现代信号理论4(信号空间的线性算子)

1、 第四章 信号空间的线性算子n信号处理系统 由完成各种基本运算的部件组成。 （放大、滤波、调制、检测） ( )yS xSaxVbxV数学描述：数学描述：:( )abaS VVyS xxV 定义域定义域映射关系映射关系值域值域信号空间算子的实例信号空间算子的实例: :n放大放大 ( )( )y tKx t 数乘算子数乘算子K( )x t( )y t信号空间算子的实例信号空间算子的实例: :n滤波滤波 ( )( )( )y tx th t 卷积算子卷积算子( )x t( )y t( )h t信号空间算子的实例信号空间算子的实例: :n雷达回波模型雷达回波模型 信号空间算子的实例信号空间算子的实例:

2、 :n雷达回波分析雷达回波分析 -点目标点目标 ( )x t发射信号：发射信号： 0( )()y tx t目标后向散射系数：目标后向散射系数： 接收信号：接收信号： 0数乘算子数乘算子+时延算子时延算子信号空间算子的实例信号空间算子的实例: :n雷达回波分析雷达回波分析 -面目标（不考虑散射和传播的差异）面目标（不考虑散射和传播的差异） ( )x t发射信号：发射信号： 0( )( , ) ( , )Dy tx y x tx y dxdy目标后向散射系数：目标后向散射系数： 接收信号：接收信号： 0( , )x y卷积算子卷积算子信号空间算子的实例信号空间算子的实例: :n雷达回波分析雷达回波

3、分析 -面目标（考虑散射和传播的差异）面目标（考虑散射和传播的差异） ( )x t发射信号：发射信号： 0( )( , ) ( , , )Dy tx y x t x y dxdy目标后向散射系数：目标后向散射系数： 接收信号：接收信号： 0( , )x y积分算子积分算子 信号离散表示推广到连续函数。1.1.信号的积分变换与表示信号的积分变换与表示: :( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT1( )( )niiix tattT 积分变换核函数积分变换核函数分析：分析：能否变换回来？( )( )x tu s？( )( )u sx t( )( ) ( , ),Tu sx ts t

4、 dtsS对偶核函数对偶核函数可逆性分析：可逆性分析：( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT( )( ) ( , ),Tu sx ts t dtsS( )( ) ( , ) ( , ),( , ) ( )( , )( , ) ( , )S TTSx txst s d dsI txdI tst s ds 其中可逆性分析：可逆性分析：( , )( , ) ( , )()SI tst s dst 可逆条件可逆条件自对偶自对偶( , )*( , )t ss t自对偶积分变换的特性：( )( )( )( )x tu sy tv s( , )( ) *( )( ) *( ) ( , )

5、*( , )( ) *( ) ()( ) *( )( , )SS T TT TTu vu s vs dsx t ys tsd dtdsx t ytd dtx t yt dtx y 内积保持不变内积保持不变积分变换实例：(,)( , )( , )jstjstTSt ses te ( ), ( )( ( ), ( )X fY fx ty t傅立叶变换傅立叶变换满足自对偶性满足自对偶性帕塞瓦恒等式帕塞瓦恒等式傅立叶变换的时频对偶特性傅立叶变换的时频对偶特性 信号表示形式：差变量核函数差变量核函数: :( )( ) (),Sx tu sts dstT( , )(),(,)t stsT S 对偶核函数？

6、对偶核函数？积分变换的核函数积分变换的核函数差变量核函数差变量核函数: :( )( ) (),Sx tu sts dstT( )( )( )1( )( )( )X fU ffU fX ff 代表什么？代表什么？傅立叶变换傅立叶变换( )( ) (),Tu sx tst dtsS例：Hilbert变换1( )1 ( ) ( )( )x tH x sH x sdtx tdsstst1( - )t sts变换核:（）( )= sgn( )sgn1()()fjffjfstst 自对偶自对偶2. 线性变换（线性算子）n定义1212,()( )()CX YLXYLxxL xL xLYL是线性空间， ：满足

7、则称 是线性算子。当 为数域 时，称线性算子 为线性泛函。例：n多项式空间上的求导运算；多项式空间上的求导运算；n有限维向量空间上的基变换；有限维向量空间上的基变换；n能量有限信号空间上的傅里叶变换。能量有限信号空间上的傅里叶变换。 。线性变换（线性算子）的连续性线性变换（线性算子）的连续性000,nnX YLXYxxLxLxLxLD LL是赋范线性空间， ：的线性算子，且满足若则则称连续。 若 在其定义域（ ）上的每一点连续，则称 为连续线性算子。n线性算子若在原点连续，则为连续线线性算子若在原点连续，则为连续线性算子；性算子；线性算子的有界性和连续性线性算子的有界性和连续性,( )X YL

8、XYkLxk xxD L 是赋范线性空间， ：的线性算子，且存在常数满足则称L为有界线性算子。 n线性算子的有界性和连续性等价。线性算子的有界性和连续性等价。n线性算子的运算（加、数乘）n线性算子的范数 （赋范线性空间）n线性算子空间构成一个代数。（算子乘法）线性变换（线性算子）空间线性变换（线性算子）空间线性算子空间线性算子空间n线性算子的运算（加、数乘）1112()( )( )( )()( )( )LLxL xL xL xL x线性算子的全体构成线性空间。线性算子的全体构成线性空间。线性算子空间线性算子空间n线性算子的范数inf :( ),LkL xk xxD L （ ）线性算子的全体构成

