第2章 正弦交流电路

1、2.12.1正弦交流电及其相量表示正弦交流电及其相量表示2.2 2.2 单一元件正弦交流电路单一元件正弦交流电路2.3 RLC2.3 RLC串联电路串联电路2.4 2.4 三相交流电路三相交流电路2.1.1 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素2.1.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示 正弦交流电随时间按正弦规律变化，可正弦交流电随时间按正弦规律变化，可用正弦函数或波形图表示。用正弦函数或波形图表示。 （2-12-1）2.1.1 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素msin()iIt 幅值是交流瞬时值中的最大值，也称峰值。幅值是交流瞬时值中的最大值，也称峰值。通常用大写字母加下标通常

2、用大写字母加下标“m”m”表示，如表示，如E Em m、U Um m、I Im m等。等。 正弦交流电的有效值与最大值的关系为正弦交流电的有效值与最大值的关系为 （2-22-2）1 1幅值与有效值幅值与有效值2最大值有效值 【例【例2-12-1】 某同学为提高电路的功率因某同学为提高电路的功率因数，将一耐压为数，将一耐压为250V250V的电容元件并接在交流的电容元件并接在交流220V220V的负载上。请问这种做法是否正确？的负载上。请问这种做法是否正确？ 解解 因为因为220V220V正弦交流电的幅值为正弦交流电的幅值为311V311V，超过了电容元件的超过了电容元件的250V250V耐压值

3、，电容元件可耐压值，电容元件可能击穿，所以不能将该电容元件并接在能击穿，所以不能将该电容元件并接在220V220V的负载上。的负载上。2 2周期与频率周期与频率频率和周期之间满足如下关系：频率和周期之间满足如下关系： （2-32-3）1fT 在汽车检测技术中，频率是一个重要参数，在汽车检测技术中，频率是一个重要参数，如图如图2-32-3（a a）所示车速检测装置中，当自动）所示车速检测装置中，当自动变速器输出轴转动时，安装在轴上的停止锁变速器输出轴转动时，安装在轴上的停止锁止齿轮的凸齿交替靠近或离开车速传感器，止齿轮的凸齿交替靠近或离开车速传感器，使感应线圈输出交流电压如图使感应线圈输出交流电

4、压如图2-32-3（b b）所示。）所示。 由正弦交流电的瞬时表达式（由正弦交流电的瞬时表达式（2-12-1）可知，）可知，交流电在任一时刻的瞬时值取决于电角度交流电在任一时刻的瞬时值取决于电角度（ ），这个电角度称为交流电的相位。），这个电角度称为交流电的相位。 交流电在交流电在t=t=0 0时所具有的相位称为初相，时所具有的相位称为初相，用用 表示，单位是弧度或度，规定初相的绝对表示，单位是弧度或度，规定初相的绝对值不超过值不超过弧度。弧度。 两同频率交流电的初相之差称为相位差，两同频率交流电的初相之差称为相位差，即即 （2-52-5）3 3相位与初相相位与初相t12 【例【例2-22-2

5、】 某电源电动势某电源电动势 V V，该电动势的，该电动势的角频率、频率、周期、幅值、有效值、初相角频率、频率、周期、幅值、有效值、初相位各为多少？画出波形图。位各为多少？画出波形图。141sin(31445 )et 解解 由电动势的瞬时表达式可知，该电由电动势的瞬时表达式可知，该电压的角频率，最大值压的角频率，最大值E Em m=141V=141V，所以，所以波形图如图波形图如图2-52-5所示。所示。 以正弦交流电流以正弦交流电流 为例，在直为例，在直角坐标系（复平面）中画一个带箭头的直线，角坐标系（复平面）中画一个带箭头的直线，如图如图2-62-6所示，该直线满足以下条件：所示，该直线满

