第十章无穷级数

1、1第十章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质第二节 数项级数的审敛法第三节 幂级数第四节 函数的幂级数展开第五节 傅里叶级数2 公元前五世纪公元前五世纪, ,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺( (ZenoZeno) )用他的无穷、连续以及部分和的知识用他的无穷、连续以及部分和的知识, ,引发出以下著名的悖论：引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯如果让阿基里斯( (AchillesAchilles, ,古希腊神话中善跑的英雄古希腊神话中善跑的英雄) )和和乌龟之间举行一场赛跑乌龟之间举行一场赛跑, ,让乌龟在阿基里斯前头让乌龟在阿基里斯前头10001000米开始米开

2、始, ,假假定阿基里斯能够跑得比乌龟快定阿基里斯能够跑得比乌龟快1010倍倍, ,也永远也追不上乌龟也永远也追不上乌龟. .齐诺齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候的理论依据是：当比赛开始的时候, ,阿基里斯跑了阿基里斯跑了10001000米米, ,此时此时乌龟仍然前于他乌龟仍然前于他100100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100100米时米时, ,乌龟乌龟仍然前于他仍然前于他1010米米, , , 如此分析下去如此分析下去, ,显然阿基里斯离乌龟越来越近显然阿基里斯离乌龟越来越近, ,但却是永远但却是永远也追不上乌龟的也追不上乌龟的. .这个结论显然是错误的这个结论显然是错

3、误的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,这种推理这种推理在逻辑上却没有任何毛病在逻辑上却没有任何毛病. .那么那么, ,问题究竟出在哪儿呢？问题究竟出在哪儿呢？ 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟3第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, ,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具计算的一种工具. . 一、级数的基本概念一、级数的基本概念 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正

4、 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即41 1、级数的定义、级数的定义: : nnnuuuuu3211 (常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuuS121级数的部分和级数的部分和,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 5当当 n时时, ,如果级数如果级数 1nnu的部分和数列的部分和数列nS有极限有极限S , , 如果数列如果数列nS没有极限没有极限, ,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散. . 2 2、级数的收敛与发散、级数的收敛与发散: :即即 SSnn lim, ,则则称称无无穷穷级级数数

5、 1nnu收收敛敛, , 这这时时极极限限S叫叫做做级级数数 1nnu的的和和，并并写写成成 Sunn 16解解，如果如果1 q12 nnaqaqaqaS，qaqan 1,1|时时当当 q0lim nnqqaSnn 1lim,1|时时当当 q nnqlim nnSlim收敛收敛发散发散例例1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) 1211nnnaqaqaqaaq)0( a的收敛性的收敛性. . 7，如如果果1| q,1时时当当 q,1时时当当 q naSn 发散发散 aaaa级级数数变变为为,lim 不不存存在在nnS 发散发散 综上所述综上所述, ,qa 1 发发散散当当

6、收收敛敛当当时时时时,1|,1|11qqaqnn 1211nnnaqaqaqaaq)0( a8 公元前五世纪公元前五世纪, ,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺( (ZenoZeno) )用他的无穷、连续以及部分和的知识用他的无穷、连续以及部分和的知识, ,引发出以下著名的悖论：引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯如果让阿基里斯( (AchillesAchilles, ,古希腊神话中善跑的英雄古希腊神话中善跑的英雄) )和和乌龟之间举行一场赛跑乌龟之间举行一场赛跑, ,让乌龟在阿基里斯前头让乌龟在阿基里斯前头10001000米开始米开始, ,假假定阿基里斯能够跑得比乌龟

7、快定阿基里斯能够跑得比乌龟快1010倍倍, ,也永远也追不上乌龟也永远也追不上乌龟. .齐诺齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候的理论依据是：当比赛开始的时候, ,阿基里斯跑了阿基里斯跑了10001000米米, ,此时此时乌龟仍然前于他乌龟仍然前于他100100米；当阿基里斯跑了下一个米；当阿基里斯跑了下一个100100米时米时, ,乌龟乌龟仍然前于他仍然前于他1010米米, , , 如此分析下去如此分析下去, ,显然阿基里斯离乌龟越来越近显然阿基里斯离乌龟越来越近, ,但却是永远但却是永远也追不上乌龟的也追不上乌龟的. .这个结论显然是错误的这个结论显然是错误的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,

