高等流体力学第2章流体运动的基本方程组

1、2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 12022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 2v 建立完整的流体力学基本方程组建立完整的流体力学基本方程组，是从理，是从理论上论上(包括分析方法和数值方法包括分析方法和数值方法)，解决流体，解决流体力学问题的最重要的第一步，也是流体力力学问题的最重要的第一步，也是流体力学理论的核心和关键。学理论的核心和关键。v 建立流体力学基本方程组的依据：建立流体力学基本方程组的依据：流体运流体运动所遵循的物理定律：动所遵循的物理定律：质量守恒质量守恒动量守恒动量守恒动量矩守恒动量矩守恒能量守恒能量守恒(热力学第一定律

2、热力学第一定律)热力学第二定律热力学第二定律状态方程状态方程本构方程本构方程物理定律以数学方程的形式物理定律以数学方程的形式表达即可得流体力学方程；表达即可得流体力学方程；数学表达式可是微分形式，数学表达式可是微分形式，也可是积分形式。也可是积分形式。由这些物理定律建立的方程组应为由这些物理定律建立的方程组应为封闭方程组，在给定的边界条件及封闭方程组，在给定的边界条件及初始条件下，存在适定解。初始条件下，存在适定解。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 3 主要内容主要内容第一节第一节 系统与控制体系统与控制体第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理第三节第三节 基本

3、方程组的一般论述基本方程组的一般论述第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组第八节第八节 状态方程状态方程第九节第九节 初始条件及边界条件初始条件及边界条件第十节第十节 流体力学的理论模型流体力学的理论模型 2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 4第一节第一节 系统与控制体系统与控制体 一、系一、系 统统一、系统一、系统对应于拉格朗日描述对应于拉格朗日描述第一节第一节 系统与控制体系统与控制

4、体系统：系统： 系统指某一系统指某一确定的流体质点的集合确定的流体质点的集合。拉格。拉格朗日描述中，以系统作为研究对象。朗日描述中，以系统作为研究对象。 系统以外的环境称为系统以外的环境称为外界外界； 系统与外界的界面称为系统与外界的界面称为系统的边界系统的边界。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 5第一节第一节 系统与控制体系统与控制体 一、系一、系 统统系统的特点：系统的特点： 系统将随系统内的质点一起运动，系统将随系统内的质点一起运动，系统系统内的质点始终包含在系统内内的质点始终包含在系统内； 系统系统边界的形状和所包围空间的大小边界的形状和所包围空间的大小

5、，可以随运动而发生变化可以随运动而发生变化； 系统与外界之间可以系统与外界之间可以有力的作用及能量有力的作用及能量的交换，但无质量的交换的交换，但无质量的交换。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 6第一节第一节 系统与控制体系统与控制体 一、系一、系 统统说明：说明： 由于力学中的一些基本定律是建立在质点由于力学中的一些基本定律是建立在质点和质点系上的，因此，和质点系上的，因此，当以系统作为研究当以系统作为研究对象时，流体力学的力学定律就可以直接对象时，流体力学的力学定律就可以直接用原始的数学形式进行表达用原始的数学形式进行表达。 在流体力学的许多问题中，在流体力

6、学的许多问题中，把系统作为研把系统作为研究对象有时不很方便究对象有时不很方便。 流体力学中更感兴趣的是物理量场的分布流体力学中更感兴趣的是物理量场的分布，因此需要采用因此需要采用控制体控制体的概念。的概念。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 7第一节第一节 系统与控制体系统与控制体 二、控制体二、控制体二、控制体二、控制体对应于欧拉描述对应于欧拉描述控制体：控制体： 控制体是指，在流体所在的空间中，控制体是指，在流体所在的空间中，以以假想或真实流体边界包围、固定不动、假想或真实流体边界包围、固定不动、形状任意的空间体积形状任意的空间体积。 控制体以外的环境称为控制

7、体以外的环境称为外界外界； 控制体的边界面称为控制体的边界面称为控制面控制面。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 8第一节第一节 系统与控制体系统与控制体 二、控制体二、控制体控制体的特点：控制体的特点：控制体的形状大小不变，并且相对于坐控制体的形状大小不变，并且相对于坐标系固定不动标系固定不动(坐标系可以运动坐标系可以运动)；控制体可通过控制面控制体可通过控制面与外界环境有质量与外界环境有质量交换交换(控制体内的流体质点的组成是可变控制体内的流体质点的组成是可变的的)、能量交换以及力的相互作用能量交换以及力的相互作用。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体

