第4章证券组合管理理论43套利定价理论

1、4.3套利定价理论套利定价理论套利定价理论套利定价理论(arbitrage pricing theory，APT)由斯蒂芬由斯蒂芬 A.罗斯罗斯(Stephen A. Ross)提出提出理论要点：证券的收益率与一组影响理论要点：证券的收益率与一组影响它的要素线性相关，这些因素的变化它的要素线性相关，这些因素的变化对收益率有直接的影响。对收益率有直接的影响。主要目的：找出这些因素，并确定证主要目的：找出这些因素，并确定证券收益率对这些因素的敏感程度。券收益率对这些因素的敏感程度。4.3套利定价理论套利定价理论4.3.1因素模型因素模型4.3.2套利定价理论基础套利定价理论基础4.3.3套利定价理

2、论模型套利定价理论模型4.3.4套利定价理论模型与资本资套利定价理论模型与资本资产定价模型的综合应用产定价模型的综合应用4.3.1因素模型因素模型1.单因素模型单因素模型假设：证券收益率只受一种主要因素的影响，即：假设：证券收益率只受一种主要因素的影响，即：1111iiiiiiirab FriFbi式中， ：第 种证券的收益率：影响证券收益率的单一要素：第 种证券的收益率对要素的敏感程度：随机误差项2.多因素模型多因素模型112211212iiiiinniiniiiirab Fb Fb Fbirab Fb FFFL式中:为第 种证券的收益率对第n种要素的敏感程度夏普的单指数模型是多因素模型的特

3、例最常见的双因素模型为：和代表对证券收益率有重大影响的因素4.3.2套利定价理论基础套利定价理论基础1.套利与套利组合套利与套利组合套利套利：利用一个或多个市场存在的各种：利用一个或多个市场存在的各种价格差异价格差异，在不冒风险的情况下赚取收，在不冒风险的情况下赚取收益的交易活动。益的交易活动。市场机会：资产定价出错、信息不能及市场机会：资产定价出错、信息不能及时到达时到达套利的五种形式：空间套利、时间套利、套利的五种形式：空间套利、时间套利、工具套利、风险套利和税收套利。工具套利、风险套利和税收套利。空间套利空间套利是证券市场主要的无风险套利形式。是证券市场主要的无风险套利形式。投资者在投资

4、者在相同市场相同市场内内买入低价买入低价的证券或的证券或组合，组合，卖空卖空另一种风险相同的另一种风险相同的价高价高的证的证券或组合，两个证券或组合券或组合，两个证券或组合价格趋同时价格趋同时即达到获利的目的。即达到获利的目的。利用因素模型构造非均衡市场资产的套利用因素模型构造非均衡市场资产的套利组合。利组合。多个资产的套利组合应满足的条件：多个资产的套利组合应满足的条件：（1）套利组合的资产占有净额为零。）套利组合的资产占有净额为零。（2）套利组合不具有风险，即对因素的敏）套利组合不具有风险，即对因素的敏感系数为零。感系数为零。（3）套利组合的预期收益率为正。）套利组合的预期收益率为正。10

5、niiw10,-i-jnPjiijibwbij第 种资产， 第 个因素1()( )0nPiiiE rw E r【例例】假设三种证券资产假设三种证券资产A、B、C的预期收益率的预期收益率仅受因素仅受因素F影响，它们对因素影响，它们对因素F的敏感系数和各自的敏感系数和各自的预期收益率如的预期收益率如下表所示，求下表所示，求wA=-0.2时的套时的套利组合利组合 ,ABCPw w w%证券证券E(r)biA10%0.6B15%1.8C18%3.031310,00,0.61.830 iABCiPi iABCiABCwwwwbwbwwwwwwP %解：套利组合应满足的