8、这种推理这种推理在逻辑上却没有任何毛病在逻辑上却没有任何毛病. .那么那么, ,问题究竟出在哪儿呢？问题究竟出在哪儿呢？ 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟9 如果我们从级数的角度来分析这个问题如果我们从级数的角度来分析这个问题, ,齐诺的这个悖论齐诺的这个悖论就会不攻自破就会不攻自破. . 设设乌乌龟龟的的速速度度为为v, ,则则阿阿基基里里斯斯的的速速度度为为1 10 0v, ,他他跑跑完完1 10 00 00 0米米所所化化的的时时间间为为vv100101000 , ,在在这这段段时时间间里里, ,乌乌龟龟又又爬爬了了100100 vv米米, , 阿阿基基里里斯斯为为跑跑完完这

9、这段段路路又又花花费费时时间间vv1010100 , ,此此时时乌乌龟龟又又在在他他前前面面1 10 0 米米处处, , ,依依次次类类推推, ,阿阿基基里里斯斯需需要要追追赶赶的的全全部部路路程程为为 101001000这这是是一一个个公公比比为为1101 q的的几几何何级级数数, ,易易求求得得它它的的和和为为 ，91111191000010111000 10也也就就是是说说, ,如如果果赛赛程程比比这这个个距距离离短短, ,则则乌乌龟龟胜胜；如如果果赛赛程程恰恰好好等等于于这这个个距距离离, ,则则双双方方平平分分秋秋色色； 否否则则, ,阿阿基基里里斯斯就就要要在在距距离离起起点点91

10、1111处处追追上上并并超超过过乌乌龟龟. . ，91111191000010111000 11解解)12)(12(1 nnun, )121121(21 nn)12()12(1531311 nnSn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21 n.21, 且且和和为为级级数数收收敛敛,)(21 n例例2 2讨论无穷级数讨论无穷级数 )12()12(1531311nn的收敛性的收敛性. . 12讨论讨论级数级数 1)11ln(nn的敛散性的敛散性. . nnln) 1ln( , 所所以以 解解例例3 3)11ln(nun )1ln( nnnSnln) 1ln(2ln3

11、ln1ln2ln n所以级数发散所以级数发散. . 13级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则必必有有0lim nnu. . 证明证明，SSnn lim,1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSuSS .0 1limlim nnnnSS定理定理14若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则必必有有0lim nnu. . 说明说明：1 1、如果级数的一般项不趋于零、如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散；则级数发散； 1)1(4332211nnn例例如如 级数级数发散；发散；,0nu所所以以,1|nu n2cos8cos4cos2cos ，再再如如

12、,012coslim n 级数级数发散。发散。152 2、必要条件不充分：、必要条件不充分：若若0lim nnu, ,级级数数却却不不一一定定收收敛敛. . 再举一个重要例子：再举一个重要例子： 11312111nnn , , 01lim nn, ,但级数是否收敛但级数是否收敛? ? 如如 1)11ln(nn: : , )(0)11ln( nn 但级数发散。但级数发散。 调和级数调和级数 16讨论讨论nnnSSnn2121112 nn2 .,S其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛）（nnnSS 2limSS ,0 .级级数数发发散散,210 便有便有于是于是矛盾，矛盾， 1131211

13、1nnn , , 调和级数调和级数 ,21 17二、收敛级数的基本性质二、收敛级数的基本性质如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛，且且有有 .11 nnnnukku如果级数如果级数 1nnu、 1nnv都收敛都收敛, ,则则 1)(nnnvu .)111 nnnnnnnvuvu（也收敛也收敛, ,且有且有由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。思考：可逆吗？思考：可逆吗？性质性质1性质性质218说明：说明：( (1 1) ) 不不能能由由 1)(nnnvu收收敛敛推推出出 1nnu、 1nnv收收敛敛； ( (2

14、2) ) 若若 1nnu收收敛敛, ,而而 1nnv发发散散, ,则则 1)(nnnvu必必发发散散. . 证证假设假设 1)(nnnvu收敛收敛, , 由由 nnnnuvuv )(, , 而而已已知知 1nnu收收敛敛, , 由由上上述述性性质质得得 1nnv收收敛敛, , 矛盾矛盾. .所所以以 1)(nnnvu 发发散散. . 19去掉、添加或改变级数中的有限项去掉、添加或改变级数中的有限项, ,不会影不会影响它的敛散性响它的敛散性( (但收敛级数的和可能要改变但收敛级数的和可能要改变).). 性质性质3性质性质4 收敛收敛级数级数任意加括号后仍收敛任意加括号后仍收敛, ,且其和不变且其

15、和不变. . 证证记级数记级数 1nnu的部分和数列为的部分和数列为 nkknuS1, , 加加括括号号后后的的级级数数的的部部分分和和数数列列记记为为 nA, , )()()(987654321uuuuuuuuu,21SA ,52SA ,93SA 因为部分和数列只相差一个常数。因为部分和数列只相差一个常数。例如，例如，20性质性质4收敛收敛级数级数任意加括号后仍收敛任意加括号后仍收敛, ,且其和不变且其和不变. . 续证续证则则nA实际上是实际上是nS的一个子数列的一个子数列, , 故故由由nS的的收收敛敛性性可可知知nA的的收收敛敛性性, ,且且其其极极限限不不变变. . 注注收敛级数去括