9、赋范线性空间。线性算子的全体构成赋范线性空间。n线性算子范数的其他表述=sup( )1,LL xxxD L； （ ）线性算子范数：n例 L2空间的傅里叶变换222222=(,)=( , )=,1LxLx Lxx xxxLL3. 有限维内积空间的线性算子11( )( )( )( )niiiniiiXx tatxXL xa Lt是有限维线性空间，则空间的基空间的基基的变换响应基的变换响应j,i1,( )( )ni jii jLXXLttL 若 ：， （自映射线性算子）则 1,11,11( )( )( )()( )niiinnii jjijnnii jjjiL xa Ltatat bLa4. L2空

10、间的线性算子( )( ) ( , ),Sx tu st s dstT( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT输入信号输入信号输出信号输出信号( )( )( )( , ),( ) ( , ),( , )=( , )SSy tLx tu s Lt s dstTu st s dstTt sLt s其中 t:自变量自变量s:参变量参变量L2空间的线性算子的三种表示：: ( )( )L x ty t: ( , )( , )Lt st s: ( )( )L u sv s信号变换信号变换基变换基变换分量密度函数分量密度函数变换变换线性算子的第三种表示：( )( ) ( , ),Tv sy t

11、s t dtsS( )( ) ( , ),Sy tv st s dstT( )( ) ( , ),Sy tu st s dstTT( )( ) ( ,) ( , )( ) ( ,)( ,)=( ,) ( , )T SSv suts t d dtuL sdL sts t d dt 其中( )( )( , )x tu st s( )( )( , )y tv st s( ,)L s线 性 网 络变换核函数变换核函数例：信号的频域表示222R22( , ),( )( )( )( , )( , )( , ),( ,)=( ,) ( , )( , )( )( , ) ( )jstjstjsRjstjst

12、seX Yx ty th tt set sh tedL sts t d dth teedtdY fL f v x v dv 表示输入信号和输出信号的傅里叶变换;若网络的冲激响应为则对基函数的响应为5.线性算子的实例n非时变算子n恒等算子n乘法器n微分算子n时间平均算子n理想滤波算子n匹配滤波（相关）算子6. L2空间线性算子的有限维近似?nLxM如何解决无限维空间上算子实现的困难？如何解决无限维空间上算子实现的困难？思路1： 将线性算子的定义域限制在有限维空间上；11,i=1,2,.,n( )( )( )( )niniininiiiMx tatxMLx ta Lt是由张成的空间，则nnnML

13、xP LxxM 定义：投影算子投影算子111111,111( )( ,)( )(,)( )( (),)( )(,)( )( )( )nnMiiiniiinnjjiiijnnjijijinni jjijiniijy tPyytLxtLatLatatt 误差？误差？n线性算子的范数inf :( ),LkL xk xxD L （ ）( )( )( )( )nnnnL xL xLLxxD LL xL xLLx （ ）,i=1,2,.,n-inL L适当选择，使尽可能地小例：,=),0,1,2,.,1( )( )()()( ),)()( )() )niji jjiijMtiinLh tLth tjdtj

14、Lttjtidtijdh 是由正交基（张成的子空间，为非时变算子，网络冲激响应为。则（nbL a012110122103120101100110011,00.( )( )( )( (),)( )(,)( )( )(nnnMnnnnjjinnnjjiiijnnjijijinni jjijiiihhhhhhhhLhhhhhhhx tatL x tLatLatatt 10)nj10niijjjha7. 算子的谱表示 ;Sx LxxC算子的特征矢量：算子的特征值算子的特征值特征矢量特征矢量什么是算子的最佳表示方式？什么是算子的最佳表示方式？111S,i=1,2,.,n( )( )( )( )( )ni

15、niininniiiiiiiMx tatxMLx ta Ltat是由张成的空间，则算子的表示和实现将非常简单！算子的表示和实现将非常简单！伴随算子,( ,),( )Lx yx L yx yD L定义：()伴随算子伴随算子伴随算子的性质*212211.2.3.4.5.6.()LxyL xL yLLLLLLLLL LLL LL L ()( )()伴随算子的特征值和特征矢量1111*1*S,i=1,2,.,n )niiniijjnjnijjjniijjniijjnjiijiiiMLLxLaxMLxxLxLxx是由张成的空间，是 对应的逆转基。则有 （， ）（，）（，（ ， ）（ ， ）(，（ ， ）( ，（ ， ）( ，（ ， ）*iiiL 结论？结论？正规算子（可交换伴随算子）L LLL22LxLxLxxL LxxLL xL xLxL x（，）=（ ，）（ ，）=（，）分析：分析：保范保范0LxLx =0考察：*,HLI HLI可以证明：可以证明：H也是正规算子也是正规算子Lxx0HxH x =0分析：分析：*L xx 推论：*iijijijijjjijxxLxxxL xxxxx（ ， ）=（， ）（ ，）=（ ，）（ ， ）正规算子不同特征值的特征矢量正交正规算子不同特征值的特征矢量正交0ijxx（ ， ）=算子特征值和特