8、流动与传热的数值计算 9第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 一、物理量的定义一、物理量的定义一、物理量的定义一、物理量的定义第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 t 时刻时刻的流场中，的流场中，单位体积的流体所单位体积的流体所具有的物理量具有的物理量。tf, rd,tfIr t 时刻时刻，流体域，流体域上流体的总物理量上流体的总物理量。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 10第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 一、物理量的定义一、物理量的定义 t t 时刻，流体中取定的一体积时刻，流体中取定的一体积 tS t 时刻，体积时刻，体积 (t)的周界面的周界面

9、n周界面周界面S(t)的外法线单位矢量的外法线单位矢量v周界面周界面S(t)上的流体速度上的流体速度2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 11通过推导可得通过推导可得：第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理 AtftfttfttItStd,d, d,DDDDnvrrr某一时刻流体中某一时刻流体中取取定体积上系统总物定体积上系统总物理量的时间变化率理量的时间变化率某一时刻单位体某一时刻单位体积的流体所具有积的流体所具有的物理量的物理量控制体控制体(空间域空间域)中物理量的时间中物理量的时间变化率变化率单

10、位时间通过控制单位时间通过控制体体(空间域空间域)边界净边界净输运的流体物理量输运的流体物理量之和之和某一时刻流某一时刻流体中取定体体中取定体积上系统总积上系统总物理量物理量2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 12第二节第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理雷诺输运定理：雷诺输运定理： AtftfttfttItStd,d, d,DDDDnvrrr 某一时刻某一时刻系统系统总物理量的时间变化率，等于总物理量的时间变化率，等于该时刻流体所在该时刻流体所在控制体控制体(空间域空间域)中物理量的时中物理量的时间变化率与单位时间通过该间变化率与单

11、位时间通过该控制体控制体边界净输边界净输运的流体物理量之和。运的流体物理量之和。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 13说明：说明：控制体运动时，应用雷诺输运定理时，系统控制体运动时，应用雷诺输运定理时，系统总物理量的时间变化率总物理量的时间变化率(方程左边项方程左边项)需相对需相对于随控制体一起运动的坐标系进行计算于随控制体一起运动的坐标系进行计算。方程右边第二项代表单位时间通过控制体表方程右边第二项代表单位时间通过控制体表面的流体净输运物理量，式中的面的流体净输运物理量，式中的速度应为流速度应为流体质点相对于控制体表面的速度体质点相对于控制体表面的速度。第二节

12、第二节 雷诺输运定理雷诺输运定理 二、雷诺输运定理二、雷诺输运定理 AtftfttfttIttd,d, d,DDDDSnvrrr2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 14第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 一、描述流体运动的基本定律一、描述流体运动的基本定律一、描述流体运动的基本定律一、描述流体运动的基本定律第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 在流体力学里，在流体力学里，流体运动必须遵循的定律：流体运动必须遵循的定律：质量守恒定律质量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量矩守恒定律动量矩守恒定律能量守恒定律能量守恒定律(热力学第

13、一定律热力学第一定律)熵不等式熵不等式(热力学第二定律热力学第二定律)力学定律力学定律热力学定律热力学定律制约流体制约流体运动的最运动的最基本的物基本的物理定律理定律2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 15第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 一、描述流体运动的基本定律一、描述流体运动的基本定律补充方程：补充方程：状态方程状态方程本构方程本构方程有关物性方面的方程有关物性方面的方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 16第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 二、数学表达形式二、数学表达形式二、数学表

14、达形式二、数学表达形式1. 拉格朗日型基本方程与欧拉型基本方程拉格朗日型基本方程与欧拉型基本方程以拉格朗日变量为自变量以拉格朗日变量为自变量的流体力的流体力学方程。学方程。侧重于研究流体质点运动。侧重于研究流体质点运动。拉格朗日型基本方程：拉格朗日型基本方程：2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 17第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 二、数学表达形式二、数学表达形式以欧拉变量为自变量以欧拉变量为自变量的流体力学方程。的流体力学方程。侧重于研究流体物理量的分布侧重于研究流体物理量的分布(场分布场分布)。欧拉型基本方程：欧拉型基本方程： 由于流体力

