逻辑代数的运算

1、1.2 逻辑代数的运算逻辑代数的运算1.21 逻辑代数与逻辑运算逻辑代数与逻辑运算1.2.2 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算1.2.3 逻辑代数的复合运算逻辑代数的复合运算1.2.11.2.1 逻辑代数与逻辑变量逻辑代数与逻辑变量 在客观世界中，事物的发展变化通常都是有一定因果关系的。 例如：电灯的亮与灭决定于电源是否接通；如果电源接通了，电灯就会亮，否则就灭。 这里电源接通与否是“因”，电灯亮与不亮是“果”。这种因果关系，一般称为逻辑关系。 反映和处理逻辑关系的数学工具，就是逻辑代数（布尔代数）（开关代数） 。逻辑关系逻辑关系数字电路的输出信号与输入信号之间的关系就是逻辑关系，所以数字

2、电路的工作状态可以用逻辑代数来描述。逻辑代数和普通代数一样，用字母代表变量。 逻辑代数（布尔）基础基本概念基本概念如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定的取值确定之后，输出逻辑变量之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，的值也被唯一确定，则称则称 Y 是是 A、B、C 的逻辑函数。并记作的逻辑函数。并记作.,CBAFY 分为分为逻辑自变量逻辑自变量和和逻辑因变量逻辑因变量。逻辑自变逻辑自变量（输入）量（输入）是决定事物的因素，而被决定是决定事物的因素，而被决定事物的结果为事物的结果为逻辑因变量（输出）逻辑因变量（输出）。在逻。在逻辑代数中，逻辑变量用英文字母表示。辑代数中，

3、逻辑变量用英文字母表示。逻辑变量：逻辑变量：在逻辑代数中，变量的取值不是在逻辑代数中，变量的取值不是 1 就是就是 0 。.,CBAFY 原变量和反变量：原变量和反变量：字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量，有反，有反号的叫做号的叫做反变量反变量。如：。如：A和和A1.2.2基本逻辑运算基本逻辑运算1. 与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合与逻辑关系与逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY真值表真值表（Truth

4、table）逻辑函数式逻辑函数式 与门与门（AND gate)逻逻辑辑符符号号与逻辑的表示方法：与逻辑的表示方法：ABY&000100011011ABBAY 功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABYABY将变量的状态将变量的状态赋值后，列出赋值后，列出其对应的表格其对应的表格逻辑规律：逻辑规律：有有0出出0，全，全1出出12. 或逻辑：或逻辑： 决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。BAY 或门或门(OR gate) )或逻辑关系或逻辑

5、关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式逻逻辑辑符符号号011100011011ABYABY1逻辑规律：逻辑规律：有有1出出1，全，全 0出出03. 非逻辑：非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。事件一定发生的逻辑关系。真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式A Y 逻逻辑辑符符号号非门非门（NOT gate)非逻辑关系非逻辑关系1001AY1开关开关A灯灯Y电源电源RAY逻辑规律：逻辑规律：进进0出出1，进进1出出01.2.3 逻辑代数的复合逻辑逻辑代数的复合逻辑定义：含有两种或两种以上基本

6、逻辑运算的逻辑函数定义：含有两种或两种以上基本逻辑运算的逻辑函数(1) 与非逻辑与非逻辑 (NAND)ABY 1AB&1Y逻辑规律：逻辑规律：有有0出出1，全，全 1出出011100 00 11 01 1ABY1Y1的真值表的真值表Y1(2) 或非逻辑或非逻辑 (NOR)BAY 2AB2Y1逻辑规律：逻辑规律：有有1出出0，全，全 0出出1Y2 的真值表的真值表10000 00 11 01 1ABY2Y2(3) 与或非逻辑与或非逻辑 (AND OR NOT)CDABY 3Y3的真值表的真值表AB&CD3Y1逻辑规律：逻辑规律：各组均有各组均有0出出1，某组全，某组全 1出出01

