域分析法频域分析法基本要求51 频率特性52 典型环节的频率特性53 系统的开环频率特性54 频率稳定判据55 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系基本要求 1. 正确理解频率特性的概念。正确理解频率特性的概念。2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。曲线及对数频率特性曲线。3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4. 熟练掌

2、握由具有最小相位性质的系统开环对数幅熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。频特性曲线求开环传递函数的方法。 5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。它们的应用。6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。性关系。8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对

3、两个系统进行分析与概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。比较。 一、控制系统在正弦信号作用下的一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出稳态输出51 频率特性( )sinrr tAt输入信号：输入信号：22)(sAsR其拉氏变换式其拉氏变换式 闭环传递函数：闭环传递函数： nmmnnmmssssbsbasbsbsRsCs100输出输出1( )niiiCBDC ssssjsj1( )()( )( )ins tj tj tiitsc tC eDeBec tc t拉氏反变换得 jsDjsBssCssCsAssssbsbsRssCnnrnmm112210 tct是系统的瞬态分量，最后趋于零。

4、 tcs是系统的稳态分量。 2222212jwrrjjrjsrjsreAjjAejjAjjsjsjsAsjssAsB同理：同理：22jjreAjwD将B、D代入（55）则()()22()( )(2jtjjtjsrjc tA ee()cos()2rjAtj ()sin()rjAtj)sin(tAc（56） 式中式中()crAjA()j 从式（56）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。稳态输出的幅值稳态输出的相位二、频率特性的定义二、频率特性的定义 线性定常系统，在正弦信号作用下，稳态输线性定常系统，在正弦信号作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，称为系统的幅

5、频率特性；出振幅与输入振幅之比，称为系统的幅频率特性；稳态输出相位与输入相位之差，称为系统的相频稳态输出相位与输入相位之差，称为系统的相频率特性。率特性。 jtjtjAAjAAArrrc二、频率特性的定义二、频率特性的定义 线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特频率特性性（即为幅相频率特性，简称复相特性）。（即为幅相频率特性，简称复相特性）。()( )|() | ()|jjs jsjje 频率特性表达式为例子例子 以以RC网络为例网络为例 其传递函数其传递函数11)()(TjsGjG

6、js11)(TssG)(tan211)(1TjeT11)()(TjsGjGjs频率特性频率特性例子例子 以以RC网络为例网络为例)(tan211)(1TjeT11)()(TjsGjGjs频率特性频率特性幅频特性:相频特性: 112TjGA TjGarctan三、频率特性的几种表示方法三、频率特性的几种表示方法1 1、幅频特性、相频特性、幅相特性、幅频特性、相频特性、幅相特性)()()(jGjGjG)()(jeA0:)(A)( =，为系统的幅频特性幅频特性。为系统的相频特性。相频特性。图52RC网络的幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性曲线 112TA Tarctan图53 RC网络的幅相特性曲

7、线幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线 112TA Tarctan2。对数频率特性。对数频率特性 对数频率特性曲线又称伯德（对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包图，包括对数幅频和对数相频两条曲线括对数幅频和对数相频两条曲线( )20lg ( ) (lg )LA对数幅频特性对数幅频特性：( ) (lg ) 对数相频特性对数相频特性:图54 对数坐标刻度图)(dB)(L 注意注意纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。值，是不均匀的

8、。 这种坐标系称为半对数坐标系。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大在横轴上，对应于频率每增大1010倍的范围，称为十倍的范围，称为十倍频程倍频程(dec)(dec)，如，如1-101-10，5-505-50，而轴上所有十倍频，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。标分贝数的变化量。采用对数坐标图的优点较多，主要表现在： 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低

9、频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。 由于对数可将乘除运算变成加减运算。当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图的过程。 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。0)(jeKKjG5 52 2 典型环节的频率特性典型环节

10、的频率特性一、比例环节（放大环节）一、比例环节（放大环节）KA)(KLlg20)(0)(1)幅频特性2)相频特性3)对数幅相特性幅相特性：传递函数：KsG)(图55 比例环节的极坐标图频率特性曲线图55 比例环节的BODE图频率特性曲线二、积分环节二、积分环节21)(jejG幅相特性ssG1)(传递函数1( )( )90A 幅频特性相频特性图56 积分环节的极坐标图幅相特性曲线1( )( )90A 图56 积分环节的BODE图幅频、相频特性曲线对数频率特性对数频率特性9020)(lg)(L积分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为：1dB0decdB/2090积分环节对数幅频曲线在处通过线，斜