15、学中大多数问题是想获得流由于流体力学中大多数问题是想获得流体物理量的场分布，因此常常采用欧拉体物理量的场分布，因此常常采用欧拉型基本方程。型基本方程。说明：说明：2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 18第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 二、数学表达形式二、数学表达形式2. 积分形式方程与微分形式方程积分形式方程与微分形式方程基本运动定律的数学表达式以积分的形式基本运动定律的数学表达式以积分的形式出现出现。在推导积分形式基本方程时，需在流体中在推导积分形式基本方程时，需在流体中取一个取一个有限体积有限体积，通过运用基本定律经积，通过运用基本定律

16、经积分即可得到积分形式的基本方程。分即可得到积分形式的基本方程。积分形式基本方程在求积分形式基本方程在求总体性流体物理量总体性流体物理量(如求压强的合力、流量等如求压强的合力、流量等)时比较简单，但时比较简单，但不能获得物理量的场分布不能获得物理量的场分布。积分形式基本方程：积分形式基本方程：2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 19第三节第三节 基本方程组的一般论述基本方程组的一般论述 二、数学表达形式二、数学表达形式基本运动定律的数学表达式以微分的形式基本运动定律的数学表达式以微分的形式出现。出现。在推导微分形式基本方程时，需在流体内在推导微分形式基本方程时，需

17、在流体内取一取一流体微元流体微元，对该流体微元运用基本定，对该流体微元运用基本定律，即可直接得到微分形式的基本方程。律，即可直接得到微分形式的基本方程。通过微分形式基本方程的求解，通过微分形式基本方程的求解，可以获得可以获得物理量的场分布物理量的场分布。微分形式基本方程：微分形式基本方程：2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 20第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 一、质量守恒定律一、质量守恒定律 一、质量守恒定律一、质量守恒定律第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程对系统而言的质量守恒定律：对系统而言的质量守恒定律： 包含在流体

18、系统中的流体质量在运动过程包含在流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。中保持不变。对控制体而言的质量守恒定律：对控制体而言的质量守恒定律： 一个固定空间中的流体质量的变化率等于一个固定空间中的流体质量的变化率等于通过其表面的质量通量。通过其表面的质量通量。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 21第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 二、欧拉型的连续性方程二、欧拉型的连续性方程二、欧拉型的微分形式的连续性方程二、欧拉型的微分形式的连续性方程欧拉型的微分形式的连续性方程欧拉型的微分形式的连续性方程：或：或：0zwyvxut0divvt或：或：0d

19、ivDDvtzwyvxuvdiv：散度公式vttDD2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 22第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 二、欧拉型的连续性方程二、欧拉型的连续性方程两种特殊情况的连续性方程两种特殊情况的连续性方程：(1) 定常运动定常运动0t0DDt(2) 不可压缩流体不可压缩流体0divv0div v表示从单位体表示从单位体积内净流出的积内净流出的质量为零。质量为零。表明流体不可压表明流体不可压缩时，体积不膨缩时，体积不膨胀不收缩。胀不收缩。0divvt0divDDvt2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算

20、23第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 二、拉格朗日型的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程三、拉格朗日型的微分形式的连续性方程三、拉格朗日型的微分形式的连续性方程流体系统：流体系统： t = t0 ：微元体积：微元体积d0，密度，密度0 t = t ： 微元体积微元体积d， 密度密度质量守恒：质量守恒：00dd2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 24第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 二、拉格朗日型的连续性方程二、拉格朗日型的连续性方程000000,tcbazztcbayytcbaxx t0 和和 t 时刻流体质点的位置用

21、质点的拉格朗日时刻流体质点的位置用质点的拉格朗日变数表示为：变数表示为：tcbazztcbayytcbaxx,cbaDzyxddddddd00000变换变换cbaDzyxddddddd2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 25其中：其中：cbaDzyxddddddd00000cbaDzyxdddddddczcycxbzbybxazayaxD0000000000czcycxbzbybxazayaxD拉格朗日型的微分形式的连续性方程拉格朗日型的微分形式的连续性方程：00dd00DD第四节第四节 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程 二、拉格朗日型的连续性方程二、拉格

22、朗日型的连续性方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 26第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程动量守恒定律：动量守恒定律： 对一个给定的流体系统，其动量的时间变对一个给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和。化率等于作用于其上的外力总和。数学表达式即为数学表达式即为运动方程运动方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 27第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 一、运动方程一、运动方程一、运动方程一、运动方程 根据动量守恒定律，通过一微六面体的

