结构可靠性分析综述

1、结构可靠性理论与设计方法 学号： 姓名： 可靠性分析与设计方法1 方法概述自20 世纪20 年代起,国际上开始了结构可靠性基本理论的研究，并逐步扩展到建筑结构分析和设计领域。我国对结构可靠度理论的研究始于20世纪50年代,在诸多专家、学者的努力下，自80 年代以来，在结构可靠度方面的理论和应用有了很大的进展。常见分析方法如下。1.1 一次二阶矩法一次二阶矩法是近似计算可靠度指标最简单的方法，只需考虑随机变量的前1阶矩(均值)和二阶矩(标准差)和功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项，并以随机变量相对独立为前提，在笛卡尔空间内建立求解可靠指标的公式。因其计算简便,大多情况下计算精度又能满足工程要

2、求，已被工程界广泛接受。基于一次二阶矩的分析方法主要有以下4 种：a. 中心点法：中心点法是结构可靠度研究初期提出的1 种方法，其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差，进而求得可靠指标。该法的最大优点是计算简便，不需进行过多的数值计算，但也存在明显的缺陷：1)不能考虑随机变量的分布概型，只是直接取用随机变量的前1阶矩和二阶矩；2)将非线性功能函数在随机变量均值处展开不合理，展开后的线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面；3)可靠度指标会因选择不同的安全裕量方程而发生变化；4)当基本变量不服从正

3、态或对数正态分布时，计算结果常与实际偏差较大。故该法适用于基本变量服从正态或对数正态分布，且结构可靠度指标= 12 的情况。b. 验算点法(JC)：很多学者针对中心点法的弱点，提出了相应的改进措施。验算点法，即Rackwitz 和Fiessler 提出的后经Hasofer 和Lind 改进被国际结构安全度联合委员会(JCSS)所推荐的JC法就是其中的1 种。作为中心点法的改进,主要有2 个特点：1)当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Z = 0 上的某1点X* ( x*1 , x*2 ,. . . , x*n )的超切平面作为线性近似，以避免中心点法的误差；2

4、)当基本变量xi具有分布类型的信息时，将xi 的分布在( x*1 , x*2 ,. . . , x*n ) 处以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠指标与失效概率Pf之间有1 个明确的对应关系，从而在中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正态的随机变量，在计算工作量增加不多的条件下，可对可靠度指标进行精度较高的近似计算，求得满足极限状态方程的“验算点”设计值，便于根据规范给出的标准值计算分项系数，以利于设计人员采用惯用的多系数设计表达式。c. 映射变换法:对于结构可靠度分析中的非正态随机变量，JC法用当量正态化的方法将非正态随机变量“当量”为正态随机变量，从而应用正态

5、随机变量可靠度的计算方法来计算结构的可靠指标。如采用数学变换的方法将非正态随机变量变换为正态随机变量，问题也同样可以解决。从计算过程上与JC法比较,映射变换法少了JC法的当量正态化过程，但多了映射变换的过程,因而二者计算量基本相当；JC法采用当量正态化的方法，概念上比较直观，而映射变换法在数学上更严密一些，因而结构可靠度分析方法的进一步发展就转化为采用映射变换法将非正态随机变量正态化(如后面的二次二阶矩法)。d. 实用分析法：该法是由赵国藩院士在取用Paloheimo和Hannus所提出的加权分位值方法中的某些概念后提出的。在该法中，当量正态化的方法是把原来的非正态变量Xi按对应与pi或1-p

6、i有相同分位值(xfi) 的条件下，用当量正态变量Xi代替，并要求当量正态变量的平均值xi与原来的非正态变量xi的平均值xi相等。与JC 法相比，该法计算简单而精度相差不多。JC法、映射变换法、实用分析法等将非正态变量的正态化处理方法均来自于Rosenblatt变换，即Rosenblatt变换才是它们的一般形式。与早期传统的矩阵分析法相比，虽有比较明显的优点，但在实用上还有诸多不便，如计算机计算需要较多的原始数据，需求解关于可靠指标的方程以及迭代过程繁琐等。该方法计算精度高、速度快。在实际工程中，随机变量可能存在一定的相关性。对于含有相关随机变量的结构可靠度问题，早期研究采用正交变换法。近年来

