估值问题—导数与微分

1、数学中研究导数、数学中研究导数、微分及其应用的部微分及其应用的部分，叫做微分学分，叫做微分学. .研究不定积分、定研究不定积分、定积分及其应用的部积分及其应用的部分，叫做积分学分，叫做积分学. .微积分学微积分学本章介绍导数、微分的概念及其运算法则本章介绍导数、微分的概念及其运算法则.可追溯到可追溯到古希腊和古希腊和我国魏晋我国魏晋时期时期十六世十六世纪应用纪应用萌生萌生第一节函数的局部变化率导数一、导数的概念与几何意义二、可导与连续的关系 三、高阶导数的定义主要内容：一、抽象导数概念的现实原型yxoCM0M原原型型一一平平面面上上曲曲线线的的切切线线：00.CMMCMMM曲曲线线 在在点点处

2、处的的切切线线为为点点沿沿着着曲曲线线 趋趋近近于于点点时时割割线线的的极极限限位位置置0tt 原原型型二二自自由由落落体体 时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度：0tt瞬瞬时时速速度度 0000lim()lim.2tttSvtgttgt 瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限.取取邻邻近近 的的时时刻刻 运运动动时时间间平平均均速速度度0000,().2tttSSSgvttttt 当当时时，取取极极限限得得0tt极极限限存存在在，二、导数的概念与几何意义d d记记作作或或 或或 d d000().xxxxyyfxx 0( )f xx设设函函数数在在点点 的的某某

3、一一邻邻域域内内有有0 xxx 当当 在在处处有有增增量量时时，00()(),yf xxf x ( )f x函函数数有有增增量量导导数数，定定义义0( )yf xx 则则称称该该极极限限值值为为在在处处的的yx 的的定定义义，0 x 若若当当时时，0000( )()()limxxf xf xfxxx 0,xxx 若若令令00 xxx 该该定定义义也也可可以以写写成成若若该该极极限限不不存存在在，则则称称不不可可导导函函数数在在点点 处处0.x00000()()limlimxxxxf xxf xyyxx xyoy = f (x)0()f x x yxx 0 x00MMyx 斜斜率率是是0( )f

4、 x 斜斜率率是是 当当时时，00().yxfxx 注意：注意：00()limxyfxx 是瞬时变化率是瞬时变化率yx 是平均变化率是平均变化率导数是平均变导数是平均变化率的极限化率的极限（1）（2）dydx是表示导数的一个整体符号是表示导数的一个整体符号. .（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反点导数是因变量在这点的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度慢程度. .2、自由落体运动的瞬时速度问题、自由落体运动的瞬时速度问题瞬瞬时时速速度度0000limt tttSSvtt 0( ).S t 1、切线问题、切线问题切切线线的的斜斜率率为为00

5、0( )()limxxf xf xxx 0().fx 回顾原型一与原型二回顾原型一与原型二tank ( )( , )f xa b如如果果函函数数在在区区间间内内的的每每一一定定义义点点都都可可导导，( )( , ).f xa b则则称称函函数数在在区区间间内内可可导导这这时时，( )( , )f xa bx函函数数对对于于区区间间内内每每一一 值值都都对对应应着着一一个个确确定定的的导导数数，( )fxx 则则是是 的的函函数数， 称称为为函函数数，导导数数函函的的( )f x在在不不致致引引起起混混淆淆的的情情况况下下，导导函函数数也也简简称称为为导导数数，d d记记作作或或d d,( ).

6、yyfxx0()( )lim.xf xxf xyx 即即 oxy T导数的几何意义导数的几何意义在在处处的的导导数数是是的的曲曲线线 在在00( )( )yf xxf xCM 000()()yyfxxx 在在点点的的切切线线方方程程是是：0( )f xM0M点点切切线线的的斜斜率率，因因而而C三、由定义求导数步骤步骤: :(1) 求增量求增量00()();yf xxf x (2) 算比值算比值00()();f xxf xyxx (3) 求极限求极限00()lim.xyfxx 算比值算比值例例求求常常数数函函数数的的导导数数1.yC 注：常数的导数等于零注：常数的导数等于零. .解解 因因为为函

7、函数数值值恒恒为为常常数数，所所以以当当自自变变量量从从任任意意一一点点 变变到到时时，函函数数增增量量为为0,xxx 即即从从而而0,0,yyx 于于是是，0( )lim0.xyyCx 求增量求增量求极限求极限例例求求函函数数在在点点处处的的导导数数22( )2.f xxx 4;yxx 00(2)limlim(4)4.xxyfxx (2) 算比值算比值(3) 求极限求极限解解给给一一个个增增量量则则：2,xx (1) 求增量求增量2(2)(2)4() ;yfxfxx 例例求求函函数数在在点点处处的的导导数数131.yxx，由由于于 1()yxx xx 所所以以 20011limlim.()x