7、1100 0 0 0ABY3CD0 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 1 1 01 1 1 10111 0 1 0 . . . . . . . . . .0Y3(4) 异或逻辑异或逻辑(ExclusiveOR)AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 ABY4逻辑规律：逻辑规律：相同出相同出0，相反出，相反出1Y4(5) 同或逻辑同或逻辑(ExclusiveNOR)( (异或非异或非) )AB=15YBAY 5= ABABBA 10010 00 11 01 1ABY5逻辑规律：逻辑规律：相同出相同出1，相反出，相反出0Y5 电路图电路图 功能表功能表

8、 真值表真值表 逻辑符号逻辑符号 逻辑表达式逻辑表达式逻辑关系的表达方式有五种小 结1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法四种四种表示方法表示方法Y=AB + ABY=AB + AB逻辑代数式逻辑代数式( (逻辑表达式逻辑表达式, , 逻辑函数式逻辑函数式) )1 11 1& & &11A AB BY Y 逻辑电路图逻辑电路图: :卡诺图卡诺图 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。的表格。n2N N

9、个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表： 1、注意：a、运算顺序：先括号内，后括号外；先与后或b、非号下面的括号可以省略。Y=AB + ABY=AB + AB逻辑代数式逻辑代数式( (逻辑表达式逻辑表达式, , 逻辑函数式逻辑函数式) ) A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合2 2

10、、真值表、真值表A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合（四输入变量）（四输入变量）各种表示方法之间的转换各种表示方法之间的转换1 1、由真值表求逻辑表达式、由真值表求逻辑表达式（1）把真值表中逻辑函数值为）把真值表中逻辑函数值为1的输入变量组合的输入变量组合挑出来；挑出

11、来；（2）若输入变量为）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变，则写成原变量，若输入变量为量为0，则写成反变量；，则写成反变量；（3）把每个组合中各个变量相乘（即相与），）把每个组合中各个变量相乘（即相与），得到一个乘积项；得到一个乘积项；（4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。式。例：试设计一个三人表决器例：试设计一个三人表决器晋晋 级级淘淘 汰汰 请同学们为中国达人秀的评委设计一个表决器，功能要求请同学们为中国达人秀的评委设计一个表决器，功能要求: : 三个评委各控制三个评委各控制 A A、B B、C C三个按键中一个，以少数服从多数的原三个按键

12、中一个，以少数服从多数的原则表决事件，按下表示同意，否则为不同意。则表决事件，按下表示同意，否则为不同意。若表决通过，发光二极管点亮，否则不亮。若表决通过，发光二极管点亮，否则不亮。设计任务设计任务一、分析要求，列真值表评委同意为“1”，不同意为“0”表决结果通过为“1”，不通过为“0”。列真列真值表值表写逻辑写逻辑表达式表达式画逻辑画逻辑电路图电路图选择选择芯片、连线芯片、连线A B C表决结果Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZABCBCACBACAB二、根据真值表写表达式列真列真值表值表写逻辑写逻辑表

13、达式表达式画逻辑画逻辑电路图电路图选择选择芯片、连线芯片、连线（1）画出所有的逻辑变量；）画出所有的逻辑变量；（2）将函数式中的各运算关系用相应的图形符号表示出来；）将函数式中的各运算关系用相应的图形符号表示出来；ABCCABCBABCAZ& 1&CAAABBBCCABCZ三、根据表达式画逻辑图四、选择芯片、连线学生查看集成逻辑门电路清单，确定选用芯片型号：学生查看集成逻辑门电路清单，确定选用芯片型号：列真列真值表值表写逻辑写逻辑表达式表达式画逻辑画逻辑电路图电路图选择选择芯片、连线芯片、连线四、画接线图、接线电路接线图电路接线图三、根据表达式逻辑电路图化简结果：化简结果：与或

14、式与或式:与非式与非式 :三个两输入与门电路三个两输入与门电路一个三输入或门电路一个三输入或门电路三个两输入与非门电路三个两输入与非门电路一个三输入与非门电路一个三输入与非门电路列真列真值表值表写逻辑写逻辑表达式表达式画逻辑画逻辑电路图电路图门电路的数量相同，但类型不同门电路的数量相同，但类型不同 选择选择芯片、连线芯片、连线二、写表达式，化简化简结果：化简结果：与或式与或式:与非式与非式 :列真列真值表值表写逻辑写逻辑表达式表达式画逻辑画逻辑电路图电路图选择选择芯片、连线芯片、连线2 2、由逻辑表达式列出真值表、由逻辑表达式列出真值表按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出按照逻辑