7、，一些研究将现有的可靠度计算方法推广，直接在广义空间内建立求解可靠指标的迭代公式，不需过多的准备工作，应用简单。若将笛卡尔空间视为1种特例，则广义随机空间便不难理解了。由此，便出现了广义随机空间内的可靠度分析方法，其分类与笛卡尔空间中的可靠度分析方法类似。1.2 二次二阶矩法当结构的功能函数在验算点附近的非线性化程度较高时，一次二阶矩法的计算精度就不能满足一些特别重要结构的要求了。国外早期的做法是将非线性功能函数在验算点处做二次展开，此法虽能解决问题，但因计算复杂而不便应用。近年来,一些学者把数学逼近中的拉普拉斯渐进法用于可靠度研究中，取得了较好的效果。因该法用到了非线性功能函数的二阶偏导数项

8、，故应归属于二次二阶矩法。从公式的表达上可以看出，二次二阶矩法的结果是在一次二阶矩法结果的基础上乘1个考虑功能函数二次非线性影响的系数，所以可以看作是对一次二阶矩法结果的修正。需要强调的是，在广义随机空间中，对于随机变量变换前后相关系数的取值依据的是变换前后的相关系数近似相等，这相当于一次二阶矩法随机变量间的一次变换，对于二次二阶矩法是否考虑随机变量间的二次变换项，以及二次变换项如何考虑是需要进一步研究的问题。1.3 二次四阶矩法上述2种方法的精度能得以保证的1个基本前提是采用的随机变量分布概型是正确的，且随机变量的有关统计参数是准确的，而随机变量分布概型是应用数理统计的方法经过概率分布的拟合

9、优度检验后推断确定的，统计参数是通过统计估计获得的。分布概型及统计参数的准确与否依赖于样本的容量、统计推断及参数估计的方法。二次四阶矩法利用信息论中的最大熵原理构造已知信息下的最佳概率分布，基本上避免了前2种方法因采用经过人为加工处理过的基本资料而可能改变其对现实真实反映的问题，从这一点看二次四阶矩法是优秀的，但关于该法的研究还较少，仍处于发展阶段。1.4 蒙特卡罗(Monte Carlo)法蒙特卡罗法是结构可靠度分析的基本方法之一，具有模拟的收敛速度与基本随机向量的维数无关、极限状态函数的复杂程度与模拟过程无关、无需将状态函数线性化和随机变量当量正态化、能直接解决问题、数值模拟的误差可由模拟

10、次数和精度较容易地加以确定的特点。但是，当实际工程的结构破坏概率在10 - 3以下时，该法的模拟数目就会相当大，进而占用大量时间。该法既可用来分析确定性问题，也可用来分析不确定问题。由于具有相对精确的特点，除用于一些复杂情况的可靠度分析外，也常用于各种近似分析方法的计算结果校核。近年来，经过科技人员的努力，各种结合蒙特卡罗法降低方差的技巧应运而生，如对偶变量法、分层采样法、重要抽样法等均尽可能地减少了模拟抽样数，提高了计算效率，如图解渐进法和Monte Carlo 递进法。1.5 响应面法大型复杂结构的内力和位移一般要用有限元法进行分析，这时结构的响应与结构上作用荷载之间的关系不能再用1个显式

11、表示。当对结构或结构构件进行可靠度分析时，所建立的极限状态方程也不再是1个显式，从而造成了迭代求解可靠度的困难。响应面法是近10年发展起来的处理此类问题的1 种有效方法，其基本思想是先假设1个包括一些未知参量的极限状态变量与基本变量之间的解析表达式，然后用插值的方法来确定表达式中的未知参量。 由于响应面法的精度是由表达式和插值点的位置确定的，所以这两方面便成为响应面法所要研究的主题。1.6 随机有限元法(SFEM)有限元法(FEM)作为1种非常有效的数值方法，已广泛用于工程领域，在结构工程中也发挥着尤为重要的作用。从理论上讲，确定性物理模型的有限元分析可达到任意要求的精度。但在实际工程中，由于

12、各类结构或构件的物理特性、几何参数等具有一定程度的不确定性。这种不确定性将导致结构力学特性的不确定，对结构的临界性能和可靠性有较大影响，尤其是在随机结构动力分析中，结构参数的变异可能引起结构动态响应的大幅变化，甚至超过外激励随机性对动响应的影响。因此，20 多年来，人们广泛关注确定性FEM推广用于随机力学问题的分析及FEM和结构可靠性分析的结合。SFEM是20世纪80年代初发展起来的处理随机现象的分析工具，它采用确定性分析与概率统计相结合的方法，综合考虑了各物理量的随机性。该法先求出结构相应的统计特征量，从而进行结构的可靠性分析。与FEM比较，SFEM在物理建模上更符合客观实际，也更合理，尤其