11、率为；对数相频特性为直线。 三、惯性环节（一阶系统）三、惯性环节（一阶系统）11)(TssG传递函数TjeTTjjG1tan21)(111)(221( )1( )arctanATT 幅频特性：相频特性：图58 惯性环节的极坐标图 幅相特性曲线221( )1( )arctanATT jYXTjTjTjG221111)(2211TXXTTTY2212222121YX惯性环节幅相特性曲线是一个以(12，j0)为圆心、12为半径的半圆。证明如下： 其中 XYT代入式 整理后可得 2211TX惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上1/2处，半径为1/2。XY为正值时，只能取负值，这意味着曲线限

12、于实轴的下方，只是半个圆。图58 惯性环节的幅频、相频特性曲线221( )1( )arctanATT 对数频率特性对数频率特性 11lg2022TAL1lg2022TTG1tan 当, 1T 0L当, 1T TLlg20, 1T图59 惯性环节的对数频率特性曲线四、振荡环节（二阶系统）四、振荡环节（二阶系统）2222)(nnnsssG传递函数传递函数222222()()2()2nnnnnnG jjjj 频率特性频率特性1.幅频特性、相频特性、幅相特性幅频特性、相频特性、幅相特性22222222()()( 2)112nnnnnA 2112tan)(nn图511 谐振频率212mn谐振峰值21()

13、21mmA 0ddAm谐振频率和谐振峰值mA212arctan222211nnejGnn图512 振荡环节的幅相特性Matlab程序ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3 num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; nyquist(num,den); axis(square);hold on;end2.2.对数频率特性对数频率特性222)2()(1lg20)(nnL2)(12arctan)(nn对数幅频特性对数相频特性图513 振荡环节的对数幅频渐进特性222)2()(1lg20)(nnL2)(12arctan)(nn图513 振荡环节的对数幅频

14、渐进特性2.2.对数频率特性对数频率特性 Matlab程序ks=0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0;om=10;for i=1:length(ks) num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; bode(num,den);hold on;endn振荡环节的对数幅频特性不仅与有关，而且与阻尼比有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差。五、微分环节五、微分环节ssG)(2)(jejjG图5-15极坐标图图5-15BODE图六、一阶微分环节六、一阶微分环节1)( ssG1112tanje)(j)j(G图516 12120ta

15、n)()(lg)(L2112tan)()(nnjG七、二阶微分环节七、二阶微分环节12)(2nnsssG12)(2nnjjjGnnj212222221)()(nnjGA2112nntan)(图517 二阶微分环节的对数频率特性22120nlg)(L)(tan(211)(111)(TjeTTjjG八、一阶不稳定环节八、一阶不稳定环节11)(TssG图518)(tan(211)(111)(TjeTTjjG非最小相位环节非最小相位环节 定义：传递函数中有右极点、右零点的环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为（或系统），称为非最小相位环节非最小相位环节（或系（或系统）。统）。 由图

16、由图518看出，一阶不稳定环节的幅频与看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又一阶不稳定环节又称非最小相位环节称非最小相位环节。11Tj)j(G11Tj)j(G九、延迟环节九、延迟环节 sesRsCsG 1A jG 0L延迟环节输入输出关系为延迟环节输入输出关系为 c tr t5 53 3 系统的开环频率特性系统的开环频率特性 一、开环幅相特性曲线一、开环幅相特性曲线 设系统开环传递函数由若干典型环节串联设系统开环传递函数由若干典型环节串联 123G sG s G s G

17、 s313()1()iijG jiiG jG je开环频率特性开环频率特性系统开环幅频与相频分别为系统开环幅频与相频分别为 31()iiAG jGj 123 331120lg()20lg()20lg()iiiiLG jG jG j1、开环幅相特性曲线、开环幅相特性曲线（1）当）当 niisTKsG11系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图520 系统开环幅相特性曲线时，时， 20j0j001jTKjG, 1n1时，当时，当若GKG 22j0j001j1jTKjG, 2n21时，当时，当若GKGT（2）当）当 niimiisTsKsG1111图521 取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系

