大学物理下量子力学基础 06

1、0)()41(2)(2022rreEmr定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为：1、 氢原子的定态薛定谔方程氢原子的定态薛定谔方程rerV2041)( 氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为则其势能函数为由于势能只与由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：在球坐标系下：在球坐标系下：,cossin rx,sinsin ry,cosrz

2、zryx22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr在球坐标系下的薛定谔方程：在球坐标系下的薛定谔方程：此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设即设 代入上式得：代入上式得：)()()(rR)3(0) 1(242)(1)2(0sin) 1()(sinsin1) 1 (0220222222222RrllmreEmdrdRrdrdrmllddddmddll方程（方程（1）的解为）的解为:2, 1, 0)(limmAel方程（方程（2）的解为）

3、的解为:)(coscos)cos1 ()(2/2lmmmPddlll由标准化条件决定：由标准化条件决定：l=0,1,2, , 同时限定给定一同时限定给定一 l,ml只能只能取下列取下列2l+1lml2, 1, 0是连带的勒让德函数是连带的勒让德函数)(coslP角度部角度部分的解：分的解：imlmmmlmePddNYlll)(coscos)cos1 (),(2/2方程（方程（3）的解为）的解为:)2()2(01200narLnareNRllnlnarnlnl其中：其中：Nnl为归一化常数，为归一化常数， 为一常数，为一常数，220mea12 llnL为缔合勒盖尔多项式。为缔合勒盖尔多项式。同时

4、规定了同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定的取值范围，即对于某一确定n ,l可能取可能取n个值：个值：l=0,1,2,n-1氢原子的波函数：氢原子的波函数：),()(),(lmnlnlmYrRr为主量子数或称能量量子数为主量子数或称能量量子数。n在求解方程（在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，）时，电子处于束缚态时，E只能取只能取一些分立的负值，即：一些分立的负值，即：, 2 , 1132222024nnmeEn能级公式能级公式n=1的能级称为基态能级的能级称为基态能级eVmeE6 .1332220241n1的能级称为激发态能级的能级称为激发态能级,取值如下：取值如下：0544. 05

5、/85. 04/51. 13/4 . 32/6 .132152142132121EeVEEeVEEeVEEeVEEeVE如图所示，如图所示，n增大增大时，时， 能级间隔减小能级间隔减小；n很大时间隔非很大时间隔非常小，可看成连续常小，可看成连续变化。变化。126 534氢原子能级图氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数主量子数 n方程（方程（2）得到的波函数）得到的波函数 ( )表明：电子绕核转动的角动量是表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为：量子化的，其大小为：1, 2 , 1 , 0) 1(nlllL其中：其中：l 称为称为角量子数或称

6、副量子数角量子数或称副量子数。用来描述波函数。用来描述波函数 的空间对称性。的空间对称性。 说明：说明：1、L只能取由只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的、不同的 n 值，只要值，只要 l=0，则则L=0 3、对于同一对于同一n值，值，l 不同时，不同时，L有不同的值。所以有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能才能 确切地表征。确切地表征。 一般一般s、p、d、f、g等字母表示等字母表示 l=0,1,2, ，显显然，对于然，对于s 态的电子来说，其动量矩态的电子来说，其动量矩L=0.方程（

7、方程（1）得到的波函数）得到的波函数 ( )表明：电子绕核转动的角动量空表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，轴方向，Lz表示表示L在在外场方向投影大小，则外场方向投影大小，则lmmLllz, 2, 1, 0这里的这里的 ml即为前面讲的即为前面讲的m，称为称为磁量子数磁量子数。对应一个。对应一个 l，ml有有2l+1个值，即角动量的空间取向有个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。种可能。索末菲在索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是

8、任意的，而只能取有限的运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。特定方位，这既是轨道空间量子化假设。ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。KBNSPK原子射线；原子射线；B狭缝；狭缝；NS磁场；磁场；P照相板照相板结果：无外场时，结果：无外场时，P上沉积

9、一上沉积一 条正对条正对B的痕迹；有外的痕迹；有外 场时，出现几条不连场时，出现几条不连 续的线状痕迹。续的线状痕迹。此实验最初用此实验最初用s态银原子进行，态银原子进行，原子射线分裂为二条，且二者原子射线分裂为二条，且二者偏转上下对称。偏转上下对称。 因因s态原子态原子l=0本身无动量矩和磁矩。本身无动量矩和磁矩。1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。量子力学的计算：自旋动量矩量子力学的计算：自旋动量矩S为为为自旋量子数sssS23) 121(21

10、) 1(自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz只能有如下两种取值：只能有如下两种取值：为自旋磁量子数sssmmmS21确定氢原子的状态的四个量子数确定氢原子的状态的四个量子数slmmln、主量子数主量子数 决定电子的能量。决定电子的能量。, 3 , 2 , 1n2220421)4(2nheEn) 1( llL角量子数角量子数 决定电子轨道角动量决定电子轨道角动量, 1, 2 , 1 , 0nl磁量子数磁量子数 决定轨道角动量决定轨道角动量的空间取向，的空间取向，, 2, 1, 0lml; lZmL 自旋磁量子数自旋磁量子数 决定自旋角动量的空决定自

11、旋角动量的空间取向，间取向， 。sZmS 21sm为正时，称为自旋向上。为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。为负时，称为自旋向下。填空题：填空题：1. 原子内电子的量子态由原子内电子的量子态由n、l、ml及及ms四个量子数表征。当四个量子数表征。当n、l、ml一定时，不同的量子态数目为一定时，不同的量子态数目为 ；当；当n、l一一定时，不同的量子态数目为定时，不同的量子态数目为 ；当；当n一定时，不同一定时，不同的量子态数目为的量子态数目为 .2. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为的投影为 ，当角量子数，当