13、是当有关参数的统计特性可知时，SFEM可提供较精确的分析结果。但由于有限元法本身全离散的特性，使问题求解的未知数大大增加，因而无论是基于摄动解或一次二阶矩的随机有限元，还是基于统计方法的随机有限元，都不可避免地存在着计算量过大和精度不易控制的问题。鉴于此，SFEM和模糊FEM与反优化模型的结合必将是今后的研究方向。1.7 发展趋势对结构可靠度分析方法的研究目前已呈现出从随机模型向模糊模型、非随机模型发展的趋势，相对于比较成熟的随机模型,后两者的研究还很少。传统的可靠度分析仅局限于正常使用阶段且已达到了相对成熟的程度，近年来，许多研究人员已经开始了针对结构生命全过程的其他2个阶段的可靠度分析方法

14、的研究，取得了一定的进展。2 一次二阶矩理论分析可靠性分析实际上就是利用基本变量的统计规律以及功能函数与基本变量的关系，来求解功能函数的统计规律。简单地说，就是将基本变量的统计规律传递到功能函数，求得功能函数的概率密度函数，进而由功能函数的概率密度函数解析地求得失效概率。功能函数是基本变量的函数，由概率论基本原理可知，当功能函数为基本变量的线性函数且基本变量服从正态分布时，功能函数也服从正态分布，并且功能函数的分布参数可以由基本变量的一阶矩和二阶矩简单推导求得。基于这一原理，均值一次二阶矩方法在基本变量的均值点处将非线性的功能函数用泰勒级数展开成线性表达式，以线性功能函数代替原非线性功能函数，

15、求解线性方程的可靠度指标，从而得到原功能函数的近似失效概率。设功能函数为：并设上述功能函数中的基本随机变量服从正态分布，即2.1 线性功能函数情况下可靠性分析当功能函数是随机变量 的线性函数，即其中为常数。则功能函数的均值和方差 可表示为下列两式 其中是和的协方差，为和的相关系数。当基本变量相互独立时，方差简化为下式依据正态变量线性组合后仍然服从正态分布，且正态分布的密度函数由均值和方差唯一确定的原理，可得到功能函数服从如下式所示正态分布的结论。将功能函数的均值和标准差的比值记为可靠度指标，则有由此便可得到一次二阶矩方法的可靠度和失效概率分别如下列两式所示式中为标准正态变量的累积分布函数。2.

16、2 非线性功能函数情况下可靠性分析当功能函数为基本变量的非线性函数时，均值一次二阶矩方法是将功能函数在基本变量的均值点处线性展开成泰勒级数，即其中表示功能函数的导函数在均值点处的函数值。然后由线性化功能函数，近似得到功能函数的均值和方差如下所示若各基本变量相互独立，上式简化为非线性功能函数情况下，可靠度指标和失效概率如下所示2.3 改进一次二阶矩可靠性分析改进一次二阶矩法（Advanced First Order and Second Moment）是由Hasofer-Lind 提出的，又称为AFOSM 法。从原理上来说，改进一次二阶矩法与均值一次二阶矩法是类似的，它也是通过将非线性功能函数线

17、性展开，然后用线性功能函数的失效概率来近似原非线性功能函数的失效概率。与均值一次二阶矩法的不同之处在于，改进一次二阶矩方法将功能函数线性化的点是失效域中的最可能失效点MPP（又称设计点），而均值一次二阶矩法线性化的点是基本变量的均值点。对于一个给定的非线性功能函数，其失效域中的最可能点是不能预先得知的，它需要通过迭代或者直接寻优的过程来求得。设包含相互独立正态基本随机变量的功能函数为，该功能函数定义的失效域为。当功能函数为线性时，改进一次二阶矩方法与均值一次二阶矩法的分析结果是完全一致的，因此只讨论功能函数为非线性的情况。设在失效域中的最可能失效点设计点为，则设计点一定在失效边界上，将非线性的

18、功能函数在设计点处展开，取线性部分有：由于设计点在极限状态方程定义的失效边界上，所有，将带入上式，便可得到原功能函数对应的线性极限状态方程如下整理上述方程后可得上述线性极限状态方程的可靠度指标和失效概率可以由下列两式精确求解。3 算例机翼的九盒段结构由64个杆元件和42个板元件构成，材料为铝合金。已知外载荷与各个单元的强度均为正态随机变量，且相互独立。外载荷P 的均值和变异系数分别为和，第个单元强度的均值和变异系数分别为和。由失效模式的枚举方法可求得结构主要失效模式的极限状态函数为：3.1 均值一次二阶矩法由于各变量相互独立，可以求得次线性功能函数的均值和方差分别为： 可靠性指标为则有失效概率3.2 改进一次二阶矩法改进一次二阶矩法的具体迭代过程如表所示 4 总结一次二阶矩方法由于其概念较