18、统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，时， 2n-m02n2m0j0j00nm2202320j0j0011j1T1KG1s1s1T1sKG, 3, 1m32113211时，当时，当个惯性环节：个一阶微分环节和当有时，当时，当若GKGGKGjTTjjjTTssn（3）当）当 1TssKsG图522 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。时，时， 230j22j001TjKG1TsKG, 2220j2j001TjKG1TsKG, 122时，当时，当若时，当时，当若GGjjssGGjjss2.系统开环幅相的特点当频率当频率

19、0 时，其开环幅相特性完全由时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。比例环节和积分环节决定。当频率当频率 时，若时，若nm，G(j )|=0相角为相角为(m-n)/2。若若G(s) 中分子含有中分子含有s因子环节，其因子环节，其G(j)曲线随曲线随 变化时发生弯曲。变化时发生弯曲。G(j) 曲线与负实轴的交点，是一个关键曲线与负实轴的交点，是一个关键点。点。 已知单位反馈系统的开环传递函数为) 1)(15 . 0()21 ()(2ssssksGk试概略绘出系统开环幅相曲线。2v180)0(jGk2700)(jGk)5 . 0()5 . 21 (1)25. 01 ()(22222jkjG

20、k解 系统型别（2）终点 （3）与坐标轴的交点，零点极点分布图如图5-22(a)所示。显然（1）起点二、开环对数频率特性曲线的绘制二、开环对数频率特性曲线的绘制 4321 系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。 441120lg()20lg()20lg()iiiiLG jG jG j 例例51 绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。) 1)(11 . 0 (10)(sssG解：1111 . 0110) 1)(11 . 0 (10)(sssssG系统开环传递函数系统开环传递函数 100.110.1arctan10.1lg2010.11

21、2)G111arctan1lg20112)G02010lg20lg20101)G3323322222111惯性环节的转折频率惯性环节的转折频率LssLssdBjGLs 开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。例例52) 15 . 0(105. 0111110)20)(1()2(100)(sssssssssG(0.51)s51011s211s310.051s4五个

22、基本环节 s/rad1T1arctan1lg2011)32lg201lg201)202010lg20lg2010) 13332332221111转折频率LsGLssGdBALsG s/rad20.51T10.5arctan10.5lg2010.5s5s/rad200.051T10.05arctan10.05lg2010.051)4554255444244转折频率）转折频率LGLsG) 15 . 0(105. 0111110)20)(1()2(100)(sssssssssG)s(sss)s)(s( s)s()s(G121201111102012100绘制开环系统的波特图绘制开环系统的波特图 将写

23、成典型环节之积；将写成典型环节之积； 找出各环节的转角频率；找出各环节的转角频率； 画出各环节的渐近线；画出各环节的渐近线； 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线； 将各环节曲线相加即得波特图。将各环节曲线相加即得波特图。一般规则：例例53) 12 . 0(121110) 12() 12 . 0(10)(sssssssG s/rad50.21T110.2lg2010.2s)4s/rad5 . 0T112lg20121)3lg201lg201)22010lg20lg2010) 1442543323322111转折频率转折频率LGLsGLssGdBALsG例例54

24、 已知最小相位系统的开环对数幅频渐进特性曲已知最小相位系统的开环对数幅频渐进特性曲线，求系统的开环传递函数。线，求系统的开环传递函数。 111121sssKsG12c1ccK0dB120lg20lg20lgK0dBKc等于数幅频渐进特性叠加后时，三个环节叠加的对当来求：可用已知的截止频率开环增益5 54 4 频率稳定判据频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图517 反馈控制系统 sNsMsG11 sNsMsH22开环传递函数开环传递函数 sNsNsMsMsHsG2121闭环传递函数闭环传递函数121212( )( )( )( )1( ) ( )( )( )( )( )M s N

25、 sG ssG s H sN s N sM s M s sNsNsMsMsNsNsHsGsF2121211令令将将F(s)写成零、极点形式，则写成零、极点形式，则 niiniipszssF11辅助函数F(s)具有如下特点： 其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。)(sFFj1z2ziz1iz1pizssABjsF niiniipszssF11 2sF由 niiniipszssF111.1.幅角原理幅角原理1.1.幅角原理幅角原理如果封闭曲线如果封闭曲线 内有内有Z个个F(s)的的零点，有零点，有P个个F(s)的极点，则的极点