16、弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散,则原级则原级数也发散数也发散. . 例如例如例如，例如，若级数若级数 1nnu收敛，收敛， 1212)(nnnuu、 131323)(nnnnuuu均均收收敛敛， 则级数则级数 且和不变且和不变. .211 1. . 0)4531(nnn 649 . . 例例4 4判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性： 因为因为,310 nn 041nn都收敛，都收敛， 故原级数收敛，故原级数收敛，解解且和为且和为 0)4531(nnn 0041531nnnn4

17、1153111 222 2. . 11005110321nn 3 3. . n21614121 1121nn例例4 4判断下列级数的敛散性：判断下列级数的敛散性： 收敛；收敛；发散。发散。23第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 1 1、定义：、定义：，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数. .2 2、正项级数收敛的充要条件：、正项级数收敛的充要条件：定理定理一、正项级数的收敛问题一、正项级数的收敛问题 正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列nS有有上上界界. . 这这是是因因为为0

18、 nu, ,所所以以nS单单调调不不减减, ,因因此此它它有有极极限限当当且且仅仅当当它它有有上上界界. . 24且且), 2, 1( nvunn, , 证明证明,1 nkknuS设设, nnvu . 1收敛收敛 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu则则 ( (1 1) ) 若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； (2) (2) 若若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. . 比较审敛法比较审敛法定理定理,1 nkknvT, nnTS (1)(1), 2 , 1( n因因为为 1nnv收收敛敛，所所以以nT有有上上界界 M， , MTSnn 所所以以

19、nS也也有有上上界界 M， 25(2)(2)是是(1)(1)的等价命题的等价命题. . 从某项起从某项起, ,恒有恒有nnkvu , ,)0( k. . 注注：定理的条件可放宽为：定理的条件可放宽为： 且且), 2, 1( nvunn, , 证明证明均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu则则 ( (1 1) ) 若若 1nnv收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛； (2) (2) 若若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. . 比较审敛法比较审敛法定理定理26判判断断级级数数 121sinnn的的收收敛敛性性. . 因为因为 nn2121sin0 , , 而而 121nn

20、收收敛敛, , 解解例例1 1所以原级数收敛所以原级数收敛. . , |sin|xx Rx 27讨讨论论p- -级级数数 11npn的的收收敛敛性性( (0 p) ). . oyx)1(1 pxyp1234当当1 p时时, , 而而调调和和级级数数 11nn发发散散, , 故故原原级级数数发发散散； 当当1 p时时, ,用用积积分分判判别别法法: : 当当nxn 1时时, ,ppxn11 , , 于于是是有有 nnppnxn1d1 nnpxx1d 解解例例2 2，nnp11 28故故当当1 p时时, , 11npn收收敛敛. . nnppnxn1d1 nnpxx1d 所以所以 nkkkpnkp

21、xxk212d11xxnpd11 )11(111 pnp,11 p于是于是,11111 pkSnkpn29总总结结: : 发发散散收收敛敛 10 1 11ppnnp 重要参考级数：重要参考级数：几何级数几何级数, , p- -级数级数, , 调和级数调和级数. .比较：比较： 发散发散收敛收敛，10 1 d11ppxxp30因因为为nn111 , , 而而 21nn发发散散, , （但（但 211nn如何？）如何？） 因因为为22111nn , , 而而 121nn收收敛敛, , （但但 2211nn如如何何？） 解解例例3 3 211nn例例4 4 1211nn解解所以原级数发散。所以原级数

22、发散。所以原级数收敛。所以原级数收敛。例例8-138-1331, ,设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果,limlvunnn , ,当当时时; ;则则(1) (1) 两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 l0 (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, ,则则 1nnu发散发散; ; l (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, ,则则收敛收敛; ;0 l 1nnv 1nnu比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：32证明证明,0lim )1( lvunnn由由, 02 l 取取,N ,时时当当Nn ，有有2| llvunn )(232Nnvl

23、uvlnnn 即即由比较判别法由比较判别法, 可知两级数有相同的敛散性可知两级数有相同的敛散性.,22 llvullnn 33由由极极限限定定义义, ,取取1 , ,存存在在自自然然数数N, , 当当Nn 时时, ,恒有恒有1 nnvu, , 即即 nnvu , , 当当 1nnv收敛时收敛时, , 1nnu也收敛。也收敛。 证明证明,0lim )2( nnnvu若若由比较由比较判别判别法可知法可知, , ( (注意：注意：不可逆不可逆) )； ,lim )3( nnnvu若若,0lim nnnuv则则由由(2)即得结论即得结论. . 34而而 21nn发散发散, , 例例5 5 111nn，

