第14章电磁感应-修

1、第第1414章章 电磁感应电磁感应14.1 14.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律14.2 14.2 动生电动势动生电动势14.3 14.3 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场 14.5 14.5 自感自感14.6 14.6 磁场能量磁场能量 * *15.1 15.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 * *14.4 14.4 互感互感电电 流流磁磁 场场产产 生生?1820年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应电磁感应电磁感应变化的磁场产生电场的现象变化的磁场产生电场的现象1830s,1830s,英国物理学家法拉第做了一系英国物理学家法拉第做了

2、一系列的实验（列的实验（&independently by&independently by美国美国物理学家亨利）物理学家亨利）一一. . 现象现象 变化变化 本质是电动势本质是电动势BvvRG均可使电流计均可使电流计指针摆动指针摆动第一类第一类第二类第二类 14.1 14.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 线圈面积不变线圈面积不变,所所在处磁场发生变化在处磁场发生变化线圈所在处磁场不线圈所在处磁场不变变,面积发生变化面积发生变化二、法拉第电磁感应定律二、法拉第电磁感应定律 闭合回路内闭合回路内感应电动势感应电动势dtd 1、dtd感应电动势是由感应电动势是由磁通量的变

3、化引起的磁通量的变化引起的SSdBdtddtdB的变化的变化感生感生S的变化的变化动生动生,0 感应电动势的方向感应电动势的方向与与回路绕向回路绕向相同相同,0 感应电动势的方向感应电动势的方向与与回路绕向回路绕向相反相反2 2、感应电动势的方向由、感应电动势的方向由 的正负决定的正负决定 首先任定回路的绕行方向首先任定回路的绕行方向, ,回路所围平面法向量的方向回路所围平面法向量的方向与回路绕向满足右手螺旋法则与回路绕向满足右手螺旋法则. .当当0,若磁通量增加若磁通量增加,则则 ,若磁通量减小若磁通量减小, 0dt/d 0dt/d 当当0, 磁通量增加磁通量增加 0dtd则则0dtd即即与

4、与L的的绕行方向相反绕行方向相反若取若取绕行方向绕行方向，如图所示如图所示0, 电流电流BA,电势电势:B低低A高高0,电流电流AB,电势电势:A低低B高高dtd 适用于一切产生电动势的回路适用于一切产生电动势的回路Note：思考：洛仑兹力作功吗？思考：洛仑兹力作功吗？Bvefm ve电子随导电子随导线的运动线的运动速度速度mf方向如图方向如图,evBfm u电子电子漂移漂移速度速度Buefm 方向如图方向如图,euBfm mf vu mmff 功率：功率： vuffmm )()(vufvufmm vfufmm 0 euBvevBu洛仑兹力不作功洛仑兹力不作功它是功的转移者它是功的转移者Con

5、tinue：动生电动势作功能量从哪里来？：动生电动势作功能量从哪里来？动生电动势做功功率：动生电动势做功功率：P=I =IBlvab受磁力：受磁力：Fm=IBl 方向向左方向向左若使若使ab保持匀速运动，则需要外力保持匀速运动，则需要外力Fext与与Fm平衡：平衡：B均匀磁场均匀磁场IextFabmFv mextFF 所以外力功率：所以外力功率：Pext=Fextv=IBlv结论：电能由外力做功所消耗的机械能转化而来。结论：电能由外力做功所消耗的机械能转化而来。例例1 1：有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁 力线运动。已知：力线运动。已知：求：动生电动

6、势？求：动生电动势？.R,B,v+Bv l d)Bv(d cosdlsinvB090 22dcosvBRRvB2 Rddl解：方法一解：方法一+RvBabl d d方向：方向：ba 0 i 作辅助线，形成闭合回路作辅助线，形成闭合回路RBvab2 半半圆圆方向：方向：ba 方法二方法二+RvBababzBLldvBvBvBrBlBsin cosvBdl ldlB 2sin L02)b()a(ldlsinBd 22sin2LB 解：解：dl在导线在导线 上取上取L该段导线运动速度垂直纸面向内该段导线运动速度垂直纸面向内运动半径为运动半径为r 2l dBvd )( r例例2. 2. 在空间均匀的磁

7、场中在空间均匀的磁场中 ，导线，导线ab 绕绕Z 轴以轴以 匀速旋转，匀速旋转，导线导线ab与与Z轴夹角为轴夹角为 BBzabL设设求：导线求：导线ab 中的电动势中的电动势方向方向 a babzBL作辅助线法：作辅助线法：添加辅助导线添加辅助导线bca，连接导线，连接导线ab使之成为一个回路。使之成为一个回路。c则此回路在磁场中旋转时，则此回路在磁场中旋转时，任意时刻的磁通量均为零，任意时刻的磁通量均为零，故此回路总电动势为零，所故此回路总电动势为零，所以以 ab= cb。2sin22sin0sin00 LBdllBdlvBl dBvLLcbcb 而而例例3. 一半径为一半径为R 的铜盘在均