12、角量子数l=2时，时，Lz的可能取值为的可能取值为 .lzmL 3. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为，当主量子数数n=3时，电子动量矩的可能取值为时，电子动量矩的可能取值为 .光的波光的波粒二象性小结粒二象性小结光光的的波波粒粒二二象象性性光电效应光电效应康普顿散射康普顿散射当光照在金属时，金属板将释放电子当光照在金属时，金属板将释放电子即光电子的现象。即光电子的现象。aeUeKmV2021实验规律实验规律爱因斯坦方程爱因斯坦方程WhmV2021hW0遏止频率遏止频率 在散射光中除有与入射波长相同的射线在散射光中除有与入射波长相同的射

13、线外，还有波长比入射波长更长的射线外，还有波长比入射波长更长的射线 . .mcmheee122201043. 22sin22sin2粒子的波粒二象性小结粒子的波粒二象性小结粒粒子子的的波波粒粒二二象象性性2201cvmmmvh德布罗意波德布罗意波粒子的波粒二象性粒子的波粒二象性实验证明：实验证明： 戴维孙戴维孙- -革末实验革末实验meUh2微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出 现的几率遵从一定的统计规律（几率波）现的几率遵从一定的统计规律（几率波）不确定关系不确定关系hpzhpyhpxzyx2mcEhEph氢原子的玻尔理论小结氢原子的玻尔理

14、论小结氢氢原原子子的的玻玻尔尔理理论论玻尔理论玻尔理论实验规律实验规律理论计算理论计算)11(122nmR2, 1, 3 , 2 , 1mmnmm=1，赖曼系，赖曼系m=2，巴耳末系（可见光），巴耳末系（可见光）m=3，帕邢系，帕邢系（1）定态假设）定态假设hEEmn（2）跃迁假设：）跃迁假设：（3）角动量量子化假设）角动量量子化假设3 , 2 , 1nnLmrnrnmenron1011222210529. 0), 3 , 2 , 1(4), 3 , 2 , 1(6 .13)8(12122nneVrenEon量量子子力力学学小小结结波函数波函数 是一个复指数函数，本身无物理意义是一个复指数函数

15、，本身无物理意义),(tr波函数应满足单值、有限、连续的标准条件波函数应满足单值、有限、连续的标准条件12dV波函数归一化条件波函数归一化条件薛定谔方程：薛定谔方程：)()()()(2222xExxVdxxdm 波函数模的平方波函数模的平方 代表时刻代表时刻t 在在 r 处粒子出现的几率密度。即：处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在时刻出现在 空间（空间（x,y,z）点的单位体积内的几率点的单位体积内的几率*2| 薛定谔方程的应用：薛定谔方程的应用：一维无限深方势阱一维无限深方势阱氢原子四个量子数的物理意义氢原子四个量子数的物理意义1. 波长为波长为 的单色光照射某金属的单色光照射某金属M

16、表面发生光电效应，发射表面发生光电效应，发射的光电子的光电子(电荷绝对值为电荷绝对值为e，质量为，质量为m)经狭缝经狭缝 S 后垂直进入磁后垂直进入磁感应强度为的均匀磁场感应强度为的均匀磁场(如图示如图示)，今已测出电子在该磁场中，今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为作圆运动的最大半径为R求求 (1) 金属材料的逸出功金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差遏止电势差U B eMs解：解：(1) 由由 和和 RmeB/2vv mReB / )(v代入：代入： Amh2v21可得可得: 222221mBemRhcAmBeRhc2222 (2) 221mvUemeBRemvU222222.设

17、康普顿效应中入射设康普顿效应中入射X射线射线(伦琴射线伦琴射线)的波长的波长 =0.700 ，散射的，散射的X射线与入射的射线与入射的X射线垂直，求：射线垂直，求： 反冲电子的动能反冲电子的动能EK (1) (2) 反冲电子运动的动量及动量方向与入射的反冲电子运动的动量及动量方向与入射的X射线之间射线之间的夹角的夹角 解：令、解：令、 和和 、 分别为入射与散射光子的动量分别为入射与散射光子的动量和频率，和频率， 为反冲电子的动量为反冲电子的动量(如图如图)因散射线与入因散射线与入射线垂直，散射角射线垂直，散射角 ，因此可求得散射因此可求得散射X射线的射线的波长波长 ：ppvm2/p pmvc

18、mhe= 0.724 (1) 根据能量守恒定律根据能量守恒定律 22mchhcme22cmmcEeK)/()(hchhEK= 9.4210-17 J vmpp2222)/()/(hhppmv2222)/h()/h(ppmv2)/(1121)/(11cos44.0 3.在在B =1.2510-2 T的匀强磁场中沿半径为的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm的圆轨的圆轨道运动的电子的德布罗意波长是多少道运动的电子的德布罗意波长是多少? (普朗克常量普朗克常量h =6.6310-34 Js，e =1.6010-19 C)evBRvm2eRBmv eRBhmvh=0. 2A解：电子的轨迹为圆，则：解：电子的轨迹为圆，则： 4. 已知第一玻尔轨道半径已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿第，试计算当氢原子中电子沿第n玻玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？ )/(/vmhph解：解：)2/(nahmv故故:namh2)/( v得得:因为若电子在第因为若电子在第n玻尔轨道运动，其轨道半径和动量矩玻尔轨道运动，其轨道半径和动量矩分别为：分别为： anrn2)2/( nhrmLnv5. 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质