23、受力根据动量守恒定律，通过一微六面体的受力分析，分析，可以推得可以推得 微分形式的运动方程：微分形式的运动方程：PFvdivDDb t 其中：其中：zyxzyxpppPdiv单位体积流单位体积流体的惯性力体的惯性力作用于单位体作用于单位体积流体上的质积流体上的质量力量力作用于单位体作用于单位体积流体上的表积流体上的表面力面力2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 28第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 一、运动方程一、运动方程直角坐标系中的运动方程的分量形式：直角坐标系中的运动方程的分量形式：zpypxptwzpypxptvzpypxptuzzyzxz

24、zyyyxyzxyxxxbzbybxFDDFDDFDDPFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 29第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式1. 纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程(N-S方程方程)vSFvdivgrad322divgradDDbpt应变率张应变率张量量 应用应用应力张量与应变率张量的关系应力张量与应变率张量的关系进行变换，进行变换，可以推得可以推得 纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程单位体积单位体积的惯性力的惯性力单

25、位体积的单位体积的质量力质量力作用于单位体作用于单位体积流体的压强积流体的压强梯度力梯度力粘性变形粘性变形应力应力粘性体膨粘性体膨胀应力胀应力PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 30第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式当流体均质不可压，即：当流体均质不可压，即：均质不可压时的纳维均质不可压时的纳维-斯托克斯方程的形式：斯托克斯方程的形式：0div v常常数数，常常数数，vv2bgradFDDptwzptwvyptvuxptu2bz2by2bxFDDFDDFDD分量形式：分量形

26、式：经常用到经常用到的形式的形式vSFvdivgrad322divgradDDbpt2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 31第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式2. 欧拉方程欧拉方程无粘性流体的运动方程无粘性流体的运动方程ptgradFDDbv3. 静力学方程静力学方程pgradFbPFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 32第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式4. 兰姆兰姆-葛罗米

27、柯方程葛罗米柯方程PFvvvdivrot2gradb2vt通过加速度通过加速度表达式的变表达式的变换得到换得到PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 33第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式(1) 无粘性正压流体及体力有势条件下的兰无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程葛方程v 在重力场中，体力有势，定义在重力场中，体力有势，定义体力势体力势 ，使：，使：gradFbv 流体为正压流体为正压(密度仅仅为压强的函数密度仅仅为压强的函数)时，定义时，定义正压函数正压函数P，使：，

28、使： ppPppPddd或无粘性正压流体及体力有势条件下的兰无粘性正压流体及体力有势条件下的兰-葛方程：葛方程：0rot2grad2vvvPvtPvvvdivFrot2gradb2vt2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 34第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式 在流动定常情况下，对上式进行数学处理并沿在流动定常情况下，对上式进行数学处理并沿流线进行积分，流线进行积分，可以推得可以推得伯努利积分伯努利积分：如果密度为常数，伯努利积分演变为：如果密度为常数，伯努利积分演变为：0rot2grad2vvv

29、Pvt cgzppvd22成立条件：成立条件：可压缩或不可压可压缩或不可压缩流体的有旋或缩流体的有旋或无旋无旋定常流动、定常流动、沿流线沿流线。cgypv22单位质量流单位质量流体的动能体的动能单位质量流体以单位质量流体以压强压强p向周围流体向周围流体所作的功所作的功单位质量流体单位质量流体的重力势能的重力势能(2) 伯努利积分伯努利积分无粘性正压流体及无粘性正压流体及体力有势条件下的体力有势条件下的兰兰-葛方程葛方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 35第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式伯努

30、利积分伯努利积分仅对无粘性正压流体，在体力有势和仅对无粘性正压流体，在体力有势和定常运动情况下沿一流线各点成立定常运动情况下沿一流线各点成立。伯努利积分虽仅对一流线成立，但在工程中，也伯努利积分虽仅对一流线成立，但在工程中，也可近似用于拟一维定常管道的流动可近似用于拟一维定常管道的流动。对于对于随时间变化缓慢的流动随时间变化缓慢的流动，可近似认为每一时，可近似认为每一时刻的流动是定常的，刻的流动是定常的，伯努利积分可近似应用伯努利积分可近似应用。伯努利积分不宜应用的场合：伯努利积分不宜应用的场合：伯努利积分应用的说明：伯努利积分应用的说明： 有较大逆压梯度和强烈混合的流动；有较大逆压梯度和强烈