8、匀磁场的铜盘在均匀磁场B 中以角速度中以角速度 转动，转动， 求盘上沿半径方向产生的感应电动势。求盘上沿半径方向产生的感应电动势。B均匀磁场均匀磁场解：解：圆盘可视为由无数沿导线半圆盘可视为由无数沿导线半径的铜杆并联而成。径的铜杆并联而成。圆盘的感应电动势圆盘的感应电动势每个半径上铜杆的动生电动势每个半径上铜杆的动生电动势rdr任取长为任取长为L的铜条，在的铜条，在r 处取线元处取线元rdrdBvd )( Bv rBdr RrBdr0 22BR 方向：沿半径由方向：沿半径由盘心指向盘边盘心指向盘边例题：例题：一直导线一直导线ABAB在一无限长直电流磁场中作在一无限长直电流磁场中作 切割磁力线运

9、动。求：动生电动势？切割磁力线运动。求：动生电动势？例例4：非均匀磁场：非均匀磁场bBv l d)Bv(d 000sin90cos1802Ivdxx02vIdxx 02a bavIdxx abalnvI 20解：解：方法一方法一方向：方向：BABA方法二方法二abICD)O(EFX SSdB 作辅助线，形成闭合回路作辅助线，形成闭合回路CDEFCDEFabaIx ln20 dtdi dtdxabaI)ln2(0 abalnIv 20方向方向CD v baaxdrrI 20rdr1 1、感生电动势、感生电动势由于磁场发生变化而激发的由于磁场发生变化而激发的电动势电动势电磁感应非静电力非静电力洛仑

10、兹力洛仑兹力感生电动势感生电动势动生电动势动生电动势非静电力非静电力?GNS14.3 14.3 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场 2 2、麦克斯韦假设：、麦克斯韦假设：变化的磁场变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，在其周围空间会激发一种涡旋状的电场，称为称为涡旋电场涡旋电场或或感生电场感生电场。记作。记作 或或感感E涡涡E非静电力非静电力感生电动势感生电动势感生电场力感生电场力 Lil dE涡涡 由法拉第电磁感应定律由法拉第电磁感应定律)Sd(dtdS SSdtBiddt Lil dE涡涡 在一个导体回路在一个导体回路L中中,产生的感生电动势产生的感生电动势讨论：讨论： 2

11、2） S S 是以是以 L L 为边界的任一曲面。为边界的任一曲面。SLSS 的法线方向应选得与曲线的法线方向应选得与曲线 L L 的积分方的积分方向成右手螺旋关系向成右手螺旋关系是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率tB SLSdtBl dE涡1 1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，即感此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，即感生电场是由变化的磁场产生的。生电场是由变化的磁场产生的。 不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率涡涡EtB 与与构成构成左旋关系左旋关系。涡涡EtB 3） SLSdtBl dE涡涡tB

12、 涡涡E BtdBd感生电场电力线感生电场电力线 涡涡E涡涡E由静止电荷产生由静止电荷产生由变化磁场产生由变化磁场产生线是线是“有头有尾有头有尾”的，的，静E是一组闭合曲线是一组闭合曲线起于正电荷而终于负电荷起于正电荷而终于负电荷感感E线是线是“无头无尾无头无尾”的的感生电场（涡旋电场）感生电场（涡旋电场）静电场（库仑场）静电场（库仑场）具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力具有电能、对电荷有作用力0 SSdE涡涡iSqSdE01静 SLSdtBl dE涡涡0l dEL静动生电动势动生电动势感生电动势感生电动势特特点点磁场不变，闭合电路磁场不变，闭合电路的整体

13、或局部在磁场的整体或局部在磁场中运动导致回路中磁中运动导致回路中磁通量的变化通量的变化闭合回路的任何部分闭合回路的任何部分都不动，空间磁场发都不动，空间磁场发生变化导致回路中磁生变化导致回路中磁通量变化通量变化原原因因由于由于S的变化引起的变化引起回路中回路中 m变化变化非静非静电力电力来源来源感生电场力感生电场力 l dBvi SiSdtBl dE涡涡 洛仑兹力洛仑兹力由于由于 的变化引起的变化引起回路中回路中 m变化变化B3 3、感生电场的计算、感生电场的计算 SLSdtBldE涡涡 具有对称分布时可计算具有对称分布时可计算涡E. . . . . . . . . . . . . . . .