8、xyyxx xxx 解解一一 先先求求导导函函数数. .11,()xyxxxx xx 给给任任意意一一点点 增增量量得得,xx 求增量求增量算比值算比值求极限求极限2此此外外，我我们们也也可可以以用用例例 的的方方法法求求解解此此题题. .再再求求函函数数在在点点的的导导数数1x 2111()1.xxyx 111.yxx 从从而而函函数数在在点点处处的的导导数数为为- -1;1yxx 001(1)limlim1.1xxyfxx (2) 算比值算比值(3) 求极限求极限xx1,解解二二给给一一个个增增量量则则：(1) 求增量求增量(1)(1);1xyfxfx 例例求求函函数数在在点点处处的的导导

9、数数131.yxx 例例求求函函数数的的导导数数4.yx yxxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 解解 任任取取一一点点(0,),x得得 ,yxxx 给给 一一个个增增量量,xx 1,xxx ()xxxx ()xxx ()xxxxx ()xxx 11211().22xxx 例如例如, ,32()3.xx 例例2例例4的结果可以推广到幂函数的结果可以推广到幂函数1().xx 为为任任一一实实数数().yx 1/2 3 例例求求函函数数的的导导数数5( )sin.f xx 解解）（2coslim22sinlim00 xxxxxx 22cos2sinlim0 xxxxx ）（xxx

10、xx ）（2cos2sin2lim02cos2sin2sinsin cos . x 00000()()limlimxxxxf xxf xyyxx xxxxxx sinsinlimsin0）（）（0sinlim1xxx 第第一一重重要要极极限限：cosx是连续函数是连续函数1(6,2)2.1yx 例例求求曲曲线线在在处处的的切切线线的的斜斜率率， 并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方程程点点1yx 1yx 解解 由导数的几何意义由导数的几何意义, , 得切线斜率为得切线斜率为11221()xxkyx12214.xx 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),

11、21(412 xy40.4xy 15.280 xy 即即即即00()()yfxxfxCM 在在处处的的导导数数是是的的曲曲线线在在点点切切线线的的斜斜率率1(6,2)2.1yx 例例求求曲曲线线在在处处的的切切线线的的斜斜率率， 并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方程程点点124(),2yx 四、左导数和右导数00000( )()()limlim,xxxf xf xyfxxxx 00()limxyfxx 000( )()lim.xxf xf xxx 表表示示 从从点点 的的端端趋趋近近左左00 xxx 表表示示 从从点点 的的端端趋趋近近右右00 xxx 右导数：右

12、导数：左导数：左导数：函函数数在在点点处处可可导导的的充充分分必必要要0( )yf xx 存存在在且且相相等等. .定理定理 条条件件是是，函函数数在在点点处处的的左左、右右导导数数0( )f xx0 x 0 x 斜率为斜率为1 斜率为斜率为1提示与分析：提示与分析：07( )0.f xxx例例证证明明函函数数在在点点不不可可导导xoyyx 000(0)limlim1,xxyxfxx 证证明明( )f xx00()0(0)limlim1,xxyxfxx ,0,0.xxxx 斜率为斜率为1 斜率为斜率为1xoy从从而而可可知知 (0)(0),ff 故故由由定定理理知知，函函数数在在点点不不可可导

13、导0( )0.f xxxyx 斜率为斜率为1 斜率为斜率为1xoy五、可导与连续的关系 反之不一定成立反之不一定成立. .可导一定连续，连续不一定可导可导一定连续，连续不一定可导. .定理定理 比比如如例例 中中的的在在点点连连续续但但不不可可导导6( )0.f xxx点点称称为为的的尖尖点点0( ).xf xxxoy在在点点 处处连连续续( ).yf xx 如如果果函函数数在在点点 处处可可导导，那那么么( )yf xx (0)(0)ff 以下两种都是存在以下两种都是存在尖点尖点的情况的情况: :0 xyxoy0 xxo六、高阶导数的定义定义定义 函函数数的的导导数数的的导导数数( )( )( )yf xfxfx 二二阶阶导导数数叫叫做做函函数数的的，记记作作( ),( )yf xyfx d d或或d d22.yx( )yf x 相相应应的的，称称为为零零阶阶导导数数；( ).fx 称称为为一一阶阶导导数数例如例如(cos )sinyxx ，设设 则则 ,( )1,(1)0;yxyxy设设 则则 sin ,(sin )cos ,yxyxx21,2sgt 在在自自由由落落体体运运动动中中，再再例例如如 ,.sgtsg. g二二阶阶导导数数为为重重力力加加速速度度得得到到三三阶阶导导数数：，d d