向量基础知识及应用

1、向量基础知识及应用基本知识：1 .向量加法的定义及向量加法法则(三角形法则、平行四边形法则)；2 .向量减法的定义及向量减法法则(三角形法则、平行四边形法则)；3 .实数与向量的积入a.向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b=入a。4 .向量a和b的数量积：a-b=|a|-|b|cos，其中为a和b的夹角。向量b在a上的投影：|b|cos，其中为a和b的夹角aXba-b=05 .向量的坐标表示：0Axiyx,y；若向量a,x,y,则|a|、x2y2；右Pl(xi,yi)、P2(x2,y2),则PiP2X2xi,v2yi；|PiP2|=.(x2xi)2(

2、V2yi)26 .向量的坐标运算及重要结论：若a=(xi,yi),b=(x2,y2),则 abxix2,yiy2abxix2,yiy2 axnyia?bxix2yiyb-*= a/bxy2x2yi0abxix2+yiV2=0cos=xix2V1V2(为向量的夹角)22.22xiyi,x2y27.点P分有向线段PP2所成的比的：而瓦，或雪PP2内分线段PiP2时，0；P外分线段RP2时,0.X8.定比分点坐标公式：yXi1yi1X2y21,中点坐标公式：yx1x22yy229.三角形重心公式及推导（见课本例2）:三角形重心公式：（X1X2X3y1y2y3)10.图形平移：设F是坐标平面内的一个图

3、形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度（即按向量a平移），得到图形F',我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式:x'hy'k平移向量a=PP=(h,k)应用：1.利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题例1已知向量OP1,oao鸟满足条件OP1OP2OP30,|OP1|OP2|rp2P3是正三角形|OP3|1,求证:解：令由OPcos1sin1O为坐标原点，可设P1cos1,sin1,P2cos2,sin2,P3cos3,sinOP2cos2sin2OP3,即cos3sin3cos1,sin1cos2,sin2cos3sin3两式平方和为2co

4、s1211,cos2的最小正角为120°,即OP与O耳的夹角为120°,同理可得OP与OP3的夹120°,OP；与OP3的夹角为1200,这说明凡鸟三点均匀在一个单位圆上，所以P1P2P3为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为X轴、轴建立直角坐标系，设A2a,0,B0,2a,则Da,0,C0,a角为分部从而可求:AC2a,a,BDa,2a,cosACBDaCbD2a,aa,2a%5a.5a4a25a24arccos一52 .利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知ABC,AD为中线，

5、求证AD21AB2AC2BC222直角坐标系，设Aa,b,Cc,02AD2ca2.2AB.2AC，D”222C20baca4蚓2.2b2,12.22.2Cabcab24-2从而ADAB2AC2acAD21AB2AC222BC证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图3 .利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4已知点O是ABC内的一点，AOB150°,BOC90°,设5Aa,oBb,0oc,且口2,bi,c3,试用a,和b表示c.解：以0为原点，OCOB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2AOx1200,所以A2cos1200,2sin1

6、200，即A-1,J3,易求B0,-1,C3,0,设OA3b如图,1OB用OA,OB表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A1,0,由COA300,所以C5cos300,5sin300，即C史3,5,22一10、3cA53ccOCOAOB.334.利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点分析如图，已知ABC中，由ADBC,BEAC,ADBEH,要证明CHAB,利用向量法证明CHaB,只要证得CHAB0即可;证明中，要充分利用好AhBC0,BHCA0这两个条件.证明：ADBC,H在AD上，AHBC0而AHCHCA,(CHCA

7、)BC0,即CHBCCABC0又BHAC,BHCHCB,CHACCBAC0-得：CH.BCCHAC从而CH,bA0,CHaB,BHAc0gp(chcB)ac00,WcHBCAC0CHAB.5.利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离例7求平面内两点A(xhyjB(X2，y2)间的距离公式分析已知点A(x.yjB(x2,y2)求A,B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出向量AB,那么AB(x2x1,y2y1),而|AB|AB|,根据向量模的公式得|AB|xj22yi)2,从而求得平面内两点间的距离公

8、式为|AB|.(x2xi)2(y2yi)2.解：设点A(x1,yjB(x2,y?),AB(x2x1,y2y1)|AB|v'(x2xi)2(y2yi)2,而|AB|AB|点A与点B之间的距离为：|AB|晟xi)2(y2yi)26.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题例8证明：cos()coscossinsin分析如图，在单位圆上任取两点A,B,以Ox为始边，OA,OB为终边的角分别为，设出a,b两点的坐标，即得到oA,oB的坐标，则为向量oA,oB的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.证明：在单位圆O上任取两点A,B,以Ox为始边，以OA,OB为终边的角分别为则A点坐OA(

9、cos,sin),OB|OA|Ob|i,OAOb,、OAOBcos()|OA|OB|注:标为(cos,sin),B点坐标为(cos,sin);则向量(cos,sin),它们的夹角为，coscossinsin,由向量夹角公式得：coscossinsin,从而得证.月cos()coscossinsin7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9证明柯西不等式(xi2y，)(x22y22)(xix2yiy2)2证明：令a(xi,yi),b(x2,y2)(i)当a0或b0时，abxix2y1y20,结论显然成立；(2)当a0且b0时，令为a,b的夹角，则0,abxx2yy2|a|b|cos.又|cos|i|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)（%2y；）d2y22）（x/2%丫2