31、混合的流动； 局部压强等于或小于液体饱和蒸气压强的区域；局部压强等于或小于液体饱和蒸气压强的区域； 通过有机械能输入输出的装置的流动。通过有机械能输入输出的装置的流动。 cgzppvd22cgypv222022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 36第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式 当当流动无旋时流动无旋时，流场存在，流场存在速度势函数速度势函数：0rot2grad2vvvPvtgradv tFPvt22(3) 拉格朗日积分拉格朗日积分 引入速度势函数后，对上式直接进行积分，得引入速度势函数后，对上式

32、直接进行积分，得拉格朗日积分拉格朗日积分 或或柯西积分柯西积分：随时间变化的常数；随时间变化的常数；在同一时刻，对全在同一时刻，对全流场为同一常数。流场为同一常数。无粘性正压无粘性正压流体及体力流体及体力有势条件下有势条件下的兰的兰-葛方葛方程程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 37第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式 tFPvt22 tFgypvt122Fgypv22流动无旋流动无旋又定常又定常 tFgypvt122表明：表明：无粘性、正压、体无粘性、正压、体力有势、定常、无旋条件力有势、定常

33、、无旋条件下，对任何时刻和对流场下，对任何时刻和对流场中任何点，左边各项之和中任何点，左边各项之和为同一常数。为同一常数。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 38第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式伯努利积分：伯努利积分：伯努利积分与拉格朗日积分的比较：伯努利积分与拉格朗日积分的比较：cgypv22拉格朗日积分：拉格朗日积分： tFgypvt122伯努利积分伯努利积分对定常有旋或无旋流动沿流线对定常有旋或无旋流动沿流线成立，对不同的流线有不同的积分常数成立，对不同的流线有不同的积分常数。拉格朗日积

34、分拉格朗日积分对非定常无旋流动的全流场对非定常无旋流动的全流场成立，但对不同时刻有不同的积分常数成立，但对不同时刻有不同的积分常数。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 39第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式5. 非惯性系中的运动方程非惯性系中的运动方程 (相对运动方程相对运动方程)速度之间的关系：速度之间的关系：eravvv绝对绝对速度速度相对相对速度速度牵连牵连速度速度其中：其中：rvv0e运动系的平运动系的平动速度动速度运动系的转运动系的转动角速度动角速度矢径矢径2022-6-5流体流动与传

35、热的数值计算流体流动与传热的数值计算 40第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特殊形式加速度之间的关系：加速度之间的关系：ceraaaaa绝对加绝对加速度速度相对加相对加速度速度牵连加牵连加速度速度其中：其中：rcettvarrva2dddd0科氏加科氏加速度速度进行速度和加速度的代换，即可得进行速度和加速度的代换，即可得相对运动方程相对运动方程。PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 41第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 二、运动方程的几种特殊形式二、运动方程的几种特

36、殊形式相对运动方程：相对运动方程：rertvaPv2divFDDb牵连加牵连加速度速度相对相对速度速度运动系的转运动系的转动角速度动角速度PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 42第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 三、拉格朗日型运动方程三、拉格朗日型运动方程三、无粘性流体的拉格朗日型运动方程三、无粘性流体的拉格朗日型运动方程无粘性流体的运动方程无粘性流体的运动方程(欧拉方程欧拉方程)：zptztwyptytvxptxtubz22by22bx22FDDFDDFDD2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算

37、43第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 三、拉格朗日型运动方程三、拉格朗日型运动方程无粘性流体的拉格朗日型运动方程：无粘性流体的拉格朗日型运动方程：cpcztzcytycxtxbpbztzbytybxtxapaztzaytyaxtx1FFF1FFF1FFF22bz22by22bx22bz22by22bx22bz22by22bx质量力需用拉质量力需用拉格朗日变量进格朗日变量进行表示行表示2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 44第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 四、柱坐标下的运动方程四、柱坐标下的运动方程四、柱坐标下的运动方程四、柱坐

38、标下的运动方程zrrrrtzrpppv1FDDb分量形式：分量形式：zrpprrprzvvrvvrvvtvpzrpprrprrvvzvvrvvrvvtvpzrpprrprrvzvvrvvrvvtvzzzrzzzzzrzrzrrzrzrrrrrzrrrr1F 1F 1F bzbbr2PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 45第五节第五节 微分形式的运动方程微分形式的运动方程 五、动量矩方程五、动量矩方程五、动量矩方程五、动量矩方程动量矩守恒定律：动量矩守恒定律： 对一给定流体系统，其动量对某一参考点对一给定流体系统，其动量对某一参考点的动量矩的时

