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文档简介
1、第二章第二章 传输线理论传输线理论传输线理论又称为一维分布参数电路理论,介于上述两种理论之间,是微波电路设计和计算的理论基础,在电路理论和电磁场理论之间起过渡(桥梁)作用,同时也可以应用于微波网络的分析。电磁场理论:精确,理论上可以解决所有的电磁场问题,但是分析的过程非常复杂。电路理论:简单,是一种近似的方法传输线理论的基本思路:采用电磁场理论求解出等效分布电路参数,然后采用电路的理论对其进行分析。 本章的主要内容:1)传输线基本方程2)传输下分布参数阻抗3)无耗工作状态4)有耗工作状态5)Smith圆图6)阻抗匹配2.1 传输线方程传输线方程是传输线理论的基本方程,是描述传输线上电压、电流的
2、变化规律及其相互关系的微分方程。1、传输线方程可以从场的角度以某种TEM传输线导出。2、传输线方程也可以从路的角度,由分布参数得到的传输线电路模型导出。 本章采用路的理论分析,然后对时谐情况求解,最后研究传输线的特性参数。2.1 2.1 传输线的电路模型传输线的电路模型 传输线是以TEM模为导模的方式传递电磁能量或信号的导行系统,其特点是横向尺寸远小于其电磁波的工作波长。 传输线的结构主要取决于工作的频率和用途,主要有:平行的双导线平行的双导线同轴线同轴线带状线带状线准准TEMTEM波的微带线波的微带线 各种传输TE模、TM模或混合模的波导都可以认为是广义的传输线,其电磁场沿传播方向的分布规律
3、可以采用等效传输线的观点进行分析。长线长线(long line)(long line):几何长度和工作波长可比拟的传输线,需要采用分布参数电路描述。短线短线(short line):(short line):几何长度和工作波长相比较可以忽略的线,采用集总参数带你路表示。 集总参数电路和分布参数电路的分界线:几何尺寸L/工作波长1/20,采用分布参数描述,反之则可以采用电路的理论来解释。因为几何长度和工作波长可比拟的时候,传输线上的电压和电流将随着长度的变化,导致振幅和相位可能发生明显的变化,从而采用集总参数的观点不能正确描述传输线的特性。分布参数:分布参数: 传输线上存在电阻、电感、电容、电导
4、,这些描述的量随着频率的增加,将会对电磁能量的传输造成极大的影响。这些量沿传输线分布,其影响在传输线的每一点,因此称为分布参数。对于分布参数(电阻、电感、电容、电导)沿传输线均匀分布的称为均匀传输线,反之则称为非均匀传输线。对于双导线、同轴线、平板传输线的分布参数(见书上的表2.2-1)传输线方程的推导:如图所示对于每个无限小的线元,由于其长度远小于工作波长,因此可以采用集总参数电路来表示。 对于传输线上某点的电压、电流,可以按照taylor级数展开,忽略高次项有:电感电阻ZztzitzitzziZztzvtzvtzzv),(),(),(),(),(),(如图所示,传输线上的电压,电流随着Z的
5、增加而减小,则 上的电压可以表示为: zZztzitzzitziZztzvtzzvtzv),(),(),(),(),(),(根据kirchoff电压和电流定律有:zztzittzvzCtzzvGtzzitzizztzvttzizLtzziRtzzvtzv),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1111电报方程:是空间z,时间t的函数,一般只能作近似计算(2)时谐传输线方程: 对于单位电阻,电容,电感、电导不随传输线位置变化的均匀传输线,其电报方程可以简化。均匀传输线上的电压和电流可以表示为时谐的形式:) 11 . 2(),(),(),(),(),(),(),(),(),()
