哈尔滨中考压轴题既27、28题

1、1如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值1 2如图，已知为直角三角形，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过

2、点、（1）求点的坐标（用表示）；（2）求抛物线的解析式； （3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值2（1）由可知，又ABC为等腰直角三角形，所以点A的坐标是（）. （2），则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 解得抛物线的解析式为7分（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. 即，得 即，得 又即为定值8. 3已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E

3、（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；27题图yxDBCAEEO（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3解：（1）由已知，得，（1分）设过点的抛物线的解析式为将点的坐标代入，得来源:学&将和点的坐标分别代入，得（2分）解这个方程组，得

4、 故抛物线的解析式为（3分）（2）成立（4分）点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为（5分）yxDBCAEEOFKGG设的解析式为，将点的坐标分别代入，得 解得的解析式为，（7分）过点作于点，则，又，来（3）点在上，则设，若，则，解得，此时点与点重合若，则，解得 ，此时轴与该抛物线在第一象限的交点的横坐标为1，点的纵坐标为若，则，来解得，此时，是等腰直角三角形过点作轴于点，则，设，yxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)解得（舍去）（12分）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或4如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 （1）求的值 （2）若为轴上的点

5、，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？xyADBOC27题图 （3）若点在平面直角坐标系，则在直线上是否存在点使以、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由4解：（1）解得，1分在中，由勾股定理有，（2）点在轴上，1分由已知可知D（6，4），设当时有解得，同理时，1分在中，在中，（3）满足条件的点有四个，4分说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评5如图，以BC为直径的O交CFB的边CF于点A，BM平分ABC交AC于点M，ADBC于点D，AD交BM于点N，MEBC于点E，AB2=AF·AC，cosABD=，AD=12求证：A

6、NMENM；求证：FB是O的切线；证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S5证明：BC是O的直径BAC=90o又EMBC，BM平分ABC，AM=ME，AMN=EMN又MN=MN，ANMENMAB2=AF·AC又BAC=FAB=90oABFACBABF=C又FBC=ABC+FBA=90oFB是O的切线由得AN=EN，AM=EM，AMN=EMN，又ANME，ANM=EMN，AMN=ANM，AN=AM，AM=ME=EN=AN四边形AMEN是菱形cosABD=，ADB=90o设BD=3x，则AB=5x，由勾股定理而AD=12，x=3BD=9，AB=15MB平分AME，BE=AB=15DE

7、=BE-BD=6NDME，BND=BME，又NBD=MBEBNDBME，则设ME=x，则ND=12-x，解得x=S=ME·DE=×6=456如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60°（1）点B的坐标是（6，2）；CAO=30度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3）；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形

8、OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值围考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；梯形；解直角三角形。专题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；由正切函数，即可求得CAO的度数，由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；（3）分别从当0x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案解答：解：（1）四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），点B的坐标为：（6，2）；tanCAO=，CAO=30&#

9、176;；如下图：当当点Q与点A重合时，过点P作PEOA于E，PQO=60°，D（0，3），PE=3，AE=3，OE=OAAE=63=3，点P的坐标为（3，3）；故答案为：（6，2），30，（3，3）；（2）情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30°，MNO=60°，PQO=60°，即MQO=60°，点N与Q重合，点P与D重合，此时m=0，情况，如图AM=AN，作MJx轴、PIx轴；MJ=MQsin60°=AQsin60°=（OAIQOI）sin60°=（3m）=AM=AN=，可得（3m）=，解得：m=3，情况

10、AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PKOA于K，过点M作MGOA于G，MG=，QK=3，GQ=，KG=30.5=2.5，AG=AN=1.5，OK=2，m=2，（3）当0x3时，如图，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）OC=（3+x），当3x5时，S=S梯形SHAQ=S梯形AHAQ=（3+x）（x3）2，当5x9时，S=（BE+OA）OC=（12x），当9x时，S=OAAH=点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以与

11、直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用26如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行(2)当t为何值时，OMNOBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形。分析：(1)用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例

