第七章灰色预测

1、第七章灰色预测23主要内容：主要内容：7.1 7.1 灰色系统理论的初步知识灰色系统理论的初步知识7.2 7.2 灰色预测模型灰色预测模型7.3 7.3 灰色预测案例灰色预测案例47.1 灰色系统的初步知识灰色系统的初步知识1 三种不确定理论的比较分析三种不确定理论的比较分析 模糊数学模糊数学着重研究着重研究“认知不确定认知不确定”问题，其研究对象具有问题，其研究对象具有“内涵内涵明确，外延不明确明确，外延不明确”的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行的特点。主要凭借经验，借助于隶属函数进行处理。处理。 概率论与数理统计概率论与数理统计研究的是研究的是“随机不确定随机不确定”现象的历史统计现

2、象的历史统计规律，考察具有多种可能发生的结果之规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定随机不确定”现象中现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且对每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是，大样本，且对象服从某种典型分布。象服从某种典型分布。 5 灰色系统研究的是灰色系统研究的是“部分信息已知，部分信息未知部分信息已知，部分信息未知”的的“小样本，贫信息小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知不确定性系统，它通过对已知“部部分分”信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延明确，内涵不明确外延明确，内涵不明确”的对象。的

3、对象。6项目项目灰色系统灰色系统概率论与数理统计概率论与数理统计模糊数学模糊数学研究对象研究对象贫信息不确定贫信息不确定随机不确定随机不确定认知不确定认知不确定基础集合基础集合灰色朦胧集灰色朦胧集康托集康托集模糊集模糊集方法依据方法依据信息覆盖信息覆盖映射映射映射映射途径手段途径手段灰序列生成灰序列生成频率分布频率分布截集截集数据要求数据要求任意分布任意分布典型分布典型分布隶属度可知隶属度可知侧重侧重内涵内涵内涵内涵外延外延目标目标现实规律现实规律历史统计规律历史统计规律认知表达认知表达特色特色小样本小样本大样本大样本凭借经验凭借经验表表7.1 三种不确定性理论的比较三种不确定性理论的比较72

4、050年中国人口控制在年中国人口控制在15亿到亿到16亿之间亿之间图图7.1 人口控制人口控制8树高在树高在20米至米至30米米图图7.2 大树的高度大树的高度92 灰色系统的基本原理灰色系统的基本原理公理公理1 1 差异信息原理差异信息原理 差异即信息，凡信息必有差异。差异即信息，凡信息必有差异。公理公理2 2 解的非唯一性原理解的非唯一性原理 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。论解决实际问题所遵循的基本法则。公理公理3 3 最少信息原理最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的灰色

5、系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息最少信息”。10公理公理4 4 认知根据原理认知根据原理 信息是认知的根据信息是认知的根据公理公理5 5 新信息优先原理新信息优先原理 新信息对认知的作用大于老信息。新信息对认知的作用大于老信息。 公理公理6 6 灰性不灭原理灰性不灭原理 “信息不完全信息不完全”是绝对的是绝对的11灰色预测模灰色预测模型的基本思型的基本思想想1 1 灰色预测模型灰色预测模型的提出的提出3 3 累加生成建模思累加生成建模思想想2 2 灰色模块预测灰色模块预测思想思想4 4 五步建模思想五步建模思想图图7.3 灰色预测模型的基本思想灰色预测模型的基本思想7.2 灰色预测模

6、型灰色预测模型12黑黑信息未信息未知知黑色系黑色系统统白白信息完信息完全已知全已知白色系白色系统统 灰灰 部分信部分信 息息 已知，部分已知，部分 信息未知信息未知 灰色系统灰色系统来源于控制论，来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）信息信息信息信息信息信息信息信息灰色系统理论着重研究系灰色系统理论着重研究系统内部统内部( (结构结构、参数参数、总总体特征体特征), ),尽可能发挥现尽可能发挥现有已知信息的作用有已知信息的作用。1 灰色预测模型的提出灰色预测模型的提出13灰色预测第一篇论文灰色预测第一篇论文 邓聚龙邓聚龙,灰色动

7、态模型灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用及在粮食长期预测中的应用J,大自然大自然探索探索,1984年第年第3期期,37-43.研究出发点研究出发点 通过对数据序列的映射处理通过对数据序列的映射处理,为微分拟合建模提供中间为微分拟合建模提供中间信息；信息； 通过数据的序列生成弱化原始数据序列的随机性通过数据的序列生成弱化原始数据序列的随机性(尤尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化其是对非平稳数据序列随机性的弱化)； 提出模块预测和累加生成的思想。提出模块预测和累加生成的思想。14定义定义7.1 设设称称 为白化微分方程，也称为白化方程或者影子方程为白化微分方程，也称为白化方程或者影子方程