24、1111lim nnn例例6 6 2211nn，1111lim22 nnn例例7 7 1211nnn，1111lim2 nnnn例例8 8 12)11ln(nn，11)11ln(lim22 nnn所以原级数发散。所以原级数发散。收敛收敛发散发散收敛收敛35常用等价无穷小：常用等价无穷小：,0时时当当x,sinxx,)1ln(xx ,tanxxxx 1)1 ( ,1exx 221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx36例例9 9解解设设常常数数0 p, ,试试判判别别级级数数 11lnnppnn的的敛敛散散性性。 111lnlim pppnnnn所所以以原原级级数数当当1 p时时收

25、收敛敛，当当10 p 时时发发散散。 例例1010 1)cos1(nn 21)cos1(limnnn 221)(21limnnn ,22 收敛。收敛。解解37而而 131nn收敛收敛, , 故故原原级级数数收收敛敛. 例例1111 131nnn，13131lim nnnnnnnn3131lim nnnn 33limnnn311lim nnn3lim xxx3lim 3ln31limxx .0 .1 38讨讨论论 21nnan的的敛敛散散性性. .)0( a ( (1 1) ) 当当1 a时时, , 而而 21nna收收敛敛, , 故故原原级级数数收收敛敛； ( (2 2) ) 当当10 a时时

26、, , 故故级级数数发发散散. . 例例1212解解，111lim nnnaan,111lim nannn39试试证证：均均收收敛敛与与设设正正项项级级数数,11 nnnnvu证证 11均均收收敛敛，与与 nnnnvu, )1(212nununn , )(21nnnnvuvu 收收敛敛。 1 nnnu例例1313，收收敛敛 121 nn由基本不等式由基本不等式，收收敛敛且且已已知知 1 nnu.1收敛收敛 nnnvu, )( 1收收敛敛nnnvu 也也收收敛敛。收收敛敛， 11nnnnnnuvu40设设 1nnu是是正正项项级级数数, , 若若 nnnuu1lim, ,则则 （1 1）1 时时

27、级级数数收收敛敛; ; 比值判别法比值判别法 (达朗贝尔达朗贝尔 DAlembert 判别法判别法) （2 2）1 时时级级数数发发散散; ; （3 3）1 时时级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. . ,11发发散散级级数数 nn,112收收敛敛级级数数 nn) 1( 证略证略. .41!1)!1(11nnuunn 11 n0 n121 n, 例例1414 1! 1nn 12nnn例例1515nnuunnnn22111 nn121 收敛收敛. .解解收敛收敛. .解解,1 42实实际际上上, ,且且和和为为21 s. . 例例1616 1)12)(12(1nnn解解)12)(12(

28、1)32)(12(11 nnnnuunn, 1 n所以用比值法无法判断所以用比值法无法判断. .用比较法用比较法, ,，411)12)(12(1lim2 nnnn收敛收敛. .43nnnuu1lim 1)11(12lim nnnnn 1e1 , 解解例例1717 11)!1(nnnn12)!1()1()!2(lim nnnnnnn收敛收敛. .44假假设设0 , ,讨讨论论 11npnn 的的收收敛敛性性. . （1 1）若若1 , ,则则级级数数收收敛敛； （2 2）若若1 , ,则则级级数数发发散散； （3 3）若若1 , , 原原级级数数为为 111npn, , 则则1 p时收敛时收敛,

29、 , 1 p时时发发散散. . 例例1818解解nppnnnnnuu 11)1(11 1)1(1 ppnn ， n45设设 1nnu是是正正项项级级数数, , 如果如果 nnnulim, ,则则 根值判别法根值判别法 (柯西柯西Cauchy判别法判别法)： （1 1）1 时时级级数数收收敛敛; ; （2 2）1 时时级级数数发发散散; ; （3 3）1 时时级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. . 证略证略. .46例例1919解解12limlim nnunnnn21 1)12(nnnn，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 例例2020 112)13(nnnn解解nnnnnnnnu1

30、2)13(limlim 91 ，1 所以级数收敛所以级数收敛. . 47 12nnn例例2121收敛收敛. .解解2limlimnnnnnnu ,121 nnn limxxx1lim xxxlnlime xx1lime .1e0 48二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义：正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数. .nnnu 11)1(定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) ) 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件)0( nu其其中中（1 1）1 nnuu, ,即即nu单单调调减减少少； （2 2）0lim nnu, , 则则交交错错级级数数 11