26、，则s依依 顺时针转一圈时，在顺时针转一圈时，在F(s)平面上，平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数曲线绕原点反时针转的圈数R为为P和和Z之差，即之差，即RPZss若若R为负为负,表示表示F(s)曲线绕原点顺时针转曲线绕原点顺时针转过的圈数。过的圈数。 s平面平面 s 映射映射 F(s) 正虚轴正虚轴 j ( :0) F(j ) ( : 0) 负虚轴负虚轴 j ( : 0) F(j ) ( : 0) 半径半径 的半圆的半圆 ( 1, j0)点点2. .奈式判据奈式判据图5-29 包括全部右半平面地封闭曲线 平面。 s）就包含了整个右半为奈奎斯特路(段组组成的封闭曲3这样，。0变化到- 由

27、：js 负虚轴 iii； 2/-变化到2/ 由R ， ： Res为无限大的右半圆半 ii； 变到0由 ：js 正虚轴 i段3由以下曲线 平面。设面s扩展为整个右半 闭曲线点数，平面内的所有零点、极 位于右半 为了确定辅助函数j径称频率，半圆径频率组成现将2. .奈式判据奈式判据 F(j )和和G(j )H(j )只相差常数只相差常数1。 F(j )包围原点就包围原点就是是G(j )H(j )包围包围(-1，j0)点。点。GH平面平面0F平面平面 1对于对于G(j )H(j ) : 0 ，开环极坐标图；，开环极坐标图； : 0，与开环极坐标图以，与开环极坐标图以 轴镜像对称；轴镜像对称； F平面

28、平面( 1, j0)点就是点就是GH平面的坐标原点。平面的坐标原点。 奈氏判据：奈氏判据：已知开环系统特征方程式在已知开环系统特征方程式在s 右半平面根右半平面根的个数为的个数为P，开环奈氏曲线（开环奈氏曲线（ : 0 ）包围）包围( 1，j0)点的圈数为点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根右半平面根的个数为的个数为Z，且有且有 Z = P R 若若Z=0，闭环系统是稳定的。若，闭环系统是稳定的。若Z 0，闭环系统是不稳，闭环系统是不稳定的。定的。 或或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( 1，j0)点时，则闭环系统是

29、稳定的。点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 ( 1，j0)点点P圈时，闭环系统是稳定的。圈时，闭环系统是稳定的。2.奈式判据奈式判据)()(0sGsksGvk0+开环有积分环节的系统开环有积分环节的系统 由于开环极点因子由于开环极点因子1/ s ，既不，既不在的在的s 左半平面，也不在的左半平面，也不在的s 右半右半平面，开环系统临界稳定。在这种平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。情况下，不能直接应用奈氏判据。 j 0 如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。

30、因此，在数学上作如下处理：在平面上的在数学上作如下处理：在平面上的s s=0=0邻域作一半径无邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。穷小的半圆，绕过原点。0 2.奈式判据奈式判据)()(0sGsksGvk 2,2, 0:0, 0, 0:2,2, 0:sHsGcsHsGbsHsGaeKeKsHsGjj在在GH平面上开环极坐标图在平面上开环极坐标图在 =0时，时，小半圆小半圆映射到映射到GH平面上是一个平面上是一个半径为无半径为无穷大，从穷大，从 = 0 到到 = 0+顺时针旋转顺时针旋转v 180 的大圆弧的大圆弧。如此处理之后，就可。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。以根据奈

31、氏判据来判断系统的稳定性了。ImRe0 =0+ 增补线增补线 =0- 用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制 从从 0时时的开环幅相曲线，然后按其包围的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0 )点的圈数点的圈数N（逆时针（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半平面根的个数右半平面根的个数P，根据公式根据公式 Z = P 2N 来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是，闭环系统是稳定的稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。 如果开环传递