8、。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 ()1 ()1 ()1 ()1 (nxxxX(1)(1)( )( )dxkaxkbdt灰色预测基本模型灰色预测基本模型GM(1,1) 模型模型15GM(1,1)的含义如下的含义如下:G M (1, 1) Grey Model 1阶方程阶方程 1个变量个变量16定义定义7.2 设设 如定义如定义7.17.1所示所示, ,其中，其中，称称为灰色微分方程。为灰色微分方程。)1()0(, XX)(,),3 (),2 () 1 () 1 () 1 () 1 (nzzzZ)1()(21)()1()1()1(kxkxkzbka

9、zkx)()()1()0(17定理定理7.1设设 如定义如定义7.17.1和和7.27.2所示：所示：若若 为参数列，且为参数列，且则则GM(1,1)模型模型 的最小二乘估计参数列满足的最小二乘估计参数列满足(0)(1)(1),XXZ( , )Taa b(0)(0)(0)(2)(3)( )xxYxn(1)(1)(1)(2)1(3)1( )1zzBzn(0)(1)( )( )xkazkb1()TTaB BB Y18定理定理7.2 7.2 设设 如定理如定理7.17.1所述，所述， ，则，则 白化方程白化方程 的解也称时间响应函数为的解也称时间响应函数为 GM(1,1) GM(1,1)模型模型 的

10、时间响应序列为的时间响应序列为 还原值还原值定义定义7.4 称称GM(1,1)GM(1,1)模型中的参数模型中的参数 为发展系数，为发展系数， 为灰色作用量。为灰色作用量。, ,B Y aYBBBbaaTTT1)(,(1)(1)dxaxbdt(1)(1)( )(1)atbbxtxeaabkazkx)()()1()0(1)(0)(1)(1);1,2,akbbxkxeknaa(0)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(1)(1)( )(1)(1)aakbxkxkxkxkexeank, 2 , 1ab191 1 灰色预测模型的灰色预测模型的提出提出3 3 累加生成建模累加生成建模思想思想2 2 灰色

11、预测基本灰色预测基本思想思想4 4 五步建模思想五步建模思想2 灰色预测基本思想灰色预测基本思想20模块模块: :在时间-数据二维平面上将连续曲线及其底部相连接的区域.指数模块白色模块灰色模块预测时点时间t时间t数据t数据t白色数据构成的模块称为白色模块白色数据构成的模块称为白色模块, ,由白色模块外推到由白色模块外推到未来的模块未来的模块, ,即预测值的模块即预测值的模块, ,称为灰色模块称为灰色模块. .21白色模块灰色模块预测时点时间t数据t白色模块预测时点时间t数据t零增长率情形指数增长情形22研究步骤研究步骤: :(1)典型模块(典型曲线)的信息收集;(2)对原始白色信息进行典型曲线

12、建模;(3)对原始白色信息和典型曲线拟合信息进行精度检验精度检验和关联分析关联分析;(4)选定典型拟合曲线;(5)确定上下界灰模块;(6)预测.白色模块预测时点时间t数据tmaxmax()( )xntx ntminmin()( )xntx nt()( )x ntx nt231 1 灰色预测模型灰色预测模型的提出的提出3 3 累加生成建模累加生成建模思想思想2 2 灰色预测基本灰色预测基本思想思想4 4 五步建模思想五步建模思想3 3 累加生成建模思想累加生成建模思想24灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量, ,也就是通过数据到数据的也就是通过

13、数据到数据的”映射映射”, ,时间序列到时间序列的时间序列到时间序列的”映射映射”来处理和发现规律来处理和发现规律, , 称之为灰色序列生成；称之为灰色序列生成；累加生成是一种有效的弱化数据序列随机性的方法累加生成是一种有效的弱化数据序列随机性的方法. .邓聚龙邓聚龙.累加生成的灰指数律累加生成的灰指数律灰色控制系统的优灰色控制系统的优化信息处理问题化信息处理问题J.华中工学院学报华中工学院学报,1987.251 1 灰色预测模型的灰色预测模型的提出提出3 3 累加生成建模累加生成建模思想思想2 2 灰色模块预测灰色模块预测思想思想4 4 五步建模思想五步建模思想4 4 五步建模思想五步建模思