39、间变化率，等于作用于流体的动量矩的时间变化率，等于作用于流体上的力对同一点力矩的矢量和。上的力对同一点力矩的矢量和。 根据微六面体的受力分析，根据微六面体的受力分析，可以推得可以推得 微分微分形式的动量矩方程：形式的动量矩方程：xzzxzyyzyxxypppppp , ,动量矩方程：动量矩方程：外法向为外法向为y的表面的表面上的表面力在上的表面力在x方方向上的投影向上的投影外法向为外法向为x的表面的表面上的表面力在上的表面力在y方方向上的投影向上的投影2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 46第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程第六节第六节 微分形式的

40、能量方程微分形式的能量方程v 如果在一个实际问题中，热过程参与流体的如果在一个实际问题中，热过程参与流体的运动，则运动，则能量方程就成为一个需要求解的独能量方程就成为一个需要求解的独立方程立方程。v 在具有热量传递的流体流动中，在具有热量传递的流体流动中，除了要研究除了要研究速度场问题外，还需要求解温度场问题速度场问题外，还需要求解温度场问题，而，而速度场和温度场往往相互耦合速度场和温度场往往相互耦合，这给求解带，这给求解带来一定的困难。来一定的困难。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 47d21d2gzveeEs第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程

41、能量守恒定律能量守恒定律(热力学第一定律热力学第一定律)： 对某一流体系统所作的功和加给该系统的对某一流体系统所作的功和加给该系统的热量，将等于该系统能量的增加：热量，将等于该系统能量的增加：QtWtEddDD单位时间单位时间所作的功所作的功单位时间加给单位时间加给系统的热量系统的热量系统能系统能量量E的变的变化率化率将其应用于流将其应用于流体运动，则可体运动，则可得能量方程得能量方程 系统的能量可以表示为：系统的能量可以表示为：单位质量的单位质量的储存能储存能单位质量单位质量的内能的内能单位质量单位质量的动能的动能单位质量的单位质量的重力势能重力势能2022-6-5流体流动与传热的数值计算流

42、体流动与传热的数值计算 48第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 一、能量方程一、能量方程一、能量方程一、能量方程 根据一个微元六面体的能量分析，利用能量守根据一个微元六面体的能量分析，利用能量守恒定律，恒定律，可以推得可以推得 微分形式的能量方程微分形式的能量方程：qTketbsgraddiv1div1DD1vPvF单位质量的储单位质量的储存能存能质量力质量力表面应力表面应力张量张量流体导流体导热系数热系数流体流体温度温度单位时间单位时间内加给单内加给单位质量流位质量流体的辐射体的辐射热量热量单位质量流单位质量流体储存能的体储存能的变化率变化率单位时间内单位时间内质量力对单质量

43、力对单位质量流体位质量流体所作功所作功单位时间内单位时间内表面力对单表面力对单位质量流体位质量流体所作功所作功单位时间内外界单位时间内外界通过单位质量流通过单位质量流体表面传导输入体表面传导输入的热量的热量2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 49第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 二、动能二、动能( (机械能机械能) )方程方程二、动能二、动能(机械能机械能)方程方程 通过将速度点乘运动方程，并经过组合整理，通过将速度点乘运动方程，并经过组合整理，可可以推得以推得 微分形式的动能方程微分形式的动能方程(机械能方程机械能方程)：PvvF12DD2bv

44、t单位时间内表面力单位时间内表面力对单位质量流体所对单位质量流体所作功，此功可转换作功，此功可转换为动能。为动能。 对于无粘性流体：对于无粘性流体：p PpvtbvvF12DD2单位时间内单位时间内质量力对单质量力对单位质量流体位质量流体所作功所作功PFvdivDDb t2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 50第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 三、内能方程三、内能方程三、内能方程三、内能方程qTketbsgraddiv1div1DD1vPvFTkptegraddivdivDDv忽略忽略辐射热辐射热内能表示的内能表示的能量方程能量方程对应力张量进行