31、)1(nnnu收收敛敛, , 且其和且其和1uS . . 称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 49由条件由条件(1)(1)可知可知, , mmmmuuuuuuuuS21222543212)()()( 1u , 即即 2mS有有上上界界, , 故故2mS收收敛敛, , 记记 SSmm 2lim, , 显显然然有有 1uS . . 而而 12212 mmmuSS, , 由由条条件件( (2 2) )可可知知, , SSmm 12lim, , 得得 SSnn lim, 即即原原级级数数收收敛敛, , 且且其其和和1uS . . , )()()(21243212mmmuuuuuuS 证证所以所以2mS单

32、调单调不不减减； kkuu212 , , 另一方面另一方面, , 50nnnu 11)1(定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) ) 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件)0( nu其中其中（1 1）1 nnuu, ,即即nu单单调调减减少少； （2 2）0lim nnu, , 则则交交错错级级数数 11)1(nnnu收收敛敛, , 且其和且其和1uS . . 注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件敛的充分条件，而非必要条件. . 51 n1单调减少单调减少, , 且且 01lim nn, , 111)1(n

33、pnn 例例2222 41312111)1(11nnn解解这是交错级数这是交错级数, , 由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p级数级数. . 当当0 p时时， ,01lim1 pnpnn单单调调减减少少且且所以级数收敛。所以级数收敛。52判别级数判别级数 21)1(nnnn的收敛性的收敛性. . 解解,1)( xxxf设设)2( x,1)(单单调调减减少少故故函函数数 xxxf1limlim nnunnn又又, 0 所以级数收敛所以级数收敛.所所以以数数列列 1nn单单调调减减少少, , 例例23232)1(2)1()( xxxxf则则,

34、0 53三、任意项级数的三、任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义：定义：正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数. .例例如如, , 1211)1(nnn绝绝对对收收敛敛, , 而而 111)1(nnn条件收敛条件收敛. . 定义定义 若若 1|nnu收敛收敛, ,则称则称 1nnu绝对收敛绝对收敛； 若若 1|nnu发发散散, , 但但 1nnu收收敛敛, ,则则称称 1nnu条条件件收收敛敛. . 54若若 1|nnu收收敛敛, ,则则 1nnu收收敛敛. . 证明证明令令 )|(|21nnnuuu 即即 1nnu为为 1nnu的的所所有

35、有非非负负项项组组成成的的级级数数, , 显显然然 |nnuu , , 1nnu收收敛敛, , 而而 |2nnnuuu , , 由由 1|nnu的的收收敛敛性性可可知知, , 1nnu收收敛敛. . ， 0 , 00 ,nnnuuu, 2 , 1 n定理：定理：由正项级数的比较由正项级数的比较判别判别法可知法可知, , 55上上述述定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数( (1 1) ) 定定理理不不可可逆逆, , 如如 111) 1(nnn收收敛敛, , 但但 11nn发散发散; ; ( (2 2) ) 若若 1|nnu发发散散, , 不不能能推推出出 1nnu发发散散

36、, , 但如果是用但如果是用比值判别法比值判别法或或根值判别法根值判别法判定判定 1|nnu发散发散, , 则则立立刻刻可可以以断断定定 1nnu发发散散， 从从而而 nu也也不不趋趋向向于于零零. . 说明：说明：一一般般项项 |nu不不趋趋向向于于零零, , 这是因为它们的依据是这是因为它们的依据是 如上例；如上例； 56因因为为221sinnnn , , 而而 121nn收收敛敛, , 例例2424例例2525 12sinnnn 的绝对收敛的绝对收敛, ,条件收敛或发散性条件收敛或发散性. . 判定判定解解故原级数绝对收敛故原级数绝对收敛. . 121131)1(nnnnn判定判定的绝对

37、收敛的绝对收敛, ,条件条件收敛或发散性收敛或发散性. . 解解nnnnu)11(31| e31 n，1 绝对收敛绝对收敛. . 57例例2626若若1 , ,则则原原级级数数发发散散； 若若1 , ,原原级级数数为为 1)1(npnn, , 因因此此当当1 p时时绝绝对对收收敛敛； 当当10 p时条件收敛时条件收敛. . 设设0, 0 p, ,讨讨论论 1)(npnn 的的收收敛敛性性. . 若若1 , ,则则原原级级数数绝绝对对收收敛敛； 解解nnnuu1lim ppnnnnn)1(lim1 , 58？条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛敛敛？如如果果收收敛敛，是是是是否否收收判判断断