15、表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。A B C表决结果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZBABY=A B+ABA BA1&AB&114 4、由逻辑图求逻辑表达式、由逻辑图求逻辑表达式由输入到输出，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，由输入到输出，按照每个门的符号写出每个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。直到最后得到整个逻辑电路的表达式。2.2 逻辑代数的基本定律和

16、运算规则逻辑代数的基本定律和运算规则或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 ) )2.2.1 基本定律基本定律或：或：A + A = A与与: :A A = A二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )三、变量和变量的关系三、变量和变量的关系( (变量：变量：A、B、C) )四、与普

17、通代数相似的定理四、与普通代数相似的定理交换律交换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA BABA BABA 还原律还原律AA 德德 摩根定摩根定理理 例例 1 证明公式证明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左式左式 BCA 例例 2 证明：证明： 德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 01

18、1110001000相等相等相等相等 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量1.1.代入规则：代入规则： 将等式两边某一变量都代之以一将等式两边某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA ( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) )则则BCABCABCA )(2.2.反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加注意注意

19、:Y2.2.2 关于等式的三个规则关于等式的三个规则例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(2反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量例如：例如：已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变Y3.3.对偶规则：对偶规则： 如果两个表达式相等，则它们的

20、对如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。偶式也一定相等。将将 Y 中中“. ”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0” 换成换成“1”,“1”换成换成“0” )()(1DC BCAYd )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAYd)(2例如例如:对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或 ) ( 对偶式dY2.2.3 若干常用公式若干常用公式ABAAB合并律合并律ABABA)( 吸收律吸收律AABABABAACAABBCCAABABAA)(BABAA)()()()

21、(CABACBCABA(6) 异或、同或运算的常用公式异或、同或运算的常用公式AA 1AA 00 AA1 AA变量与常变量与常量的关系量的关系A 1=AA 0=AA A=0ABBA 交换律交换律结合律结合律)()(C BACBA 分配律分配律 )(ACAB C BA 奇偶律奇偶律AAAAA A=1A A A = A2.3.2 常用逻辑门常用逻辑门几种常用逻辑门的实际器件引脚图几种常用逻辑门的实际器件引脚图非门只有一个输入端非门只有一个输入端实际的异或门和同或门都只有两个输入端实际的异或门和同或门都只有两个输入端与门、与非门、或非门、与或非门可以有多个输入端与门、与非门、或非门、与或非门可以有多

22、个输入端2.3.3 常用逻辑门的等效符号及有效电平常用逻辑门的等效符号及有效电平正逻辑体制正逻辑体制，高电平用逻辑，高电平用逻辑1表示，低电平用逻表示，低电平用逻辑辑0表示；表示；负逻辑体制负逻辑体制，高电平用逻辑，高电平用逻辑0表示，低电平用逻表示，低电平用逻辑辑1表示。表示。正、负逻辑体制正、负逻辑体制如无特殊说明，均采用正逻辑。如无特殊说明，均采用正逻辑。逻辑门的等效符号逻辑门的等效符号有效电平的规定有效电平的规定当逻辑符号的输入或输出引脚上没有小圆圈时，表示该引脚是高电平有效；当逻辑符号的输入或输出引脚上有小圆圈时，表示该引脚是低电平有效。作业题作业题:P37 2-2P37 2-2（1 1）、（）、（3 3）2-3 2-3 （1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）补充：补充：逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1、几种表示函数的方法、几种表示函数的方法 逻辑函数式、真值表、符号图、波形图、卡诺图逻辑函数式、真值表、符号图、波形图、卡诺图逻辑函数式逻辑函数式CABCABY 真值表真值表ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111描述逻辑函数各个变量取描述逻辑函数各个变量取值组合与函数值之间数值值组合与函数值之间数