14、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LBSS是以是以L为边界的面积为边界的面积S与与L 的方向为右螺关系的方向为右螺关系是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率tB 如长直螺线管内部的场：空间均匀的磁场被限制在圆柱体内如长直螺线管内部的场：空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度方向平行柱轴。，磁感强度方向平行柱轴。当磁场随时间变化当磁场随时间变化 则感生电场具有柱对称分布则感生电场具有柱对称分布BtB R例例1 1 局限于半径局限于半径 R

15、 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁场，的圆柱形空间内分布有均匀磁场， 方向如图。磁场的变化率方向如图。磁场的变化率0 tB求：求： 圆柱内、外的圆柱内、外的 分布。分布。涡涡Er lSSdtBldE涡涡lSdStBdlE000cos0cos涡22rtddBrE涡tddBrE2涡Rr 解：解：L方向：方向：逆时针方向逆时针方向讨论讨论负号表示负号表示涡EdtdB与与反号反号 B)(10 tddB则则0涡E涡涡E与与 L 积分方向切向同向积分方向切向同向 B)(20 tddB则则0涡EtddBrE2涡与与 L 积分方向切向反向积分方向切向反向涡涡EBtB RrL在圆柱体外，由于在圆柱体外，由于B=0

16、 Ll dE0涡涡上上于是于是L 0 感感E LSSdtBl dE涡涡虽然虽然tB L 上每点为上每点为0 0，在在但在但在S 上则并非如此。上则并非如此。由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，而由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，而柱体内柱体内 tB L rBR0 tBRr L 0 tB上上故故?SS RB22RtddBrE涡tddBrRE22涡 SSdtB2RtddB Ll dE涡涡2RtddB方向：逆时针方向方向：逆时针方向 tB L rBRSS RBtddBr2Rr tddBrR22Rr 涡涡E涡涡EORr tB L rBRSS RB总结：总结：b B t )a()o(i0l

17、 dE l dEi 可利用可利用这一特点这一特点较方便地求较方便地求其他线段内的感生电动势其他线段内的感生电动势 例例3. 3. 求上图中长为求上图中长为L的线段的线段ab上的感生电动势上的感生电动势 解：解：补上两个半径补上两个半径oa和和bo与与ab构成回路构成回路obaodtdaobaobi 00 obao dtdB4/LR2LdtdBS22ba oa例例2.2.圆柱形均匀磁场内，圆柱形均匀磁场内， 求半径求半径oa 上的感生电动势上的感生电动势0cdtdB 解：解：方向方向:baadtdBSdtdsBddtsdBddtdSS 法法2: tB boa感生电场感生电场sdtBl dESLi

18、 dtdB2rEi 2/L2/LrhdldtdB2rdtdB4/LR2L22 abil dE abiabicosdlEl dE LdtdB2h dlrEi以以r为半径的圆周为闭合回路为半径的圆周为闭合回路L,设设L逆逆时针绕向时针绕向L2rdtdBr2E 逆时针逆时针方向方向:baaab B t 求求: :ba 解：解：补上半径补上半径 ob ao设回路方向如图设回路方向如图dtdaobaobobao 00aoob dtdBSba扇扇形形 o odtdba 扇扇形形BS 方向方向:baa 0 tBBoabcRRRddtdBSoabdo obdoaboabdoSSS 62123212 RRR d

19、tdB)RR(221243 ca 方方向向求求: :ac14.5 14.5 自感自感self-inductionself-induction实际线路中的感生电动势问题实际线路中的感生电动势问题一一. .自感现象自感现象 自感系数自感系数I线线圈圈由于自身线路中电流的变化，而在由于自身线路中电流的变化，而在自身线路中产生感应电流的现象自身线路中产生感应电流的现象自感现象自感现象自感系数自感系数的定义的定义LI dtdILdtdi IL 定义定义演示演示AKBI 通过线圈通过线圈所围面积所围面积的总磁通的总磁通量量例例1010：求长直螺线管的自感系数：求长直螺线管的自感系数 几何条件如图几何条件如

20、图解：解：设通电流设通电流 IIlNB NBSN lSNIL2 ISl总长总长N总匝数总匝数几何条件几何条件介质介质单位：亨利单位：亨利HVnL2 或或同轴电缆由半径分别为同轴电缆由半径分别为 R1 和和R2 的两个无限长同轴的两个无限长同轴圆筒状导体组成。圆筒状导体组成。例例求无限长同轴电缆单位长度上的自感求无限长同轴电缆单位长度上的自感II解解 由安培环路定理可知由安培环路定理可知21RrRrIBr2021Rr ,Rr0BSdSBmddrlrIrd20 21d20RRrmrlrI 120ln2RRIlr 120ln2RRIlLrm小结：小结： 设设IBmL（与电流无关）（与电流无关）rl1