38、级级数数 1ln)1( nnnn例例2727解解,11发发散散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xxnnnn1ln1lim nnnln11lim ,1 59,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnnnnnln1lim , )0(ln)( xxxxf令令, ) 1(011)( xxxf则则nnnnln11lim ,0 ,), 1()(上单增上单增在在xf,1ln1时时单单减减当当故故数数列列 nnn由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理, 此交错级数收敛，此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级

39、数是条件收敛60讨讨论论级级数数) 1( 111 xxnn的的收收敛敛范范围围. . 若若1| x, , 则则 0111lim nnx, , 若若1| x, , 则则 1111limlim nnnnnnxxuu 最最后后, ,若若1 x, ,则则 21 nu, ,发发散散. . 所所以以级级数数的的收收敛敛范范围围为为1| x. . 例例2828解解|1x ，1 所以级数发散；所以级数发散；故原级数绝对收敛；故原级数绝对收敛；61小结小结正正 项项 级级 数数任任 意意 项项 级级 数数判判别别法法4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱

40、布尼茨定理莱布尼茨定理)3. 按基本性质按基本性质;1.;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则则级级数数发发散散当当 nun2.7.根值法根值法62第三节第三节 幂级数幂级数 1 1、定义：、定义：设设),(,),(),(21xuxuxun是定义在是定义在RI 上的上的函数函数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn 称为定义在区间称为定义在区间I上的上的( (函数项函数项) )无穷级数无穷级数. . ,120 xxxnn例例如如级级数数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念632 2、收敛点与收敛域：、收敛点与收敛域：如如果果Ix 0, ,数数项项级级数数

41、10)(nnxu收收敛敛, , 则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, , 函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, , 3 3、和函数：、和函数： )()()()(21xuxuxuxSn在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数)(xS, , 称称)(xS为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. . 64求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域. 解解由达朗贝尔判别法，由达朗贝尔判别法，| )(| )(|1xuxunn |1|11xnn )(|1|1 nx, 1|1

42、|1)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 1|1| x例例1 165, 1|1|1)2( x当当, 1|1| x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级级数数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故故级级数数的的收收敛敛域域为为, 1|1|)3( x当当,20 xx或或求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域. 解解例例1 166二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1 1、幂级数的定义、幂级数的定义其其中中na称称为为幂幂级级数数系系数数. nnnxxa)(00 nnxx

43、axxaa)()(0010 010nnnnnxaxaxaa级数级数称称为为关关于于0 xx 的的幂幂级级数数； 特特别别，取取00 x， 称为关于称为关于x的幂级数。的幂级数。672 2、幂级数的收敛半径和收敛域、幂级数的收敛半径和收敛域,120 xxxnn例例如如级级数数;,1|收收敛敛时时当当 x;,1|发发散散时时当当 x. )1 , 1( 收敛域收敛域显显然然，任任何何幂幂级级数数 0nnnxa在在0 x处处收收敛敛； 下下面面证证明明，在在不不考考虑虑端端点点的的情情况况下下， 0nnnxa的的收收敛敛域域关关于于原原点点对对称称。 68( (1 1) ) 如如果果级级数数 0nnn

44、xa在在)0(11 xxx处处收收敛敛, , ( (2 2) ) 如如果果级级数数 0nnnxa在在2xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式|2xx 的的一一切切 x 处处发发散散. . 证证, 0lim 1 nnnxa, )1(01收敛收敛 nnnxaO1x定理定理 ( (阿贝尔阿贝尔Abel定理定理) ) 则则它它在在满满足足不不等等式式|1xx 的的一一切切 x 处处绝绝对对收收敛敛； 69), 2 , 1 , 0(|1 nMxann使使得得, 0 M|11nnnnnnxxxaxa nnnxxxa|11 nxxM|1 |,|1xx ,| 01收收敛敛等等比比级级数数 n

45、nxxM, |0收收敛敛 nnnxa;)(0收收敛敛绝绝对对因因此此级级数数 nnnxa由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知, , 证证,0lim 1 nnnxa, )1(01收敛收敛 nnnxa70, )2(2时时级级数数发发散散设设当当xx 假假如如有有一一点点0 x适适合合|20 xx 使使级级数数收收敛敛, , 则则级级数数当当2xx 时时应应收收敛敛, 由由(1)结论结论,xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域这与所设矛盾这与所设矛盾. . 71幂级数幂级数 0nnnxa的收敛情况必为以下三种情形之一：的收敛情况必为以下三种情形之一：

46、 （1 1）仅仅在在0 x处处收收敛敛； （2 2）在在整整个个数数轴轴上上收收敛敛； （3 3）0 R, ,在在Rx |处处绝绝对对收收敛敛, ,在在Rx |处处发发散散, ,在在Rx |处处可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. . 此时正数此时正数 R 称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.0 R规定规定, R收收敛敛域域 ),(. (1) 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛: (2) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛: : 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?72如如果果幂幂级级数数 0nnnxa的的所所有有系系数数0 na, 则则幂幂级级数数 0nnn