6、,(),(),(),(),(),(),(11111111ttzvCtzvGztzizztzittzvzCtzzvGtzzitzittziLtziRztzvzztzvttzizLtzziRtzzvtzvz有:将上面的方程除以)(Re),()(Re),(tjtjezItziezVtzv将电压和电流的表达式带入电报方程有:称为并联导纳。,称为串联阻抗,其中)(1111111111111111)(31 . 2)()()()()()()()()()()()(CjGYLjRZzVYzVCjGzVCjzVGdzzdzIZzILjRzILjzIRdzzdVI(3)传输线上电压和电流的通解:对(2.1-3)再次
7、取导数有)(61 . 2)()()()()()()()()(11112211111122zIZYdzzdVCjGdzzIdzVYZzVYZdzzdILjRdzzVd定义传播常数:)(111111CjGLjRYZ则(2.1-6)变换为:ZZeAeAzVzIdzzIdzVdzzVd21222222)()81 . 2(0)()(0)()(为:该电压波动方程的通解如果传播方向为Z,则入射波,反射波将电压的通解代入时谐传输方程中的第一个式子有)()()(1)()(1)()()()(2111111121111111zzzzeAeALjRCjGLjReAeALjRdzzdVLjRzIzILjRdzzdV其定
8、义以后介绍为传输线的特性阻抗,0210211111)91 . 2(1)()(ZbeAeAZeAeALjRCjGzzzz(4)(4)传输线上电压和电流的定解:传输线上电压和电流的定解: 电压和电流的定解可以通过电压和电流的通解以及端接条件确定,其端接条件可以分为:终端条件、始端条件、信号源和负载条件lLLlLLllLllLZZllLZZeIZVAeIZVAeAeAZIeAeAZIlIeAeAZzIeAeAVlVeAeAzV2,2)(1)()(1)()()(02012102102102121联立求解有:(i)(i)终端条件终端条件: :如图所示已知终端的电压和电流分别为VL,IL)111 . 2(
9、22)(22)(d,22)(1)(2222)(z000000)(00)(00210)(0)(00021dLLdLLdLLdLLzlLLzlLLzzzlLLzlLLzlLLzlLLzzeZIZVeZIZVdIeIZVeIZVdVzldeZIZVeZIZVeAeAZzIeIZVeIZVeeIZVeeIZVeAeAzV:流可以表示为:处,则该处的电压和电方向表示从负载端接处向源另示为处的电压和电流可以表对于传输线上任意一点双曲函数的定义:双曲正弦和双曲余弦:2,2xxxxeechxeeshx)131 .2()()()()()()()121 .2)()()()()2()(22)()()()(2)(2)
10、(22)(00000000000000LLLLddLddLdLLdLLLLddLddLdLLdLLIVdchZdshdshZdchdIdVdchIdshZVdIeeZIZeeZVdIeZIZVeZIZVdIdshIZdchVdVeeIZeeVdVeIZVeIZVdV其矩阵表示为:(ii)始端条件:如图所示已知始端的电压和电流分别为V0,I0)(示为处的电压和电流可以表对于传输线上任意一点联立求解有:141 . 222)(1)(22)(z2,2)(1)0()(1)()0()(00000021000000021000200012100210021021021zzzzzzzzZZZZeIZVeIZV
11、eAeAZzIeIZVeIZVeAeAzV:IZVAIZVAAAZIAAZIIeAeAZzIAAVVeAeAzV(iii)(iii)信号源和负载条件解信号源和负载条件解: :如图所示已知始信号源的电动式为EG,内阻为ZG,负载的阻抗为ZL000021200100021212100021L210210021021021021021),5()()()3)(1(,Z)4()(1)()3)()(1)()(1)()2()()1()0()(ZZZZEZZZAAEAZZZAZZZZZAAEAAAAZIZIEAAZEZVeAeAZIlIAAZIAAZIeAeAZzIeAeAVlVZIEAAVVeAeAzVGG