45、数学变换对应力张量进行数学变换称为称为耗散功耗散功，与粘性，与粘性有关的部分，表示粘有关的部分，表示粘性力所作的功转换为性力所作的功转换为热。热。表示流体压缩或膨胀时，表示流体压缩或膨胀时，压强压强p所作的功所作的功:v压缩时，功转为内能压缩时，功转为内能v膨胀时，内能转为功膨胀时，内能转为功2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 51第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 三、内能方程三、内能方程TkptegraddivdivDDv其中：其中：032 212121 2222222zwyvxuzuxwywzvxvyuzwyvxu耗散功耗散功，与粘性，与粘性

46、有关的部分。有关的部分。表示功总是被表示功总是被耗散的。耗散的。2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 52第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 三、内能方程三、内能方程内能方程的进一步简化：内能方程的进一步简化：cTe , 0divv对不可压缩流体：对不可压缩流体：TktTcgraddivDDTkptegraddivdivDDvTkptegraddivdivDDv2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 53第六节第六节 微分形式的能量方程微分形式的能量方程 三、内能方程三、内能方程pVei对完全气体：对完全气体：TktSTTk

47、tptTcTktptipgraddivDDgraddivDDDDgraddivDDDD用焓表示的用焓表示的能量方程能量方程Tcip用熵表示的用熵表示的能量方程能量方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 54第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组方程组中的基本量：方程组中的基本量： ，S， ，T，p体积元体积元容积容积体积元表体积元表面积面积流体流体密度密度流体流体速度速度流体流体温度温度流体流体压强压强奥高公式：奥高公式：ddivdvAvS2022-6-5流体流动与传热的数值计算

48、流体流动与传热的数值计算 55第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 一、连续性方程一、连续性方程一、连续性方程一、连续性方程 流体中取一体积元，对该体积元实施质量守流体中取一体积元，对该体积元实施质量守恒定律，恒定律，整理可得整理可得：0ddStAv或：或：0ddivDDvtddivdvAvS2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 56第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 一、连续性方程一、连续性方程对有限控制容积成立的对有限控制容积成立的积分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：0ddCSCVtAv对均质不可压缩

49、流体：对均质不可压缩流体：代表控制容代表控制容积的体积积的体积代表控制容积代表控制容积的表面积的表面积0dCSAv0ddStAv2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 57第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 一、连续性方程一、连续性方程 如果流体运动时，控制体只有如果流体运动时，控制体只有N个表面区域被个表面区域被流体穿过，用流体穿过，用An代表这些表面区域，则有：代表这些表面区域，则有：0ddCSCVtAv对均质不可压缩流体：对均质不可压缩流体：0dd1NNANNNCVNtAv0d1NNANNNAv2022-6-5流体流动与传热的数值计算

50、流体流动与传热的数值计算 58第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 二、运动方程二、运动方程二、运动方程二、运动方程设：作用于体积元上的一切外力为：设：作用于体积元上的一切外力为： 体积元表面的法向压强为：体积元表面的法向压强为： 作用于单位质量上的质量力为：作用于单位质量上的质量力为： 体积元的动量为：体积元的动量为：FnpbFdvP2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 59 流体中取一体积元，对该体积元实施动量守恒原流体中取一体积元，对该体积元实施动量守恒原理，可得理，可得 积分形式的运动方程：积分形式的运动方程：或：或：StAvvvF

51、dddDDddivdddddivdttbSbvPFAvvvPF第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 二、运动方程二、运动方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 60第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 二、运动方程二、运动方程非惯性系中的积分形式的运动方程：非惯性系中的积分形式的运动方程：若运动坐标系无旋转若运动坐标系无旋转(仅作平移运动仅作平移运动)，则有：，则有：SrrrceSntAnvvvaaApFdddddSrrrSnttAnvvvvApFddddddd0运动坐标系相对运动坐标系相对于惯性系的牵连于惯性系

52、的牵连加速度加速度科氏科氏加速度加速度运动坐标系运动坐标系内的相对速内的相对速度度运动坐标系运动坐标系的平移速度的平移速度2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 61对有限控制体积成立的对有限控制体积成立的 积分形式的运动方程：积分形式的运动方程：分量形式：分量形式：CSCVzCSCVyCSCVxwwtFvvtFuutFAvAvAvdddddd第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 二、运动方程二、运动方程CSCVtAvvvFddStAvvvFdd作用于控制体上的作用于控制体上的一切外力，包括体一切外力，包括体力和表面力。力和表面力。相对于固定