6、足以下条件：直线直线长度按比例等于正弦电流的有效值（长度按比例等于正弦电流的有效值（I I）（或）（或幅值（幅值（I Im m）；）；直线与正横轴的夹角等于直线与正横轴的夹角等于正弦交流电的初相（正弦交流电的初相（ ）；）；直线以角频率直线以角频率（ ）按逆时针方向旋转。这个带箭头的直线）按逆时针方向旋转。这个带箭头的直线就称为相量。就称为相量。2.1.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示msin()iIt 【例【例2-32-3】 图图2-72-7所示电路中，已知：所示电路中，已知： A A， A A，试用相量法求总电流（试用相量法求总电流（i i）。）。110 2sin314it21

7、0 2sin(31490 )it2.2.1 纯电阻电路纯电阻电路2.2.2 纯电感电路纯电感电路2.2.3 纯电容电路纯电容电路2.2.1 纯电阻电路纯电阻电路1 1电压和电流关系电压和电流关系 图图2-92-9（a a）所示电路中，电压和电流的）所示电路中，电压和电流的参考方向一致，设电阻电压为参考方向一致，设电阻电压为 根据欧姆定律，流过纯电阻负载的电流根据欧姆定律，流过纯电阻负载的电流为为 （2-62-6）2sinRRuUt2sin2sinRRRRuUitItRR 可见，纯电阻电路中，电阻两端电压和可见，纯电阻电路中，电阻两端电压和电流是同频率的正弦量，并且相位相同，其电流是同频率的正弦

8、量，并且相位相同，其有效值关系为有效值关系为 （2-72-7）RRURI 根据以上分析，作根据以上分析，作u uR R、i iR R的波形图、相量的波形图、相量图如图图如图2-92-9（b b）、（）、（c c）所示。）所示。 在任意瞬间，电压瞬时值与电流瞬时值在任意瞬间，电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为瞬时功率，即的乘积称为瞬时功率，即 显然，瞬时功率是一个随时间变化的量。显然，瞬时功率是一个随时间变化的量。对于电阻元件，有对于电阻元件，有 （2-92-9）2 2电路的功率和能量转换电路的功率和能量转换pui2mmsin1cos2RR RRRR Rpu iUItU It 在实际应用中，通常用

9、在实际应用中，通常用p p在一个周期内的在一个周期内的平均值来衡量交流功率的大小，称为平均功平均值来衡量交流功率的大小，称为平均功率或有功功率，用大写字母率或有功功率，用大写字母P P表示。表示。 由式（由式（2-92-9）可得纯电阻电路的平均功率）可得纯电阻电路的平均功率为为 （2-102-10）22RRR RRUPU II RR 【例【例2-42-4】 功率为功率为100W100W的白炽灯，接在的白炽灯，接在 的电源上，试求电流的电源上，试求电流有效值。有效值。解解 电阻电压的有效值为电阻电压的有效值为根据式（根据式（2-102-10），电流有效值为），电流有效值为311sin(31412

10、0 )Vut311V220V2RUU100W0.455A220VRRPIU2.2.2 纯电感电路纯电感电路1 1电压和电流的关系电压和电流的关系 纯电感电路如图纯电感电路如图2-102-10（a a）所示，电感电）所示，电感电流与电压参考方向一致，设电感电流为流与电压参考方向一致，设电感电流为 根据数学分析，电感两端的电压为根据数学分析，电感两端的电压为 （2-112-11） 2sinLLiIt2sin(90 )2sin(90 )LLLuUtLIt 可见，纯电感电路中，电感电压和电流可见，纯电感电路中，电感电压和电流是同频率的正弦量，并且电压超前电流是同频率的正弦量，并且电压超前电流9090，

11、其有效值关系为其有效值关系为（2-122-12） 式中，式中，XLXL电感的感抗，单位为欧姆电感的感抗，单位为欧姆（ ）。）。（2-132-13）LLL LUL IX I2LXLf L 根据交流电路瞬时功率的关系式根据交流电路瞬时功率的关系式 ，有有（2-152-15） 电感线圈在交流电路中虽无能量消耗，电感线圈在交流电路中虽无能量消耗，但存在与电源之间的能量交换。通常用瞬时但存在与电源之间的能量交换。通常用瞬时功率的最大值来衡量能量交换的速率，称为功率的最大值来衡量能量交换的速率，称为无功功率，用无功功率，用QLQL表示，其单位是乏（表示，其单位是乏（varvar）。）。（2-162-16）