12、GGGGGGGGGGGGGLLllLZZllLGGZZ其中有:联立上面为已知,由于0GGlLlLGGlLlLlLLlLLllLLllLllllLLLllLllLZZEZeeAZZEZeAeAeZZAZZAeAZZAZZeAZAZeAZAZeAAeAAZZeAeAeAeAZIVZeAeAZIeAeAV002G22002G12120102220102201022122122102121021021111)6)(5()6()()()()()(1两式联立有:由)(1)()91.2()151.2)(1)()(1)()(11)(,)6)(5(02G002G)()(002G2002G21dLdGGlLldL
13、dGGlLlzlLlZGGlLlZlLZGGlLeeZZEeedIbeeZZEZeedVzldeeZZEZeezVeeeZZEZezVAA有:同理由由于代入通解方程有:将两式联立有:由上述三种情况均说明传输线上的电压和电流是由从源到负载的入射波和反射波的电压以及电流叠加,在传输线上呈行驻波混合分布。3.传输线的特性参数(1)特性阻抗:传输线上入射波的电压和入射波电流之比,或反射波电压和反射波电流之比的负值,定义为传输线的特性阻抗(charateristic impdance)111101010ii0Z)101.2()(1Z)()(zIUZCjGLjReAZeAZIzUzzzrr可知由)()(由
14、上面的表达式可以知道,传输线的特性阻抗由自身的分布参数决定和频率参量决定。特殊情况:(1)无耗传输线:无电阻损耗110ZCL(2)低损耗耗传输线:1111,CGLR111111111111112/1112/1111111111111111111110)21211 ()211)(211 ()1 ()1 ()1 ()1 ()()(ZCLCjGLjRCLCjGLjRCLCjGLjRCLCjGCLjRLCGjCLRjLCjGLjR书上给出了双导线、同轴线、平板传输线的特性阻抗表达式。对于同轴线,根据公式可以知道其外径/内径=2.33,特性阻抗Z0=50欧(p22):相位常数衰减常数,:)(1111jC
15、jGLjR(1)无耗传输线:R1=0,G1=0111111CLCLjCjLj(2)传播常数 :描述导行波沿导行系统传播过程中的衰减和相位变化的参数,通常为复数。(2)低损耗传输线:1110011111111111111111111111111111111111111111:22)(21)(2121211 211211 )1)(1 ()(,CLGZZRCLGLCRCLGLCRCLjCjGLjRCLjCjGLjRCLjCjGLjRCLjCjGLjRCGLRdcdc定的介质衰减常数。:由单位长度漏电导决决定的导体衰减常数,由单位长度的分布电阻(3)传输线的相速度和导播波长:对于无耗传输线对应的相位传
16、播常数为:pV11CL)241 . 2(11111CLCLVp根据导行系统相速度的义:则传输线的速度可以表示为:传输线的导播波长可以表示为:)251 . 2(21221111fVCLCLpg书上的题22(P58)特性阻抗和相速度的关系:)261 . 2(111111110CvCCCLCLZp2.22.2分布参数阻抗分布参数阻抗 传输线上的电压和电流决定的传输线阻抗是分布参数阻抗。其阻抗与导行系统上导波的反射或驻波特性紧密联系即导行系统的状态和特性相关,微波的阻抗只能通过测量反射系数或驻波比等参量来间接获得(因为在高频的情况下,电压和电流缺乏明确的物理意义)且不能直接测量。(1 1)分布参数阻抗
17、)分布参数阻抗传输线上任意一点的阻抗(输入阻抗)定义为该点的电压和电流之比。由(2.1-12)电压和电流的表达式有: ZzUzIzin)()()()()()()121 . 2(,00dchIdshZVdIdshIZdchVdVLLLL电流的通解电压由传输线上任意一点的)(除12 . 2)()()()(1)()()()()()()()()()()()()()(00000000000000ZdthZdthZZZZdthIVdthZIVZdthZIVdthZIVZdchIdchIdshZVdshIZdchVZdchIdshZVdshIZdchVdIdVdZinLLLLLLLLLLLLLLLLLLL对
