第一部分 核心考点三 第12课时 推理与证明

1、第 12 课时 推理与证明1(2012 年江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10() A28B76C123D199解析：等式右面的数构成一个数列 1,3,4,7,11，数列的前两项相加等于后面的项，即 anan1an2，所以可推出a10123.故选 C.C2(2011 年广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果a，bS，有 abS，则称 S 关于数的乘法是封闭的若 T，V 是 Z的两个不相交的非空子集，TVZ.且a，b，cT，有 abc)T，x，y，zV，有 xyzV.则下列结论恒成立的是(AT，V 中至少有一个关于乘法是封闭的BT，V

2、 中至多有一个关于乘法是封闭的CT，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的DT，V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：由于 TVZ，故整数 1 一定在 T，V 两个集合中的一个中，不妨设 1T，则a，bT，由于a，b,1T，则ab1T，即 abT，从而 T 对乘法封闭；另一方面，当 T非负整数，V负整数时，T 关于乘法封闭，V 关于乘法不封闭，故 D 不对；当 T奇数，V偶数时，T，V 显然关于乘法都是封闭的，故 B，C 不对故选 A.答案：A解析：观察知：四个等式等号右边的分母为 x2,3x4,7x8,15x16，即(21)x2，(41)x4，(81)x8，(161)x16，所以归纳出fn(x)f

3、fn1(x)的分母为(2n1)x2n，故当nN*且n2时，fn(x)ffn1(x)4(2010 年四川)设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，yS，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集下列命题：集合 Sabi|a，b 为整数，i 为虚数单位为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：直接验证可知正确；当 S 为封闭集时，因为 xyS，取 xy，得 0S，正确；对于集合 S0，显然满足所有条件，但 S 是有限集，错误；取 S0，T0,1，满足 STC，但由于

4、 011T，故 T 不是封闭集，错误答案：推理与证明是新课标增加的内容，旨在培养学生的观察、猜测和创新的能力， 自2007 年新课改第一次高考以来，推理与证明一直是高考关注的对象，主要以三种方式出现：1以填空题形式考查合情推理(归纳与类比)2以选择题形式考查信息给予题3与数列等大题相结合，考查推理证明能力，难度不大，但相当有新意，而且常考常新，能达到考查能力的目的，应该引起我们的重视归纳推理例 1：(2012 年陕西)观察下列不等式：照此规律，第五个不等式为_【思维点拨】归纳总结时，看等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键

5、的一个根是x1，则x1 ，方程a0 x2a1xa20的两个根是x1，x2，则x1x2 ，由此类推方程 a0 x3a1x2a2xa30【配对练习】1(2012 年广东佛山三模)已知 a00，设方程a0 xa10的三个根是 x1，x2，x3，则x1x2x3_.33(123)2,13233343(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_解析：第 i 个等式左边为 1 到 i1 的立方和，右边为 1 到i1 和的完全平方，所以第四个等式为 1323334353(12345)2(或152)2(2010 年陕西)观察下列等式：1323(12)2,13231323334353(12345)2(或152)类

6、比推理例 2：设等差数列 an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前 n 项积为 Tn，则 T4，_ ，_ ，_ 成等比数列解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前 n 答案：【配对练习】3 已 知 等 差 数 列 an 中 ， 有， 则在等 比 数 列 bn 中 ， 会有类似的结论_解析：由等比数列的性质可知，b1b30b2b29b11b20，4记等差数列an的前 n 项的和为 Sn, 利用倒序求和的方法，得 ；类似地，记等比数列bn的前 n 项的积 表示成首项 b1，末项 bn 与项数 n 的一个关系式，即 Tn_.

7、解析：Tnb1b2bn，Tnbnbn1b1，两式相乘， 为 Tn，且 bn0(nN*)，试类比等差数列求和的方法，可将 Tn信息给予题例 3：(2012 年广东茂名二模)在实数集 R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似地，我们在平面向量集 Da|a(x，y)，xR，yR上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”定义如下：对于任意两个向量 a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a1 a2 当且仅当“x1x2”或“x1x2 且 y1y2”按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：若 e1(1,0)，e2(0,1)，0(0,0)则 e1 e2 0;若 a1 a2，a2 a3，

8、则 a1 a3；若 a1a2，则对于任意 aD，a1a a2a；对于任意向量 a 0，0(0,0)，若 a1 a2，则 aa1aa2.其中真命题的序号为()A B C D解析：(1)显然正确(2)设a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a3(x3，y3)，由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”，由a2 a3，得“x2x3”或“x2x3且y2y3”，若x1x2x3，则a1 a3.若“x1x2”且“x2x3且y2y3”，则x1x3，所以a1 a3.若“x1x2 且 y1y2”且“x2x3”，则 x1x3，所以 a1 a3.若“x1 x2 且 y1y2”且“x2 x3 且 y2y3”

9、，则 x1 x3 且y1y3，所以 a1 a3.a1a a3a.综上所述，若a1 a2，a2 a3，则a1 a3，所以正确(3)设a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a(x，y)，则a1a(x1x，y1y)，a2a(x2x，y2y)由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”若x1x2，则x1xx2x，所以a1a a3a.若x1x2且y1y2，则x1xx2x且y1yy2y，所以yy1yy2，所以 xx1yy1xx2yy2.所以aa10”或“x0且y0”由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”若“x0且y0”且“x1x2且y1y2”，则xx1xx20且【配对练习】5(20

10、11 年安徽)在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；如果 k 与 b 都是无理数，则直线 ykxb 不经过任何整点；直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点；直线 ykxb 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与 b 都是有理数；存在恰经过一个整点的直线 线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1kx1，y2kx2，两式相减，得y1y2k(x1x2)，则点(x1x2，y1y2)也在直线 ykx 上，通过这种方法可以得到直线 l 经过无穷多个整点，通过上下平移 ykx，得对于ykxb也成立，所以正确；k 与 b 都是有理数，直线 ykxb 不一定经过整点，错误；直线 y x 恰过一个整点，正确答案：合情推理包括归纳推理与类比推理： 归纳推理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊证明包括直接证明和间接证明： 直接证明