6、条件为：将代入上式并求解可得：故，套利组合为，【 练习练习】在证券预期收益率只受单一因素影响的在证券预期收益率只受单一因素影响的假设下，某投资者拥有的一个证券组合具有下列假设下，某投资者拥有的一个证券组合具有下列特征：特征：若投资者决定通过增加证券若投资者决定通过增加证券A的投资至的投资至40%来构造来构造套利组合，试问：（套利组合，试问：（1）在套利组合中其他两种证）在套利组合中其他两种证券的投资比例为多少？（券的投资比例为多少？（2）套利组合的预期收益）套利组合的预期收益率为多少？率为多少？证券证券因素敏感系数因素敏感系数 预期收益率预期收益率 投向比例投向比例A2.020%0.2B3.5

7、10%0.4C0.55%0.43131310,00.4+=00,2 0.4 3.50.500.20.22( )( ) 0.4 20% 0.2 10% 0.2 5%2%iABCBCiPi iBCiBCiiPiwwwwwwbwbwwwwPE rwE r解：（1）依据套利定价理论，套利组合应满足的条件为：解得：故，套利组合为，（）套利组合的预期收益率为：%2.纯因素证券组合纯因素证券组合11221122111111+,PPPPPNNPiiPiiiiiiPrab Fb FbwbbwbwibibN种证券构成的双因素证券组合的收益率：其中：第 种证券在组合中所占的比重第 种证券的收益率对

8、因素F的敏感程度组合的收益率对因素F的敏感程度【例例】假定有三种证券假定有三种证券A、B和和C，对应因素，对应因素F1、F2的灵的灵敏度见表，构造两个组合敏度见表，构造两个组合PI和和PII，权重见表，写出这两，权重见表，写出这两个组合的因素模型。个组合的因素模型。F1F2比重比重比重比重证券证券E(r)bi1bi2组合组合PI组合组合PIIA10%-0.41.750.30.625B15%1.6-0.750.70C18%2/3-0.2500.375解：解：bPI1=0.3(-0.4)+0.71.6+02/3=1 bPI2=0.31.75+0.7(-0.75)+0(-0.25)=0 bPII1=

9、0.625(-0.4)+01.6+0.3752/3=0 bPII2=0.6251.75+0(-0.75)+0.375(-0.25)=1 组合组合PI的因素模型：的因素模型：rPI=aPI+F1+PI 组合组合PII的因素模型：的因素模型：rPII=aPII+F2+PII上例的两个组合为纯因素证券组合上例的两个组合为纯因素证券组合纯因素组合纯因素组合PI：rPI=aPI+F1+PI; 纯因素组合纯因素组合PII：rPII=aPII+F2+PII多因素证券组合模型中，至少可以多因素证券组合模型中，至少可以构建一个收益率只对一个因素敏感构建一个收益率只对一个因素敏感的组合，这种组合称为的组合，这种组

10、合称为纯因素组合纯因素组合。纯因素证券组合纯因素证券组合【例例】计算纯因素组合的收益率计算纯因素组合的收益率收益率收益率F1F2比重比重比重比重证券证券E(r)bi1bi2组合组合PI组合组合PIIA10%-0.41.750.30.625B15%1.6-0.750.70C18%2/3-0.2500.375纯因素组合纯因素组合PI13.5%10rPI=aPI+F1+PI纯因素组合纯因素组合PII13%01rPII=aPII+F2+PII( )0.3 10% 0.7 15% 0 18% 13.5%()0.625 10% 0 15% 0.375 18% 13%PIAI ABI BCI CPIIAII

11、 ABII BCII CErw rw rw rErw rw rw r 3.纯因素证券组合的预期收益率纯因素证券组合的预期收益率组合预期收益率组合预期收益率=无风险收益率无风险收益率+风险贴水风险贴水上例中，若无风险收益率为上例中，若无风险收益率为7%，则，则，风险贴水风险贴水为：为：1=E(rPI)-rF=13.5%-7%=6.5%2=E(rPII)-rF=13%-7%=6%组合的风险溢价组合的风险溢价=因素的风险溢价因素的风险溢价则：则：1=E(F1)-rF；2=E(F2)-rF如果有两个相对同一要素的不同的纯要素组如果有两个相对同一要素的不同的纯要素组合，在某个时刻有不同的预期收益率，此时

