第6章电磁场数值模拟有限元素法

1、内容提要第一节 大地电磁场有限元模拟第二节 大地电磁场矢量有限元模拟 第六章 电磁场数值模拟有限元法 讨论二维大地电磁场的有限元模拟。大地电磁(MT)测深是一种以天然电磁场为场源， 探测地下电性垂向变化的勘探方法，在构造单元划分、基底起伏形态研究、沉积盆地电性分层、油气田探查、地热探查和地震预报中，得到了广泛的应用。 大地电磁反演是当前地球物理反演研究的热门领域。正演是反演的基础，而大地电磁的正演，目前只对一维分层均匀介质有解析解。求解一维连续介质、二维和三维介质的大地电磁场的解析解是十分困难的， 除少数简单情况外， 一般都不能得到解析解。 在实际工作中，常常遇到二维和三维介质，这时，必须依靠

2、数值方法计算大地电磁场，最有效的数值方法是有限元法。 第一节 大地电磁场有限元模拟 角频率为（时间因子为i te）的定态电磁场的方程： （1） （2） 当平面电磁波入射地面时，地下介质中的电磁波总以平面波形式，几乎垂直地向下传播。将(1)和(2)式按分量展开，并考虑到0z ，得两个独立的方程组，并以 z 分量为准，分别命名为 E型和 H 型波。 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 =+ttBEEHE 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zE和zH应满足的偏微分方程： 可统一表示成 对于 E 型： 对于 H 型： 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 为了求解方

3、程，还必须给出边界条件。 外边界条件 E 型波取图所示的研究区域。上边界 AB 离地面足够远，使异常场在 AB 上为零，以该处的u为 1 单位： 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zxy 外边界条件 E 型波 下边界 CD 以下为均质岩石，局部不均匀体的异常场在 CD 上为零，电磁波在 CD 以下的传播方程为 （-y 方向传播） ，0u是常数，2ki 。对低频电磁波，ki。 对u求导ukuy。因为 CD 处yn，所以 CD 处的边界条件： 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zxy 外边界条件 E 型波 取左右边界 AD, BC 离局部不均匀体足够远，电磁场在 AD，

4、BC 上左右对称，其上的边界条件是 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zxy 外边界条件外边界条件 H 型波取所示的研究区域。 上边界 AB 直接取在地面上， 并以该处的 u 为 1 单位： 这是因为对大地电磁波来说，有1，有 所以，空气中的zH近似为常量。这样，可取地面的 u=1。其它条件同 E 波。 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zxy 内边界条件 E 型波由于zE沿着介质分界面，根据电场切向分量连续性可知，在两种介质的分界面1上，有 12uu 由图，磁场的切向分量 根据介质分界面上磁场切向分量的连续性可知，介质两侧的1zEin是连续的，即 zEn n 与

5、x 的夹角为90，方向余弦为sin，n 与 y 的夹角为，方向余弦为cos，Ht 括号内为方向导数。 y1 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 内边界条件 H 型波由于 Hz 沿着介质分界面， 根据磁场切向分量连续性可知，在两种介质的分界面1上，有 12uu 由图，电场切向分量 根据介质分界面上电场切向分量的连续性可知，介质两侧的1zHin是连续的，即 1 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 zHzxy综合以上讨论，边值问题归纳为 2 1 1.1 边值问题 第一节 大地电磁场有限元模拟 1211112211220,nSnuuuu vdv uuvvudv u duvvud

6、v u dv uvvduvvudv udv uduvvuvdd AAAASAdV 为简单起见， 假定在区域中只有一个不均匀体。 用满足边界条件 v=0（在 AB 上）的任意 v 乘微分方程两侧并积分 1.2 虚功原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 1111121211211211uu vduuvdvduvvudnnuuuvdvdvdnnnuvvuduvduvvudn 1.2 虚功原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 外法线方向相反110ABBCCDDACDuuu vdvduvvudnuuuuvdvdvdvdnnnnuvvuduvduvvudnvuuv d ,0,CDnA ddkuvd A 1.2

7、 虚功原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 与定解问题对应的由虚功原理得到的变分问题： 01,CDvuuv dkuvduAB 1.2 虚功原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 泛函变分的求法： 0J uJ uu 例 1：求泛函 120J uu dx的变分。 12001100022J uuudxuuu dxu udx 例 2：求泛函 1220J uuudx的变分。 12200J uuuuudx 1022,J uu uuu dxuu 1.3 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 求泛函的变分就是先求泛函对自变量的导数，然后再乘以自变量的变分。1.4 位能原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 121111

8、221122110nnuuuuudu uu uuu du u du uuu du u du u du uuu du udu udu uuu duun 1122ududu uuu dn 用 u 的变分 u 乘微分方程两侧并积分 vvv AAAnA dd A1.4 位能原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 1100CDCDuuuududu uuudnku udu uuudu uuudku ud 1.4 位能原理 第一节 大地电磁场有限元模拟 222200111102222CDCDCDuuu u dku udu uu uu u dku udxxyyuuudku dxy 故由位能原理所得泛函可定义为 2

9、2211122201,CDF uuudku dF uuAB 为简单起见，假定在区域中只有一个不均匀体。构造泛函 1.5 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 其变分为 1.5 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 的第二和四项为零。 1.5 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 是区域的外边界，I是内边界，12,n n分别是12, 的外法向，方向正好相反。根据内边界条件， 有 即内边界条件不出现在 I u的变分中，自动满足。 1.5 变分问题 2 1 第一节 大地电磁场有限元模拟 因此 uI uudn 将下列边界条件 代入得 1.5 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 所以，边值问题 与下列

10、变分问题等价 1.5 变分问题第一节 大地电磁场有限元模拟 双线性插值在求解二维大地电磁变分问题中的应用。用矩形单元对区域进行剖分，并给每个单元的电阻率赋值。矩形单元的宽度为 a，高度为 b。单元的四个节点的编号按规律编排。在单元内进行双线性插值。将变分问题中的区域积分分解为各单元积分之和： 右侧最后一项积分只对 CD 边界上的单元进行。 1.6 有限元法第一节 大地电磁场有限元模拟 1234567891011122221111222Teeeeeuuuddxdyxy u K u 1eijKK 41iiiuN u， （iN为形函数，1114iiiN） 0,1 1,0 1 2 3 4 1.6 有限

11、元法第一节 大地电磁场有限元模拟 4jjiiijejjiieNNNNKdxxyyNNNNabd dxxyy 。 单元积分 2421224211242362124eabK。 1.6 有限元法第一节 大地电磁场有限元模拟 当单元的_12边落在无穷远边界上时，线积分 其中3eijKK由下式给出 321001200000060000ekbK。 1.6 有限元法第一节 大地电磁场有限元模拟 1eK，2eK和3eK都是 4 阶矩阵， 将其扩展成全体节点的矩阵1eK，2eK，3eK。然后将各单元的扩展矩阵相加，F（u）变成 其中123eeeCDKKKK是总体系数矩阵。 对 F（u）式求变分，得 由u的任意性，得 Ku0。 解线性代数方程组前，将 AB 线上的边界值代入。u 代表各节点的zH或zE。至此，有限单元法求解 u 的过程全部结束。 用zH或zE可进一步求得视电阻率。 1.6 有限元法第一节 大地电磁场有限元模拟 第二节 大地电磁场矢量有限元模拟 eyl 1234通常的有限元法未知函数值取在节点上1234矢量有限元法未知函数值取