47、xa的的收收敛敛半半径径为为 设设 |lim1nnnaa (或或 nnna |lim) 定理定理 , 00 , 0 , 1/R|lim1 nnnaaR简单地讲，就是简单地讲，就是73证证应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法，对对级级数数 0|nnnxa|lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn , | x (1) (1) 如果如果0 当当 1| x时时, , 0nnnxa发发散散； 当当 1| x时时, , 0nnnxa绝绝对对收收敛敛； 故故0 时时, , 1 R； |lim1nnnaa74, 0 )2( 如果如果.)(0收收敛敛绝绝对对级级数数 nnnxa; R收收敛敛半半径径

48、, )3( 如如果果. 0 R收收敛敛半半径径证毕证毕.则对则对0 x, , 则对则对0 x, , 级数级数 0nnnxa发散，发散， ,10 , |lim1nnnaa|lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn |lim11nnnnnxaxa |lim1xaannn 75求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域. . 1 x时时, , 级级数数为为 01nn, , 1 x时时, , 级级数数为为 0)1(nnn, , 收收敛敛域域为为) 1, 1 . . 例例1 1 0nnnx解解|lim1 nnnaaR，11lim nnn发散；发散；收敛。收敛。76一般，一般

49、，,0 npnnx，1)1(lim ppnnn求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域. . 例例1 1若若1 p, , 收收敛敛域域为为1, 1 ； 若若10 p, , 收收敛敛域域为为)1, 1 ； 若若0 p, , 收收敛敛域域为为)1, 1( . . |lim1 nnnaaR77即即收收敛敛域域为为),(. . 0! )1(!lim nnRn, 仅仅在在0 x处处收收敛敛. . 例例2 2解解 0! nnnx! )1(1! 1lim nnRn)1(lim nn例例3 3nnxn ! 0 解解， 78例例4 4求求幂幂级级数数 1)3(5nnnnxn的的收收敛敛半半径

50、径及及收收敛敛域域。 解解收敛半径为收敛半径为 |lim1 nnnaaR,51 x,)53()1(1 nnnn收敛；收敛；,51 x,)53(11 nnn发散发散. . 收收敛敛域域为为 )51,51 。 11)3(51)3(5lim nnnnnnn,51 79122lim1 nnnnn，21 ,21|21|收收敛敛即即 x,)1 , 0(收收敛敛 x.)21(2)1(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级级数数为为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为 (0, 1.例例5 5解解nnn21lim |lim1 nnnaaR80求求幂幂级级数数

51、 1122nnnx的的收收敛敛域域. 3523222xxx级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项|)()(|lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,|212x 级数收敛；级数收敛；,1212 x当当,2|时时即即 x例例6 6解解直接应用达朗贝尔判别法，直接应用达朗贝尔判别法，81,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为).2, 2( 一一般般, ,若若 0nnnxa的的收收敛敛半半径径为为R , , 则则 02nnnxa及及 012nnnxa的的收收敛敛半半径径为为R. . 1122nnnx级数收敛；级数收敛；

52、,1212 x当当,2|时时即即 x级数发散；级数发散；,1212 x当当,2|时时即即 x823 3、幂级数和函数的性质、幂级数和函数的性质设设幂幂级级数数 0nnnxa的的收收敛敛半半径径为为R, , 收收敛敛域域为为D, ,且且和和函函数数为为)(xS. .下下面面介介绍绍)(xS的的三三个个性性质质. . 性性质质 1 1 )(xS在在 0nnnxa的的收收敛敛域域D内内连连续续. . 性性质质2 2 )(xS在在 0nnnxa的的收收敛敛域域D内内可可积积, ,且且有有逐逐项项积积分分公公式式： xxxS0d)( 00dnxnnxxa，101 nnnxna且收敛半径仍为且收敛半径仍为

53、R. . xnnnxxa00d)(83性性质质 3 3 )(xS在在),(RR 内内可可导导, ,且且有有逐逐项项求求导导公公式式： 0)()(nnnxaxS 0)(nnnxa， 11nnnxna注注: : ( (1 1) ) 实实际际上上, ,)(xS在在),(RR 内内任任意意阶阶可可导导. . 且收敛半径仍为且收敛半径仍为R. . (2) (2) 逐项积分或求导后逐项积分或求导后, ,端点处的收敛性端点处的收敛性可能可能发生发生如下如下变化变化： 逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。逐项求导后，原来收敛的端点可