12、合，在某个时刻有不同的预期收益率，此时有套利机会存在。有套利机会存在。假设：存在两个对因素假设：存在两个对因素F1的纯要素组合：的纯要素组合：bP1 =w1AbA1+w1BbB1= w2AbA1+w2BbB1=1r1=w1ArA+w1BrB；r2=w2ArA+w2BrB若若r1 r2，则卖空组合，则卖空组合2，买入组合，买入组合1，风险对，风险对冲为零，实现套利。冲为零，实现套利。市场均衡状态下，相对同一要素的纯要素组市场均衡状态下，相对同一要素的纯要素组合必有一致的预期收益率。合必有一致的预期收益率。证券证券k组合组合K，卖空，卖空模型模型rk=ak+0.8F1+1.5F2+krK=-1.3

13、rF+0.8rPI+1.5rPII收益收益率率E(rk)=ak+0.8E(F1) +1.5E(F2)E(rK)=-1.3E(rF) +0.8E(rPI)+1.5E(rPII)均衡状态下，预期收益均衡状态下，预期收益率与组合率与组合K一致，即：一致，即：E(rk)=rF+0.81+1.52E(rPI)=rF+1E(rPII)=rF+2代入上式得代入上式得E(rK)=rF+0.81+1.524.3.3套利定价理论模型套利定价理论模型APT模型：套利定价理论的资产定价公式模型：套利定价理论的资产定价公式E(ri)=rF+bi11+bi22+bimmi-证券，证券，m-因素因素122111( ) ()

14、,( ) ()( )4.3.4miiimmijiMjMiMiFiMFiFjMMmiijFjjmiFMFFjijjmiFijjjrab FE rrE rrbE rrE rrbAPTE rrb由多因素模型计算,并代入CAMP模型:可得：,再次代入CAMP模型得：对照模型可得：套利定价理论模型与资本资产定价模型的综合应用 ()jMFFjE rr【例例】假设假设F1、F2为影响因素，且对市场证为影响因素，且对市场证券组合券组合M的的系数分别为系数分别为F1=1.2, F2=0.7。当。当市场证券组合市场证券组合M的预期收益率为的预期收益率为18%、无风、无风险收益率为险收益率为6%时，试计算两个因素的

15、风险时，试计算两个因素的风险溢价、预期收益率。溢价、预期收益率。解：解：（1）两个因素的风险溢价为：）两个因素的风险溢价为：1=E(rM)-rFF1=(18%-6%)1.2=14.4%2=E(rM)-rFF2=(18%-6%)0.7=8.4%（2）两个因素组合的预期收益率为：）两个因素组合的预期收益率为：E(r)=rF+b11+b22=6%+14.4%b1+8.4%b2111111, 1, 0,0, ( )( )0(),()nnniPji ijiiPiiiPJPJjPJjPJFjjFmiFijjjmijjjnmin jmwbwbE rwE rraFE rrE FriE rrbb%种证券， 个因

16、素，,1.套利组合应满足的条件为：2.纯因素证券组合纯因素组合的风险溢价3.套利定价理论模型APT:证券的预期收益率（为组合的21(,) (),mjMjMFFjiijFjFjjMCov F rE rrb因素风险溢价11 11 1()8.5%-6%=2.5%)6%4 2.5%16%)6%2.6 2.5%12.5%( )0.3 16% 0.7 12.5%13.55%PIFAFABFBPAABBE rrE rrbE rrbE rw E rw E r 解：（1）计算纯因素证券组合的风险溢价（2）由套利定价理论模型APT计算单种证券的预期收益率为:（(3)组合在市场均衡时的预期收益率为：（【练习练习】单因素模型的前提下，证券单因素模型的前提下，证券A、B对于因素的对于因素的敏感系数分别为敏感系数分别为4.0和和2.6，无风险收益率为，无风险收益率为6%，纯因，纯因素组合的预期收益率为素组合的预期收益率为8.5%。若某投资者以。若某投资者以0.3和和0.7的的比例投向两种证券作一个组合，根据比例投向两种证券作一个组合，根据APT模型，计算模型，计算该组合