第3章一元函数积分学7-12(微积分基本定理)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A3.2.4 3.2.4 牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式3.2 3.2 定积分定积分3.2.4 3.2.4 牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 问题的提出问题的提出 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式积分上限函数习例积分上限函数习例2-8 Newton-Leibniz公式公式习例习例9-16 内容小结内容小结微积分基本公式微积分基本公式一、问题的提出一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数

2、与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数 1. 积分上限函数积分上限函数 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的

3、一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，.)()( 00 xadttfx且且abxyo定理定理 如果如果)(xf在在,ba上连续， 则积分上限的函上连续， 则积分上限的函数数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导上具有导数，且它的导数是数是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 2. 积分上限函

4、数的性质积分上限函数的性质xx 证证 dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx , 0 xx 且且),( fx abxyoxx )( x x)(limlim)(00 fxxxx ).()(lim0 xff 结论结论1若若f(x)在在a,b上连续，则原函数一定存在，且上连续，则原函数一定存在，且 xadttfx)()(就是就是f(x)在在a,b上的原函数上的原函数.2sin .xxex分别写出与的一个原函数解解 ,)(

5、22 xatxdtexe的一个原函数是的一个原函数是.sin)( sin xadtttxxx的一个原函数是的一个原函数是例例1 原函数存在定理原函数存在定理结论结论2 ).()()()()()(xxfdttfdttfdxdxaxa 结论结论3 ).()()()()()(xxfdttfdttfdxdbxbx 结论结论4).()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 问问: ?)( badxxfdxd?)( badxxfdbd积分上限函数习例积分上限函数习例 .)cos( 2cossin2dttdxdxx 计算计算例例.0 320202dxdyxydttdtexyt的导数的导数对对所

6、确定的隐函数所确定的隐函数求由求由例例 .,)2)(1( 402求其极值点求其极值点设设例例dxxxyx .lim 521cos02xdtextx 求求例例).()(,)()( ,)( 6xfxFdttxtfxFbaxfxa 证明证明上连续上连续在在若若例例解解dttdxdxx cossin2)cos( )(sin)sincos()(cos)coscos(22 xxxx xxxxcos)sincos(sin)coscos(22 .)cos( 2cossin2dttdxdxx 计算计算例例解解方程两边对方程两边对x求导得，求导得，024222 xyyey.422yyexdxdy .0 32020

7、2dxdyxydttdtexyt的导数的导数对对所确定的隐函数所确定的隐函数求由求由例例 解解,)2)(1(2 xxy, 2, 1, 0 xxy得得令令x)1 ,(1)2 , 1(2), 2(y 00 y. 1 x极小值点为极小值点为.,)2)(1( 402求其极值点求其极值点设设例例dxxxyx 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用型不定式，应用LHospital法则法则.解解 xxexdtexxxtx2)(coslimlim22cos021cos0 xexxx2sinlim2cos0 .21e .lim 521cos02xdtextx 求求例例证证 xaxadtttfdttfxxF)(

8、)()( xadttfxF)()()(xxf )(xxf xadttf)().()(xfxF ).()(,)()( ,)( 6xfxFdttxtfxFbaxfxa 证明证明上连续上连续在在若若例例证证 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()(020 xxdttftxdttfxf)0(, 0)( xxf, 0)(txxf 又又, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx从而从而).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.证证 , 1)(2)(0 dttfxxFx令令,1 , 0上连续上

9、连续在在, 01)0( F且且 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf, 0 ;1 , 00)(上上至至少少有有一一个个解解即即原原方方程程在在由由零零点点定定理理知知 xF, 1)( xf又又, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数.所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.三、三、Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式定理定理2（微积分基本公式微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxf

10、ba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证 ,)()(CdttfxFxa 即即,)(,CaFax 得得令令),()()(aFdttfxFxa ),()()(aFdttfbFbxba 得得再令再令).()()(aFbFdttfba 注意注意: ).()()()( )1(aFbFxFdxxfbaba (2) 当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立. ).()()()( )3(afbfxfdxxfbaba ).()()()(aFbFxFdxxf

11、baba 定积分计算习例定积分计算习例 例例9 . baxdxe计算计算例例10.112 dxx计算计算例例11.)(,31 310 1)(302 dxxfxxxxxf求求设设例例12.231 dxx计算计算例例13.,max222 dxxx计算计算例例14,21 10 )(2 xxxxxf设设 xdttfx0)()(求求.)2 , 0()(,2 , 0内的连续性内的连续性在在并讨论并讨论上的表达式上的表达式在在x 例例15,1 , 0)(上连续且单调不增上连续且单调不增在在设设xf.)()(),1 , 0(100 dxxfadxxfaa有有证证明明对对任任意意的的例例16.)()()(:22

12、 babadxxfabdxxf证明不等式证明不等式例例9. baxdxe计算计算解解 baxbaxedxe .abee 例例10.112 dxx计算计算解解 1212ln1 xdxx. 2ln2ln1ln 注意：注意：21111112 xdxx例例11.)(,31 310 1)(302 dxxfxxxxxf求求设设解解 311030)()()(dxxfdxxfdxxf 31102)3()1(dxxdxx312103)23()3(xxxx )213()299(0)131( .310 例例12.231 dxx计算计算解解 322131222dxxdxxdxx 3221)2()2(dxxdxx322

13、212)22()22(xxxx . 1)42()629()212()24( 例例13.,max222 dxxx计算计算解解,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 例例14,21 10 )(2 xxxxxf设设 xdttfx0)()(求求.)2 , 0()(,2 , 0内的连续性内的连续性在在并讨论并讨论上的表达式上的表达式在在x 解解 ,10时时当当 x xdttfx0)()( xdtt02;33x ,21时时当当 x xdttfx0)()( xtdtdtt1102.6122 x 21 61210 3)(23xxxxx,)(

14、,2110连续连续时时或或当当xxx ,313lim)(lim311 xxxx而而,31)612(lim)(lim211 xxxx,31)1( .)2 , 0()(内的连续内的连续在在x 例例15,1 , 0)(上连续且单调不增上连续且单调不增在在设设xf.)()(),1 , 0(100 dxxfadxxfaa有有证证明明对对任任意意的的证证 )10( ,)(1)(0 adxxfaaa 设设.)()1(10 dxxf 且且20)()()(adxxfaafaa 200)()(adxxfdxafaa 20)()(adxxfafa )0( )()(axxfaf . 0 .)(单调递减单调递减a ).1()( a故故.)()(100 dxxfadxxfa即即例例16.)()()(:22 babadxxfabdxxf证明不等式证明不等式证证,)()()()(22 xaxadttfaxdttfxF设设, 0)( aF则则 xadttfxfxF)()(2)( xadttf)(2)()(2xfax xadttfxf)()(2 xadttf)(2 xadtxf)(2 xadtxftfxftf)()()(2)(22 xadtxftf2)()(. 0 .)(单调递减单调递减故故xF. 0)()(, aFbFab时时当当3.微积分基本公式微积分基本公式