18、于无耗传输线,衰减常数为0,因此传播常数等于相位常数)22.2()()()()cos(2)sin(2)sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin()cos()()(,0000dtgjZZdtgjZZZZindjtgddjdjddjddjddjdeeeedjthdthjLLdjdjdjdj,对于无耗传输线而言,传输线上任意一点的输入阻抗与传输线上的位置d和负载的阻抗有关。从输入阻抗公式可以知道:(1)传输线的输入阻抗随位置d变化,且和负载的阻抗有关。(2)传输线具有阻抗变换作用,从公式可以看出阻抗从负载阻抗ZL变换到Zin(d)(3)因为正切三角函数具有周期性,传输线的输
19、入阻抗呈周期性变化。LLLLLLZtgjZZtgjZZZZindZZtgjZZtgjZZZZind)2/2()2/2(2/2/)4/2()4/2(4/4/00020000阻抗的周期特性:阻抗变换特性:(2 2)反射)反射参量电压反射系数定义:传输线上某点的反射电压和入射电压的比值。 dVdVdV电流反射系数定义:传输线上某点的反射电流和入射电流的比值。 dIdIdI由(2.1-11),可得电压反射系数为:)2(22220020000000000)(22)()111 . 2(22)(22)(djdLdjLvjLLdLdLLdLLLLdLLdLLvdLLdLLdLLdLLLLLeeeedeeeZZ
20、ZZeIZVIZVeIZVeIZVdeZIZVeZIZVdIeIZVeIZVdV用极坐标表示为:如果负载的反射系数采从上面的公式可以看出,有耗传输线的电压反射系数随着位置的不同,其模的大小改变,相位以- 沿顺时针(向信号源)变化。d2)()(22)()111 . 2(22)(220020000000000ddeeZZZZeIZVIZVeZIZVZIZVdeZIZVeZIZVdIVIdLdLLdLLLLdLLLLIdLLdLL可见电流反射系数:对于无耗传输线,其电压反射系为:)2(2)(djLdjLvLLeeed从上面的公式可以看出,无耗传输线的电压反射系数随着位置的不同,其模的大小不变,只是相
21、位以- 沿顺时针(向信号源)变化。d2由负载反射系数的计算公式:,对应没有反射。反射系数为对应的入射波被全反射射系数最大值为,因此传输线的电压反不会大于可以知道反射系数的模0;1100ZZZZLLL(3)输入阻抗与反射系数间的关系)92 . 2()()()()(1)(1)(1)()(1)()()()()(1)()()(1)()()()()(1)()()(1)()()()(000ZdZZdZdddZddIddVdIdVdZddIdIdIdIdIdIdIddVdVdVdVdVdVdVininin)()(上式表明当传输线的特性阻抗一定时,传输线上任意一点的输入阻抗和该点的电压反射系数一一对应。即可以
22、通过求反射系数,确定输入阻抗。为了以后在Smith圆图中应用,输入阻抗和导行系统特性阻抗的比值定义归一化的输入阻抗,小写表示:)(1)(1)()(0ddZdZdzinin(4 4)传输系数)传输系数T T为了描述传输线上的功率传输关系,引入传输系数T。定义:通过传输线上某点的传输电压或电流与该点的入射电压或电流之比。从图中可以看出传输的场分为两个部分,反射分量和传输分量。如图设传输线的特性阻抗为Z1,用特性阻抗为Z0线馈电,则馈电处的反射系数为:在Z0线上由于不存在反射(负载端接特性阻抗Z1,匹配没有反射系数),根据传输系数的定义:)0()(0zTeVzVzj0101ZZZZIIVVtt入射电