12、pui22LLL LLLLUQU II XXLL Lpu immsin(90)sinsin2LLL LU Itt U It 【例【例2-52-5】 一个电感为一个电感为0.2H0.2H的线圈，接的线圈，接到频率为到频率为50Hz50Hz，电压为，电压为10V10V的正弦交流电源上，的正弦交流电源上，求线圈的感抗、电流和无功功率。若电源电求线圈的感抗、电流和无功功率。若电源电压不变，频率提高到压不变，频率提高到5000Hz5000Hz，求这时的感抗，求这时的感抗和电流。和电流。2.2.3 纯电容电路纯电容电路1 1电压和电流的关系电压和电流的关系 纯电容电路如图纯电容电路如图2-112-11（a

13、 a）所示，电容电）所示，电容电压与电流参考方向一致，设电容两端的电压压与电流参考方向一致，设电容两端的电压为为根据数学分析，电容中的电流为根据数学分析，电容中的电流为（2-172-17）2sinCCuUt2sin(90 )2sin(90 )CCCiItUCt 可见，纯电容电路中，电容电压和电流可见，纯电容电路中，电容电压和电流是同频率的正弦量，并且电流超前电压是同频率的正弦量，并且电流超前电压9090，其有效值关系：其有效值关系：（2-182-18） 式中，式中，XCXC电容的容抗，单位是欧姆电容的容抗，单位是欧姆（ ）。）。 显然显然（2-192-19）CCC CIUX IC112CXCf

14、C2 2电路的功率和能量转换电路的功率和能量转换 电容器的瞬时功率为电容器的瞬时功率为（2-212-21） 电容元件是一种储能元件，它与电源之电容元件是一种储能元件，它与电源之间能量交换的最大速率，即电容元件的无功间能量交换的最大速率，即电容元件的无功功率（功率（QCQC）为）为（2-222-22）mmsinsin90sin2（）CC CCCC Cpu iUIttU It22CCC CCCCUQU II XX 【例【例2-62-6】 一个电容为一个电容为1010 F F的电容元件，的电容元件，接到频率为接到频率为50Hz50Hz，电压为，电压为50V50V的正弦交流电源的正弦交流电源上，求容抗

15、、电流和无功功率。上，求容抗、电流和无功功率。 若电源电压不变，频率提高到若电源电压不变，频率提高到5 000Hz5 000Hz，求这时的容抗和电流。求这时的容抗和电流。解解 当当 时，时， 当当 时，时， 50Hzf 611319223.1450 10 10CXfC 50A0.157A319CCCUIX500.157var7.85varCC CQU I5000Hzf 6113.19223.145000 10 10CXfC 50A15.7A3.19CCCUIX2.3.1 电压和电流关系电压和电流关系2.3.2 电路的功率和能量转换电路的功率和能量转换 RLC RLC串联电路如图串联电路如图2-

16、122-12所示，取电压和电所示，取电压和电流的参考方向一致。流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表为便于分析，电路中各量均采用相量表示，各元件也采用相量化模型。示，各元件也采用相量化模型。2.3.1 电压和电流关系电压和电流关系用相量法分析电路如下。用相量法分析电路如下。 RLC RLC串联电路中，总电压与电流的相串联电路中，总电压与电流的相位差为位差为 ，由如图，由如图2-132-13所示的相量图，有所示的相量图，有（2-242-24） 总电压的有效值与电流有效值以及阻总电压的有效值与电流有效值以及阻抗抗 之间满足欧姆定律关系，即之间满足欧姆定律关系，即（2-252-25）

17、arctanarctanLCLCRUUXXURZUIZ2.3.2 电路的功率和能量转换电路的功率和能量转换1 1平均功率平均功率 RLC RLC串联电路中，只有电阻消耗电能，因串联电路中，只有电阻消耗电能，因此电路的平均功率为此电路的平均功率为由电压三角形可知由电压三角形可知所以所以（2-262-26）2RRPPIUI RcosRUUcosPUI 无功功率是表示电感、电容以及电源之无功功率是表示电感、电容以及电源之间能量交换的量，由于电感电压与电容电压间能量交换的量，由于电感电压与电容电压反相，因此反相，因此RLCRLC串联电路的无功功率应为电感串联电路的无功功率应为电感与电容无功功率之差，即