14、想26开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达。 语言模型语言模型对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系。 量化模型量化模型对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质。优化模型优化模型对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示。 网络模型网络模型进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。 动态模型动态模型 建立系统模型，一般要经历思想开发、因素分析

15、、量化、动态化、优化建立系统模型，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。五个步骤，故称为五步建模。 27网络模型的形式网络模型的形式28五步建模思想五步建模思想一个简单的例子一个简单的例子例例7.17.1 宏观经济发展的固定资产动态投资模型;第一步第一步: :语言模型语言模型 充分的积累是国民经济发展的必要条件.所谓的充分的积累就是在国民经济健康运行和人民生活水平不断有所改善的条件下尽可能地积累.因此每年必须从国内生产总值(GDP)中以适当的固定资产投资率作为再生产投资,从而促进国民经济系统不断发展.第二步第二步:网络模型网络模型 在语言模型中,论述了下列因

16、素:国民经济系统的产出为GDP,用变量X1表示;固定资产投资为资本投入,用变量X2表示,则有网络关系;固定资产的投资对GDP的产出有一定的拉动效应;X2W1X129用适当的固定资产投资率作为国民经济系统扩大再生产的投资.此时,GDP是前因,固定资产投资为结果,即可以将再生产的投资作为正反馈项加入网络,综合可得系统的网络模型如下图第三步第三步: : 量化模型量化模型根据中国统计年鉴历年固定资产投资和GDP数据,计算单位固定资产投资平均产出为3.03,由于再生产投资比例是灰数,可的如下量化模型W1X2X1W23.03X2X130第四步第四步: : 动态模型动态模型根据历史数据构建固定资产投资和GD

17、P发展变化的GM(1,2)模型: 分别表示GDP固定资产投资的历史数据列作一次累加生成的数列.对以上模型两边做拉普拉斯变换,可得则有传递函数根据求得的参数 ,可得 ,因此网络图为111112dxaxbxdt1112,x x111112( )( )( )sx sax sbx s11112( )( )( )()W sx sx sb as0.4169/(s+0.08952)X2X10.08952,0.4169ab10.4169( )0.08952W ss31第五步第五步: : 优化模型优化模型系统的发展变化过程是否令人满意,主要反映在闭环系统传递函数的结构和参数上.根据以上网络图有所以整个闭环传递函

18、数为将分母记为 ,则显然,当 时, 有正实根,系统的发展系数为正,系统呈指数增长趋势,有能量激发的特性,也就是说每年从GDP中以不小于21.47%的比例进行投资,我国经济将保持良好态势.1111121( )( )( )( )W sx sx sx s110.4169( )( ) (1( )0.089520.4169G sW sW ss( )0.089520.4169F ss( )F s0.214721( )0.089520.4169F ss327.3 GM（1,1）模型应用）模型应用例例7.17.1 20032003年以来我国宏观经济和能源消耗均持续年以来我国宏观经济和能源消耗均持续快速增长快速

19、增长, ,其中最重要的推动力就是工业化进程的加速其中最重要的推动力就是工业化进程的加速, ,高高耗能行业产值占工业比重耗能行业产值占工业比重, ,工业产值占全国工业产值占全国GDPGDP比重不断比重不断上升上升, ,使得我国使得我国”十一五十一五”节能降耗总目标实现难度加大节能降耗总目标实现难度加大, ,准确把握未来发展趋势准确把握未来发展趋势, ,及时调整产业结构及时调整产业结构, ,将具有将具有重要的意义重要的意义. .年份2004200520062007工业增加值(亿元)652107723191311107367高耗能行业增加值(亿元)25231298823742044493高耗能行业增

20、加值占工业比重(%)40.84243.343.5表表7.2 原始数据原始数据33研究思路研究思路: :分别建立工业增加值和高耗能行业增加值的GM(1,1)模型,并预测2008-2010的产值数据,进而预测高耗能行业增加值占工业增加值比重的变化趋势.第一步第一步: : 以2004-2007年数据为基础,分别建立四数据GM(1,1)模型.34第二步第二步:求得工业增加值GM(1,1)模型(1)0.1640570.16405760287.193397(1)432688367478abxke2004200520062007652107723191311107367652107714090892107097求得求得: :灰色绝对关联度灰色绝对关联度:0.9946:0.9946灰色相对关联度灰色相对关联度:0.9965:0.9965灰色综合关联度灰色综合关联度:0.9955:0.995535第三步第三步:求得高耗能行业GM(1,1)模型(1)0.1950120.19501222393.778814(1/p>