54、能变发散。84xxnn 110,1| x 例例1 1逐项求导逐项求导, , 11nnnx1| x再再逐项求导逐项求导, , 22)1(nnxnn1| x)11( x,)1(12x ,)1(23x 85例例1 1xxnn 110,1| x xnnxx00d 11nnxn)1, 1 x xxx0d11, )1ln(x 逐项逐项积分积分, , 注注意意: :在在1 x处处, , 0nnx发发散散, ,但但 11nnxn收收敛敛, , 1)1(nnn1)1ln( xx nn)1(4131211.2ln 0111nnxn 00dnxnxx86换元，换元， 0)(nnx,11x 1| x 02)1(nnn

55、x,112x 1| x再逐项积分，再逐项积分， 01212)1(nnnxn,arctanx 1| x例例1 1xxnn 110,1| x 02)(nnx87求求幂幂级级数数 03) 1(nnnnx的的和和函函数数. . 例例2 2解解 03)1(nnnnx 0)3(nnx)3(11x ,33x xxnn 110,1| x 1|3| x3| x88收收敛敛半半径径为为1 R, , 1 1、解解)1, 1 x逐项求导逐项求导, , ,)(1 nnnxxS设设 11)(nnxxS,11x 1| x收收敛敛域域为为)1, 1 , , xxxS0d)(所以所以, )1ln(x ,0)0( S, )1ln

56、()(xxS 例例3 3 求下列幂级数的收敛域及和函数：求下列幂级数的收敛域及和函数： 32321xxxnxnn)0()(SxS xxx0d11892 2、解解收敛半径收敛半径 13nnnnx,3 R收收敛敛域域为为 )3, 3 . . 设设 13)(nnnnxxS, ,逐逐项项求求导导得得 11)3(31)(nnxxS3/1131x ,31x )3, 3( x)0(d)()(0SxxSxSx . )3 , 3 x03d0 xxxxx0)3ln( ,3ln)3ln( x903 3、解解收收敛敛半半径径为为1 R, , 收收敛敛域域为为)1, 1( , , )1, 1( x xnnxxx0112

57、d, )1ln(212xx xxxxx02d1 1122nnnx 122nnnxx 1122nnnx914 4、解解,111 nnnnxnxxn,)1(12x 收收敛敛半半径径为为1 R, , 收收敛敛域域为为)1, 1( , , xxxS0d)()1()( xxxS)1, 1( x 1nnxn,)(11 nnxnxS设设 1nnx,1xx 所以所以)111( x1| x从而从而,)1(21xxxnnn )1, 1( x92 1nnxn 11nnxnx,)1(2xx )(1 nnxx)1( xxx)111( xx)1, 1( x4 4、解解收收敛敛半半径径为为1 R, , 收收敛敛域域为为)1

58、, 1( , , 1nnxn935 5、解解收收敛敛半半径径为为1 R, , 收收敛敛域域为为)1, 1( , , 11)1(nnxnn)(11 nnx)111( xx1| x,)1(23x )1(1 nnxn 11)1(nnxnn94解解 11112)12(nnnnnnxnxxxnxxxxnn 1)(21xxxxx 1)1(2xxxx 1)1(221| x,)1(322xxx 6 6、 1)12(nnxn95求求级级数数 1)32(nnn的的和和. . 例例4 4解解 1)(nnnxxS,)1(2xx 1| x所以所以)32()32(1Snnn .6 由例由例3.43.4知，知，96求求级级

59、数数 13)12()1(nnnn的的和和. . 例例5 5解解 13)12()1(nnnn设设 11212)1()(nnnxnxS， 122)1()(nnnxxS,112x 1| x,arctan)(xxS 1| x积分得积分得所以所以 1123)12()1(31nnnn)31(31S .36 1121)(nnxnxS第四节第四节 函数的幂级数展开函数的幂级数展开一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数泰勒级数、泰勒级数、函数展开成幂级数的步骤函数展开成幂级数的步骤定理、定理、 麦克劳林级数麦克劳林级数展开式的唯一性展开式的唯一性函数函数e ex x 的幂级数展开的幂级

60、数展开函数函数sin sin x x 的幂级数展开的幂级数展开求幂级数展开式的间接展开法求幂级数展开式的间接展开法幂级数展开式小结幂级数展开式小结一、泰勒级数 本节讨论的问题是：给定函数本节讨论的问题是：给定函数f f( (x x) )，要考虑是否能，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数好就是给定的函数f f( (x x) ) 如果能找到这样的幂级数，如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数我们就说，函数f f( (x x) )在该区间内能展开成幂级数在该区间内能展开成幂级数 如果函数如果函数f f( (x x)