32、函数包含积分环节，且假定个数为如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘，则绘制开环极坐标图后，应从制开环极坐标图后，应从 =0+对应的点开始，补作一个半径对应的点开始，补作一个半径为为 ，逆时针方向旋转，逆时针方向旋转v 90 的大圆弧增补线，把它视为奈氏的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。2.奈式判据（实际方法）奈式判据（实际方法）例例5 55 5 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别闭环系统试应用奈氏判据判别闭环系统稳定性。稳定性。5211000)(ssssG

33、2 . 0arctan5 . 0arctanarctan22212 . 015 . 01100jG12 . 015 . 01100sG) 1jesss曲线画出系统开环幅相特性 定。点，所以闭环系统不稳，幅相曲线包围即开环系统稳定，开环，可确定由开环传递函数系统稳定性根据奈氏判据判别闭环j010PsG)2Z=P-2N=0-2(-1)=2, 不稳定例例5 56 6 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别试应用奈氏判据判别K=0.5K=0.5和和K=2K=2时的闭环系统稳定性。时的闭环系统稳定性。1)(sKsG1)分别作出分别作出K=0.5和和K=2时开环幅相特性曲线时开环幅相

34、特性曲线2)根据开环传递函数，P1。 K=0.5时，绕(-1,j0)点转过的圈数为0，Z=P-2N=1,闭环系统不稳定。 K=2时，绕(-1,j0)点反时针转过圈数为1/2， Z=P-2N=1-2(1/2)=0, 闭环系统稳定。图532 系统开环幅相特性曲线例例5 57 7 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据闭环系统稳定性。试应用奈氏判据闭环系统稳定性。1)(2TssKsG曲线画出系统开环幅相特性) 1 的半圆。半径为向反时针方向补画一个的点开始在开环幅相特性曲线上有两个积分环节，需要开环传递函数0sG)2。的个数闭环特征方程正实部根定。点，所以闭环系统不稳，曲线包围了，

35、而开环开环正极点数21202NPZj01jG0P)3ReIm0 1(+)( ) 由图可知，幅相曲线由图可知，幅相曲线不包围不包围( 1，j0)点。此结点。此结果也可以根据果也可以根据 增加时幅增加时幅相曲线自下向上相曲线自下向上(幅角减幅角减小小)和自上向下和自上向下(幅角增加幅角增加)穿越实轴区间穿越实轴区间(， 1)的的次数决定。次数决定。 N = N N 自实轴区间（自实轴区间（， 1 1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（区间（， 1 1）开始向上的穿越为半次负穿越。）开始向上的穿越为半次负穿越。二、对数频率稳定判据二、对数频率稳定判据奈氏

36、判据也可叙述为：在开环幅相特性 曲线，沿 增加的方向，对（1， ）的负实轴段正、负穿越次数之差等于 ，则闭环系统稳定。 /2P/2NNP jHjG二、对数频率稳定判据二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内， 正负穿越 线的次数差为0。dBL0)()(180注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。图534 幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频 的频段内，对应

37、的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为 。即 为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。 20lg()0G j/2P/2NNPPs当开环系统有积分环节时，对应在对数相频曲线上 处，用虚线向上补画 ，在计算正负穿越将补画的虚线看成对数相频曲线的一部分。 02例58 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。试用对数判据判别闭环稳定性。) 11 . 0 (10)()(sssHsG解：绘制系统开环对数频率特性如图。解：绘制系统开环对数频率特性如图。 由开环传递函数由开环传递函数可知可知P=0。图535所以闭环稳定002NNNP例例5 51010 已知系统开环传

38、递函数已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。试用对数判据判别闭环稳定性。)1002(300)()(2ssssHsG解：解：绘制系统开环对数频率特性如图绘制系统开环对数频率特性如图图图537 在在 处振荡环节的对数幅频值为处振荡环节的对数幅频值为n120lg20lg2 0.1 142dB闭环不稳定。闭环不稳定。202( 1)2ZPN闭环特征方程的正根数为闭环特征方程的正根数为c)(jGg曲线与负实轴交点处的频率称为相角交界频率 曲线与单位圆交点处的频率称为截止频率 )(jG三、稳定裕度三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。衡量闭环系统稳定程度的指标。三、稳定裕度三、稳定裕度衡量闭环