18、与电容无功功率之差，即（2-272-27）2 2无功功率无功功率2sinLCLCQUUIIXXUI 电源电压有效值（电源电压有效值（U U）与电流有效值（）与电流有效值（I I）的乘积，称为视在功率，用的乘积，称为视在功率，用S S表示，即表示，即（2-282-28） 视在功率的单位是伏安（视在功率的单位是伏安（VAVA），通常用），通常用来表示电气设备的容量。来表示电气设备的容量。 例如，例如，50kVA50kVA的变压器，就是指它的视在的变压器，就是指它的视在功率（功率（S S）为）为50kV50kVA A。3 3视在功率视在功率SUI 由式（由式（2-262-26）、式（）、式（2-27

19、2-27）和式（）和式（2-282-28）可知可知（2-292-29） 由于电路的有功功率由于电路的有功功率 因此有因此有（2-302-30）式中，式中， 电路的功率因数。电路的功率因数。22SPQcoscosPUIScosPS 【例【例2-72-7】 一个交流中间继电器线圈，一个交流中间继电器线圈，电阻为电阻为2k2k ，电感为，电感为43.3H43.3H，接在，接在50Hz50Hz、380V380V的电源上。的电源上。 求通过线圈的电流、平均功率、视在功求通过线圈的电流、平均功率、视在功率和功率因数。率和功率因数。 解解 中间继电器线圈可等效为中间继电器线圈可等效为RLRL串联电串联电路，

20、电路及相量图如图路，电路及相量图如图2-142-14所示。所示。2.4.1 三相电源三相电源2.4.2 三相电源和负载的联结三相电源和负载的联结2.4.3 三相交流电路的功率三相交流电路的功率2.4.1 三相电源三相电源1 1三相交流电动势三相交流电动势 选定电动势的参考方向由绕组的末端指选定电动势的参考方向由绕组的末端指向首端，如图向首端，如图2-152-15（b b）所示，则）所示，则（2-312-31）UmVmWmsinsin(120 )sin(120 )eEteEteEt 相应的波形图、相量图如图相应的波形图、相量图如图2-162-16（a a）、）、（b b）所示。）所示。2 2三相

21、电源的星形联结三相电源的星形联结 把上述三相绕组的末端把上述三相绕组的末端U2U2、V2V2和和W2W2连在一连在一起，就构成星形联结，如图起，就构成星形联结，如图2-172-17所示。所示。 图图2-182-18所示为三相电源作星形联结时的所示为三相电源作星形联结时的电压相量图，由图可见，星形联结时，线电电压相量图，由图可见，星形联结时，线电压是相电压的压是相电压的 倍，即倍，即（2-332-33）3LP3UU 需要说明的是，三相电源也可以作三角需要说明的是，三相电源也可以作三角形联结，其线电压和电源相电压的关系是形联结，其线电压和电源相电压的关系是（2-342-34）LPUU2.4.2 三

22、相电源和负载的联结三相电源和负载的联结1 1三相负载的星形联结三相负载的星形联结 当负载作星形联结时，线电流和对应的当负载作星形联结时，线电流和对应的相电流为同一个电流，即：相电流为同一个电流，即： LPii用有效值表示为用有效值表示为（2-352-35） 从图从图2-202-20不难看出，这种三相四线制的不难看出，这种三相四线制的供电方式中，三相负载分别与中线构成独立供电方式中，三相负载分别与中线构成独立的单相闭合回路，各相负载的相电压就是对的单相闭合回路，各相负载的相电压就是对称电源的相电压（称电源的相电压（U UP P），因此，各相负载的），因此，各相负载的相电流分别为相电流分别为， ，

