第二章之刚体的定轴转动g

1、1刚体的定轴转动1 1 刚体运动的描述刚体运动的描述2 2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 转动惯量转动惯量3 3 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能4 4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律5 5 碰撞碰撞6 6 刚体的进动刚体的进动2一一 ） 平动和转动平动和转动平动平动：用质心运动讨论：用质心运动讨论刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 刚体刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体在外力作用下形状和大小保持不变的物体.各质点间的各质点间的相对位置永不发生变化相对位置永不发生变化的的质点

2、系质点系。3转动转动：对：对点点、对、对轴轴既平动又转动既平动又转动：质心的：质心的平动加绕质心的转动平动加绕质心的转动定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。O转轴转轴 AA4转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动用角量最方便。描述刚体整体的运动用角量最方便。二）二） 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述5角速度方向规定为沿轴方

3、向，角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动 方向一致方向一致减速转动减速转动 方向相反方向相反dtd 22dtddtd dtd 6一）一） 力矩力矩FrM 力矩为零时力矩为零时: sinFrM 对固定点的力矩对固定点的力矩MOFr 力矩大小等于此力和力臂的乘积力矩大小等于此力和力臂的乘积. .力为零力为零或或力的作用线与矢径共线力的作用线与矢径共线(sin =0).7FrMz Z2frPO转动平面转动平面1fF(2)ZFrPdOzM转动平面转动平面(1) sinrFMz 对转轴的力矩对转轴的力矩8二）二） 转动定律转动定律iiiia

4、mfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,变换得变换得ir iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0J JM iiirmJ)(2 JM 9刚体绕定轴刚体绕定轴Z的的转动惯量转动惯量(moment of inertia)刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的反映

5、质点的平动惯性平动惯性, J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性. iiirmJ)(2 JM 与与地位相当地位相当amF JM JM 10对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成对于质量元连续分布的刚体，其转动惯量可写成其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。三）三） 转动惯量转动惯量dmrJ2刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。11一）一） 力矩力矩FrM 二）二） 转动定律转动定律JM JM iiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合

6、合外外力力矩矩0J iiirmJ)(2 三）三） 转动惯量转动惯量离散：离散：连续体：连续体：dmrJ212例例1 求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解: dmrJ2若为薄圆筒（不计厚度）结果若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。相同。ROdm222mRdmRdmR （J 与刚体的总质量有关，同样大小的铁环和木环比较与刚体的总质量有关，同样大小的铁环和木环比较 ）13例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。动惯量。轴

7、与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。2221mRJlRm lrdr 2ZOrdrJ 与质量分布有与质量分布有关关14例例3 求长为求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm= dx dmrJC2 dmrJA23202/mLdxxL 122222

8、/mLdxxLL J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 15与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量质量的分布质量的分布转轴的位置转轴的位置 实质与转动惯量有关的只有实质与转动惯量有关的只有前前两个因素两个因素。形状即。形状即质量分布质量分布，与与转轴的位置转轴的位置结合决定转轴到结合决定转轴到每个质元的矢径。每个质元的矢径。注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量16平行轴定理平行轴定理例例3中中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量表示相对通过质心

9、的轴的转动惯量, JA表示相表示相对通过棒端的轴的转动惯量对通过棒端的轴的转动惯量.两轴平行两轴平行,相距相距L/2.可见可见:222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行,相距为相距为d,刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J,则有：则有：JJCmd2.这个结论这个结论称为称为平行轴定理平行轴定理.171819 右图所示刚体对经过棒端右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？(棒长为棒长为L、球半、球半径为径为R）2131LmJLL 252RmJoo 2002

10、002)(RLmJdmJJL 2225231)(RLmRmLmJooL LmOm20四、四、 转动定律应用举例转动定律应用举例例例1 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角时的速度和此时滑轮的角速度。速度。mg21MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解： Rama

11、Tmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 22例例2、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。解：解：棒下摆为加速过程，外棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对轴该质量元的重力对轴的元力矩为的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdml

12、dM coscos 23重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2331212 coscos LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得24 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 25一）一） 力矩的功力矩的功 MdrdFdsFrdFdA 式中式中 cosFF rFM MdA力矩做功是力做功的角量表达式力矩做

13、功是力做功的角量表达式.FrPOdrd Z26比较比较：221 mvEk 二）二） 转动动能转动动能2222121 iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 27三）三） 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理ddJdtdddJdtdJJM 2121 dJdM21222121 JJ 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定

14、理刚体定轴转动的动能定理A21222121 JJ 28若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守内其他非保守内力不做功力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 29例例1、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时棒的中点和端点棒的中点和端点A的的速度。速度。（用（用刚体定轴转动的动刚体定轴转动的动能定理

15、求解能定理求解）解：解：常常量量 CmghJE221 CmghJ2210初始时角速度为初始时角速度为0，势能为，势能为0sin22102LmgJ231mLJ LgJmgL sinsin3 mgl OArv30一）一） 力矩的功力矩的功 MdA二）二） 转动动能转动动能2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 三）三） 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理A21222121 JJ 刚体在重力场中机械能守恒刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 31一）一） 质点的角动量质点的角动量OLmrp 角动量角动量又称又称动量矩动量矩.vmrprL sinrmvL

16、JmrrmvL 2 JL 若质点绕某固定轴若质点绕某固定轴O作圆周运动作圆周运动, 则则:32二）二） 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该定轴作圆周运动角速度绕该定轴作圆周运动. 2iiirmL 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积与角速度的乘积. ziiiiizJrmLL 2 zzJL 33三）三） 刚体的角动量定理刚体的角动量定理dtdJJM dtLdJdtdM )( 000 JJLddtMLLtt 冲量矩冲量矩,又叫又叫角动量角动

17、量.外力矩对系统的角冲量外力矩对系统的角冲量(冲量矩冲量矩)等于角动量的增量等于角动量的增量.若若J可以改变可以改变,则则0000 JJLddtMLLtt 34四）四） 角动量守恒定律及其应用角动量守恒定律及其应用0 M00 JJJ 或或常常矢矢量量角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。00,0 则则时时，当当JJM当物体所受的合外力矩为零时当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保物体的角动量保持不变持不变.这一结论称为这一结论称为角动量守恒定律角动量守恒定律.000 JJdtMtt 352、转动惯量可变的物体。、转