21、R2Rr1 14.6 4.6 磁场能量磁场能量 一、现象一、现象二、定量分析二、定量分析能量储存在自感线圈的磁场中能量储存在自感线圈的磁场中能量从自感线圈的磁场中释放能量从自感线圈的磁场中释放K1接通接通iRdtdiL RI)e1(IitLR 1KR2K 解方程解方程从从t=0时刻开始时刻开始,经过足够长时间经过足够长时间t,回路中电流从零增加到回路中电流从零增加到稳定值稳定值I,在这段时间内在这段时间内,电源电动势做功电源电动势做功dtiRLI21dtiRidtdtdiLdti2t022t0t0t0 K1接通，灯泡亮；接通，灯泡亮； K1断开，断开， K2接通，灯泡接通，灯泡延迟熄灭延迟熄灭

22、 (t=0时，时，i=0) t022t0RdtiLI21idt 电源提供电源提供的总能量的总能量电源克服自感电电源克服自感电动势作的功动势作的功电阻上消耗电阻上消耗的焦耳热的焦耳热一个自感系数为一个自感系数为L的线的线圈圈,当电流为当电流为I时时,所具有所具有的磁场能量的磁场能量2mLI21W K1断开，断开， K2接通接通iRdtdiL tLRIei 解方程解方程此电流通过此电流通过R时时,放出的焦耳热为放出的焦耳热为2200221)(LIRdtIedtRitLR(t=0时，时，i=I)1KR2K 自感线圈也是一个储能元件，自感自感线圈也是一个储能元件，自感系数也反映线圈储能的本领系数也反映

23、线圈储能的本领三、磁场能量与磁场能量密度三、磁场能量与磁场能量密度221LIWm VnL2 2221VInWm VnInI21BHV21 VVmmBHdVdVwW21磁场能量密度磁场能量密度mw对非均匀磁场，对非均匀磁场，空间磁场总能量空间磁场总能量能量存在能量存在器件中器件中CL221CUWeWLIm122存在存在场中场中通过平板电容器得通过平板电容器得出下述结论出下述结论DE21we 通过长直螺线管得通过长直螺线管得出下述结论出下述结论BH21wm 在电磁场中在电磁场中w wwemBH21DE21w 普遍适用普遍适用各种电场各种电场 磁场磁场静电场静电场 稳恒磁场稳恒磁场 类比类比IR1R

24、2l 例例11. 无限长同轴电缆，由半径分别为无限长同轴电缆，由半径分别为R1、R2的两个同的两个同轴圆筒组成，电流由内圆筒出去，经外圆筒返回形成轴圆筒组成，电流由内圆筒出去，经外圆筒返回形成闭合回路。两圆筒之间充满磁导率为闭合回路。两圆筒之间充满磁导率为 的介质。的介质。求：求：1）长度为）长度为l 的一段电缆中的磁场能量；的一段电缆中的磁场能量； 2）长度为）长度为l 的一段电缆的自感系数的一段电缆的自感系数L 。 由安培环路定理求磁场分布由安培环路定理求磁场分布21RrR 0, 0 BHrIBrIH 2,2 rldrdV 2 rdr取半径取半径r，宽，宽dr的同轴圆柱面的同轴圆柱面解：解

25、：磁场能量磁场能量 VmBHdV21W21,RrRr 2128222RRmrldrrIW 221ln4RI lR求自感系数求自感系数L根据定义：根据定义：21ln2RIlRIL 212RmRIldrr根据能量：根据能量：22211ln42mRI lWLIRIR1R2l Srdr21ln2RlR一一 位移电流位移电流11.7 11.7 与变化电场相联系的磁场与变化电场相联系的磁场IIL在串有电容器的电路中，给电容器充电时在串有电容器的电路中，给电容器充电时在某时刻回路中传导电流强度为在某时刻回路中传导电流强度为I ILl dHS1取取S1II ii内S2取取S20内 iiI取回路取回路L L计算

26、计算H H 的环流的环流1 1、场客观存在、场客观存在 环流值必须唯一环流值必须唯一2 2、定理应该具有普适性、定理应该具有普适性 SSDqdSSqSdD 0Idtdq SddtDddtdSD 麦克斯韦认为一切电磁现象及其规律都是电场与磁场麦克斯韦认为一切电磁现象及其规律都是电场与磁场性质、变化以及相互联系（作用）在不同场合下的表性质、变化以及相互联系（作用）在不同场合下的表现。现。因此假设因此假设位移电流位移电流 的存在，把安培环路定理推的存在，把安培环路定理推广到非恒定情况下也适用广到非恒定情况下也适用电容器充电过程中，极板间存电容器充电过程中，极板间存在变化的电场在变化的电场I0I0ES设极板带电量设极板带电量q ,在电场中取一在电场中取一与极板等大的平行截面与极板等大的平行截面SIIES IdtdD说明二者量纲相同说明二者量纲相同MaxwellMaxwell定义定义：位移电流位移电流displacement currentdisplacement currentdtdIDd方向也相同方向也相同全电流：通过某截面的全电流是通过该截面的全电流：通过某截面的全电流是