53、或匀相对于固定或匀速运动控制体的速运动控制体的速度矢量速度矢量2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 62 如果流体运动时，控制体只有如果流体运动时，控制体只有N个表面区域被个表面区域被流体穿过，用流体穿过，用An代表这些表面区域，则运动方代表这些表面区域，则运动方程可以表示为：程可以表示为：第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 二、运动方程二、运动方程NNANNNNCVzNNANNNNCVyNNANNNNCVxNNNwwtFvvtFuutF111ddddddAvAvAvCSCVtAvvvFdd2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动

54、与传热的数值计算 63第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 三、动量矩方程三、动量矩方程三、动量矩方程三、动量矩方程设：体积元相对于坐标原点的位置矢量为：设：体积元相对于坐标原点的位置矢量为： 作用于体积元上的总转矩为：作用于体积元上的总转矩为： 体积元的动量矩为：体积元的动量矩为：rTdvrH2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 64 流体中取一体积元，对该体积元实施动量矩守恒流体中取一体积元，对该体积元实施动量矩守恒原理，可得原理，可得 积分形式的动量矩方程：积分形式的动量矩方程：或：或：StAvvrvrTdddDDddtSnbvrAp

55、rFrdDDddtzyxzyxbvrprprprFr第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 三、动量矩方程三、动量矩方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 65对有限控制体积成立的对有限控制体积成立的 积分形式的动量矩方程：积分形式的动量矩方程：其中：其中：第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 三、动量矩方程三、动量矩方程CSCVtAvvrvrTddStAvvrvrTdd轴TsdgrFrT作用于控制作用于控制体上的一切体上的一切转矩转矩由表面力产由表面力产生的转矩生的转矩由重力产生由重力产生的转矩的转矩由转轴产生由

56、转轴产生的转矩的转矩 忽略表面力产生的转矩和体力产生的转矩，对忽略表面力产生的转矩和体力产生的转矩，对于定常运动，可得：于定常运动，可得：CSTAvvrd轴2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 66第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程四、能量方程四、能量方程设：单位质量流体的储存能、内能、动能及势设：单位质量流体的储存能、内能、动能及势 能分别为：能分别为： 单位时间体积元与外界交换的总热量为：单位时间体积元与外界交换的总热量为： 外界对体积元所作的总功为：外界对体积元所作的总功为： 体积元的储存能为：体积元的储存

57、能为：gzvees ,21 , ,2QWdseE2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 67 流体中取一体积元，对该体积元实施能量守恒定流体中取一体积元，对该体积元实施能量守恒定律，可得律，可得 积分形式的能量方程：积分形式的能量方程：tEtWQDDddSssAeettWQddddnv第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 68第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程其中：其中：ShrAnTkqQQQddtW

58、tWtWtWsbmddddddddSssAeettWQddddnv单位时间传单位时间传入体积元的入体积元的辐射热辐射热单位时间通过单位时间通过体积元表面传体积元表面传入的热量入的热量SSSnsbbApApAtWtWdddddddd1nvvnvpvF单位时间外界单位时间外界对体积元所作对体积元所作的总功的总功单位时间单位时间外界对体外界对体积元所作积元所作的机械功的机械功单位时间质单位时间质量力对体积量力对体积元所作的功元所作的功单位时间体单位时间体积元表面法积元表面法向压强所作向压强所作的功的功2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 69第七节第七节 积分形式的流体力

59、学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程v 如果忽略辐射热、质量力及表面力作功，则有：如果忽略辐射热、质量力及表面力作功，则有：SssmhApeettWQddddnvv 如果忽略辐射热与机械功，则有：如果忽略辐射热与机械功，则有：dDDddd1sSnbSetAAnTkvpvF或：或：dDDddivddgraddiv1sbetTkvPvFSssAeettWQddddnv2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 70第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程CSsCVsmhApeettWQddddnv其中：其中

60、：对有限控制体积成立的对有限控制体积成立的 积分形式的能量方程：积分形式的能量方程：SssmhApeettWQddddnvegyves221单位时间通过控单位时间通过控制体表面传入传制体表面传入传出的热量出的热量外界对控制外界对控制体所作的机体所作的机械功械功单位质量单位质量流体的储流体的储存能存能该式忽略了该式忽略了质量力和表质量力和表面力作功面力作功2022-6-5流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 71第七节第七节 积分形式的流体力学方程组积分形式的流体力学方程组 四、能量方程四、能量方程CSsmhApetWQdddnv 对于定常流动，方程可以表示为：对于定常流动，方程可以