23、 （2-362-36） LPIIPP11UIZPP22UIZPP33UIZ【例【例2-82-8】三相电源作星形联结，线电压是】三相电源作星形联结，线电压是380V380V，负载是额定电压为，负载是额定电压为220V220V的电灯组，问：的电灯组，问：（1 1）三相负载采用什么联结方式；）三相负载采用什么联结方式；（2 2）若三相负载的等效电阻）若三相负载的等效电阻R R1 1= =R R2 2= =R R3 3=510=510 ，求相电流、线电流和中线电流；求相电流、线电流和中线电流；（3 3）若三相负载的等效电阻分别为）若三相负载的等效电阻分别为R R1 1=510=510 ，R R2 2=

24、510=510 ，R R3 3=2k=2k ，求中线电流。，求中线电流。解解 （1 1）由三相电源的星形联结可知，电源）由三相电源的星形联结可知，电源线电压为线电压为380V380V时，相应的相电压为时，相应的相电压为 ，U UP P等于负载的额定电等于负载的额定电压，因此三相负载应接在端线和中线之间，压，因此三相负载应接在端线和中线之间，即负载采用星形联结，如图即负载采用星形联结，如图2-202-20所示。所示。P380/3V220VU （2 2）当）当R R1 1 = =R R2 2 = =R R3 3 = 500 = 500 时，负载时，负载为对称三相负载，各负载的相电流相等，即为对称三

25、相负载，各负载的相电流相等，即 负载作星形联结，线电流等于相电流，负载作星形联结，线电流等于相电流，即即 PP1P2P31220A0.43A510UIIIRL1L2L30.43AIII 由于电灯组是电阻性负载，所以负载相由于电灯组是电阻性负载，所以负载相电流和相电压的相位相同，因此可作相量图电流和相电压的相位相同，因此可作相量图如图如图2-212-21（a a）所示。根据平行四边形法则，）所示。根据平行四边形法则， 所得相量的有效值为所得相量的有效值为0.43A0.43A，相位与，相位与 相反。相反。因此，中线电流因此，中线电流P1P2IIP3IN0.43A0.43A0AI（3 3）当）当R

26、R3 3 = 2k = 2k 时，时，作相量图如图作相量图如图2-212-21（b b）所示，中线电流）所示，中线电流 可见，在三相不对称负载星形联结时，中可见，在三相不对称负载星形联结时，中线电流不等于零。线电流不等于零。PP33220A0.11A2 000UIRL3P30.11AIIN0.44A0.11A0.33AI 三相负载的三角形联结电路如图三相负载的三角形联结电路如图2-222-22所所示，负载的相电压均为电源的线电压，即示，负载的相电压均为电源的线电压，即（2-392-39） 由图由图2-222-22还可以看出，负载作三角形联还可以看出，负载作三角形联结时，流过端线的线电流不等于流

27、过负载的结时，流过端线的线电流不等于流过负载的相电流，根据分析，两者的有效值关系：相电流，根据分析，两者的有效值关系：（2-402-40） 即三相对称负载三角形联结时，线电流即三相对称负载三角形联结时，线电流是相电流的倍。是相电流的倍。2 2三相负载的三角形联结三相负载的三角形联结PLUULP3II 无论是星形联结还是三角形联结，三相无论是星形联结还是三角形联结，三相负载总的平均功率都是各负载平均功率之负载总的平均功率都是各负载平均功率之 和，即和，即（2-412-41） 当负载对称时，各相的平均功率相等，当负载对称时，各相的平均功率相等，总的平均功率为单相平均功率的总的平均功率为单相平均功率

28、的3 3倍，即倍，即 （2-422-42） 式中，式中， 各相负载的功率因数。各相负载的功率因数。2.4.3 三相交流电路的功率三相交流电路的功率123PPPPPP PP33cosPPU IPcos 由于负载星形联结时，由于负载星形联结时，U UL L= = U UP P，I IL L= =I IP P；负载作三角形联结时，负载作三角形联结时，I IL L= = I IP P，U UL L= =U UP P，因此，因此，无论三相负载是星形联结还是三角形联结，无论三相负载是星形联结还是三角形联结，三相总的平均功率为三相总的平均功率为（2-432-43） 同理，三相对称负载总的无功功率（同理，三相