39、系统稳定程度的指标。衡量闭环系统稳定程度的指标。相位裕度极坐标图1)()(jHjG的矢量与负实轴的夹角。0lg20GH)(即对数坐标图上处与的差 )(180)180()(cc模稳定裕度模稳定裕度h：)(gA幅值裕度是指（1，j0）点的幅值1与 之比，用h表示 )(1gAh在对数坐标图上20lg20lg()()gghAL )(gL即h的分贝值等于 与0dB之间的距离（0dB下为正）2h40dBh6lg20c 相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率处若相角再迟后一个角度，则系统处于临界状态；若相角迟后大于，系统将变成不稳定。hg)(gAh幅值裕度的物理意义在于：稳定系统的开环增益再增大倍，则处

40、的幅值等于1，曲线正好通过（1，j0），点系统处于临界稳定状态；若开环增益增大倍以上，系统将变成不稳定。一般要求：)5)(1()(0sssKsG100K例5-11 某单位反馈系统的开环传递函数为试求时系统的相角裕度和幅值裕度。解 15) 151)(1(5)(00KKsssKsG250 KK)(L绘制开环增益时的曲线 当2K时) 20 (21211)5(12)(2222222ccccccccA2c5 .198 .157 .54905arctanarctan90180)(1801cccjG0)5arctan(arctan90180)(180gggjGarctanarctan(5)90ogg90ta

41、n5152ggg0512g236. 25 gdBAhgggg9 . 8793. 221)5(1)(1221得 ，即 。5 55 5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 图示单位反馈系统的闭环传递函数为图示单位反馈系统的闭环传递函数为 ( )( )1( )G ssG s()()1()G jjG j图540)1)(1()(21 sTsTsKsGPAOAPAOAj)(PAOAM)(PAOA)()()()(1)()( jeMjGjGj OAjG )( )()( jM )()( j p22222211 MMYMMXjYXjG )( PAOA)(等等M圆圆 为为常数的轨迹常数

42、的轨迹设设 )()()( MjjYXjYXGGM 11)( 整理得整理得 等等 圆方程圆方程M)()1(2222 MYXYX 一、等一、等M圆图和等圆图和等N圆图圆图 根据开环幅相曲线，应用等根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。圆图，可以作出闭环相频特性曲线。OAPjYXjG )( 设设 jYXjYXGGj 11)( 2222412121NNNYX 整理得整理得 等等 圆方程圆方程N2222)1(YXjYYXX 22arctan)(YXXY22)(tanYXXYN 等等N圆圆 为为常数的轨迹常数

43、的轨迹一、等一、等M圆图和等圆图和等N圆图圆图二、尼科尔斯图（二、尼科尔斯图（N.b.Nichols) 如果将开环频率特性表示为如果将开环频率特性表示为 jeAjG则则 sin20lg20lgsinA 11coscoslg20lg20222MMA做变换得由等M线和等 线组成的图，称为尼科尔斯图。 如图545所示。图545 尼科尔斯图三、利用闭环幅频特性分析和估算三、利用闭环幅频特性分析和估算 系统的性能系统的性能 在已知闭环系统在已知闭环系统稳定的条件下，可稳定的条件下，可以只根据系统闭环以只根据系统闭环幅频特性曲线，对幅频特性曲线，对系统的动态响应过系统的动态响应过程进行定性分析和程进行定性

44、分析和定量估算。定量估算。图548 闭环幅频特性曲线定性分析定性分析(0)M1）零频的幅值）零频的幅值 反映系统在阶跃反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。信号作用下是否存在静差。 ；态误差，在阶跃信号下没有静当；态误差，在阶跃信号下没有静当0e10M0e10Mssss2）谐振峰值）谐振峰值 反映系统的平稳性反映系统的平稳性。此值大说明动态过程超调量大，平稳性差，反之平稳性好。此值大说明动态过程超调量大，平稳性差，反之平稳性好。mM平稳性差小有峰值，二阶系统：有峰值，一阶系统：幅频曲线没%M,121M 0%m2m3）带宽频率）带宽频率 反映系统的快速性反映系统的快速性b下降到下降到0.707 对应对应的频率值的频率值 )( M0Mb 11)(TssTb1 bcsTt 333 一阶系统：一阶系统：快速性越好,sbt707. 0)2()()(22222 bnbnnbM 42244221 nb422442215 . 3 sbt2222)(nnnsss 二阶系统二阶系统 221