12、式说明；(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答；(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题解答：解：(1)因为A坐标为(1，)，所以OA2，AOB60°因为OM24t，ON64t，当时，解得t0，即在甲、乙两人到达O点前，只有当t0时，OMNOAB，所以MN与AB不可能平行；(2)因为甲达到O点时间为t，乙达到O点的时间为t，所以甲先到达O点，所以t或t时，O、M、N三点不能连接成三角形，当t时，如果OMNOAB，则有，解得t2，所以，OMN不可能相似OBA；当t时，MONAOB，显然OMN不相似OBA；当t时，解得t2，所以当t2时，O

13、MNOBA；(3)当t时，如图1，过点M作MHx轴，垂足为H，在RtMOH中，因为AOB60°，所以MHOMsin60°(24t)×(12t)，OH0Mcos60°(24t)×12t，所以NH(64t)(12t)52t，所以s(12t)2(52t)216t232t28当t时，如图2，作MHx轴，垂足为H，在RtMNH中，MH(4t2)(2t1)，NH(4t2)(64t)52t，所以s(12t)2(52t)216t232t28当t时，同理可得s(12t)2(52t)216t232t28，综上所述，s(12t)2(52t)216t232t28因为s

14、16t232t2816(t1)212，所以当t1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2km点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大23如图所示，现有一边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；

15、若不存在，请说明理由考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出EFMBPA，进而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可解答：（1）解：如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90°，EPHEPB=EBCEBP即PBC=BPH又ADBC，APB=PBCAPB=BPH（

16、2）PHD的周长不变为定值8证明：如图2，过B作BQPH，垂足为Q由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90°，BP=BP，ABPQBPAP=QP，AB=BQ又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90°，BH=BH，BCHBQHCH=QHPHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）如图3，过F作FMAB，垂足为M，则FM=BC=AB又EF为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90°，EFM=ABP又A=EMF=90°，EFMBPAEM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2解得，又四边形PEFG与

17、四边形BEFC全等，即：配方得，当x=2时，S有最小值6点评：此题主要考查了翻折变换的性质以与全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键26如图1，AD分别在x轴和y轴上，CDx轴，BCy轴点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示（1）求AB两点的坐标；（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式考点：动点问题的函数图象；一次函数综合题。分

18、析：（1）先连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6AO和SAOD=4，即可得出DOAO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标，再延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5cm，CB=1cm，即可求出AM=4，从而得出点B的坐标（2）先设点P（x，y），连PCPO，得出S四边形DPBC的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，再由A，B点的坐标，求出直线AB的函数关系式，从而求出x、y的值，即可得出P点的坐标，再设直线PD的函数关系式为y=kx+4，求出K的值，即可得出直线PD的函数关系式解答：解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2知，DO+OA=6cm，

19、DO=6AO，由图2知SAOD=4，DOAO=4，a26a+8=0，解得a=2或a=4，由图2知，DO3，AO3，a=2，A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4），在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=5cm，CB=1cm，MB=3，AM=4OM=6，B点坐标为（6，3）；（2）显然点P一定在AB上设点P（x，y），连PCPO，则S四边形DPBC=SDPC+SPBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCDSABM）=9，6×（4y）+×1×（6x）=9，即x+6y=12，同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，由A（2，0），B（6，3）求得直线AB

20、的函数关系式为y=，由或或解得x=，y=P（，），设直线PD的函数关系式为y=kx+4，则=k+4，k=，直线PD的函数关系式为y=x+4点评：此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意设出函数关系式，是难点，也是中考的重点，需熟练掌握24已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。解答：（1）解：四边形ABCD是菱形，ABCD，1=ACD，1=2，ACD=2，MC=MD，MECD，CD=2CE，CE=1，CD=2，BC=CD=2

21、；（2）证明：如图，F为边BC的中点，BF=CF=BC，CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD，在CEM和CFM中，CEMCFM（SAS），ME=MF，延长AB交DF于点G，ABCD，G=2，1=2，1=G，AM=MG，在CDF和BGF中，CDFBGF（AAS），GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME26（2012）已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=2，BC=6，AB=3E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

22、（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连接BD，BM，DM，是否存在这样的t，使BDM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以与自变量t的取值围考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。解答：解：（1）如图，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x，GFBE，AGFABC，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图，过点D作DHBC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，在RtBME中，BM2=ME2+BE2=22+（2t）2=t22t+8，EFAB，MECABC，即，ME=2t，在RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+1