29、对称负载总的无功功率（Q Q）和视在功率（和视在功率（S S）为）为（2-442-44）（2-452-45）33PP PPL LP33cos3cosPPU IU IP PPL LP3sin3sinQU IU I22P PL L33SU IU IPQ 【例【例2-92-9】 三相交流异步电动机每相阻三相交流异步电动机每相阻抗为抗为1010 ，额定相电压为，额定相电压为380V380V，功率因数为，功率因数为0.60.6。电源的线电压为。电源的线电压为380V380V。（。（1 1）分别计算）分别计算电动机接成星形和三角形时的线电流和功率。电动机接成星形和三角形时的线电流和功率。（2 2）电动机正

30、常工作时，应采用哪种接法？）电动机正常工作时，应采用哪种接法？解解 （1 1）电动机接成星形时，）电动机接成星形时， 电动机接成三角形时，电动机接成三角形时， （2 2）由于电动机的额定电压等于电源的线）由于电动机的额定电压等于电源的线电压，因此电动机正常工作时应接成三角形。电压，因此电动机正常工作时应接成三角形。 为了减小电动机启动电流，可在启动时为了减小电动机启动电流，可在启动时接成星形，启动完毕正常运行时改接成三角接成星形，启动完毕正常运行时改接成三角形。形。 1 1正弦交流电流的有效值为正弦交流电流的有效值为5A5A，周期为，周期为20ms20ms，初相位，初相位150150，试写出其

31、解析式，并画，试写出其解析式，并画出波形图和相量图。出波形图和相量图。 2 2已知两个正弦电压已知两个正弦电压（1 1）求它们的有效值、频率、初相及相位差；）求它们的有效值、频率、初相及相位差；（2 2）画相量图，并求）画相量图，并求u u1 1+u+u2 2的有效值。的有效值。130sin(10030 )Vut140sin(10060 )Vut 3 3有有5A5A的直流电流和最大值为的直流电流和最大值为5A5A的交流的交流电流通过阻值相等的两个电阻炉，在交流电电流通过阻值相等的两个电阻炉，在交流电流的一个周期内哪个电阻炉发热大？为什么？流的一个周期内哪个电阻炉发热大？为什么？ 4 420W2

32、0W日光灯镇流器工作时的电压为日光灯镇流器工作时的电压为198V198V，电流为，电流为0.35A0.35A，交流电的频率为，交流电的频率为50Hz50Hz，求镇流器的电感（忽略镇流器电阻）。求镇流器的电感（忽略镇流器电阻）。 7 7交流接触器线圈的电阻交流接触器线圈的电阻R R=200=200 ，电，电感感L L=7.3H=7.3H，额定电流，额定电流I IN N=0.1A=0.1A，接在，接在U U=220V=220V，f f=50Hz=50Hz的交流电源上，求流过线圈的电流的交流电源上，求流过线圈的电流I I。如果误接在如果误接在U U=220V=220V的直流电源上，求这时通的直流电源

33、上，求这时通过线圈的电流过线圈的电流I I，并分析其后果。，并分析其后果。 8 8如图如图2-252-25所示电路中，已知电压表所示电路中，已知电压表V V1 1的读数为的读数为40V40V，电压表，电压表V V2 2的读数为的读数为30V30V，求电，求电压表（压表（V V）的读数。）的读数。 9 9有一电阻炉，其额定电压为有一电阻炉，其额定电压为110V110V，额，额定功率为定功率为2.2kW2.2kW，现欲接入，现欲接入220V220V、50Hz50Hz的交流的交流电源上使用，为此选用一个电容与电阻炉串电源上使用，为此选用一个电容与电阻炉串联，以保证电阻炉两端电压仍为联，以保证电阻炉两端电压仍为110V110V，求电，求电容的电容量和耐压。容的电容量和耐压。 10 10在在RLCRLC串联电路中，设串联电路中，设 , , ， , ,外加电压外加电压U U=220V=220V，f f=50Hz=50Hz。求（求（1 1）电路的阻抗；）电路的阻抗； （2 2）电路中的电流和）电路中的电流和R R、L L、C C的电压有的电压有效值；效值； （3 3）电路的有功功率、无功功率、视在）电路的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数。功率和功率因数。20R 63.5mHL 30FC 11 11在三相交流电源线