23、压或电流传输电压或传输电流T在Z=0处,其电压应该相等,因此有)dB(lg20)(11)0()1 ()0(010100ILdBInsertLossZZZZTTVVVV耗系数常用来表示插入损电路中两点之间的传输3 3驻波比:驻波比:以前介绍的电压反射系数是一个复参量,其相位关系不容易测量,为了测量传输线上的输入阻抗,引入驻波比的概念。(i)电压驻波比 传输线上的各点的电压或电流是由传输线上的入射波和反射波叠加,从而在传输线上形成驻波,沿线的各点的电压和电流的振幅不同,且以半个波长为周期变化。 其中将传输线上电压振幅最大值的点称为驻波的波腹点,电压振幅最小值的点称为驻波的波谷点,电压振幅为0的点称
24、为波节点。1驻波比的定义驻波比的定义:传输线上相邻的波腹点和波谷点电压幅度之比(即传输线上相邻的最大电压和最小电压幅度之比),称为电压驻波比(VSWR)。minmaxUU电压驻波比的倒数称为行波系数(travelling wave coefficient)由传输线上的电压和电流的表达式(2.2-8)有:maxmin11VVVSWRK1)()(1)()()2()2(djLdjLLLedIdIedVdV同理,电流的模具有如下的关系:1 )()(1 )()(1 )()(1 )()(minminmaxmaxLLLLdIdIdVdVdIdIdVdV)192 . 2()2cos(21 )(V)()2cos
25、(2)2(sin)2(cos1)(V)2sin()2cos(1)(V)2sin()2cos(1)(V)(2/122/12222/122dddVddddddddjdddVLLLLLLLLLLLLLLL2/12)2cos(21 )()(ddIdILLL上式取模,用欧拉公式展开:(2 2)输入阻抗与驻波比的关系)输入阻抗与驻波比的关系由输入阻抗的公式由无耗传输线知其衰减常数为0通常选取驻波最小的点为测量点,其距负载的距离用dmin表示,该点的归一化阻抗值等于其驻波比,由公式(2.2-19)232 . 2(11L)()(000dtgjZZdtgjZZZZinLLLLLLLLdVdVdIdIdVdVdI
26、dVdIdVZdIdIdVdV11)()(1 )()(1 )()()()()()(1 )()(1 )()(minminminmaxminminmaxmax0maxmax)()()()(000dtgdjZZdtgjZdZZZininL)252 . 2()()(1)()()()()242 . 2()()()193 . 2(11)1 ()()1 ()()()()()1 ()()()1 ()()(1)2(cosminmin0min00min000min00min0000min0minminminminminminmaxminminmindjtgdtgjZdtgjZZdtgjZZZdtgZjZdtgjZ
27、ZZZZdZZdIdVdIdVdZdIdIdVdVdLinLLLLinLLL有:代入公式阻为纯电阻即电压振幅最小处的电参见由输入阻抗的定义电流达到最大值时,电压达到最小值当从上面的公式知道,当传输线特性阻抗一定时,负载阻抗值和驻波比一一对应,可以通过测量传输线上离负载最近的电压最小点的驻波比和距离来测量负载的阻抗。2.3无耗传输线工作状态分析1、对于负载阻抗ZLZ0的情况,反射系数为0,将无反射的情况称为行波状态;2、对于全反射的情况即反射系数的模为1的情况,称为驻波状态;3、实际的传输线构成的电路,反射系数1,因此电磁波既有传输又有反射,称其为行驻波状态。zjzjzjzjzjzjLeZIVz
28、eZIVzeZIVeZIVzeZIVeZIVzKZZ2)( I ,2)(V22)( I,22)(V:,),141 . 2(, 0)2(1, 1, 0:) 1 ()(. 10000000000000000000无反射波电流为该状态下的电压因此由即传输线上只有入射波由于反射系数为特性分析行波系数条件匹配无反射行波状态将其加上时间参量,表达式为:为取实部,电压的瞬时值)sin()cos()(),(000)(0)(0)(000ztjztVeVeeVeVezVtzVztjztjjztjtj)cos(),()23 . 2)(cos(),(0000ztItziztVtzVzjeZIVz2)( I000(根据
29、2.3 -2)行波状态下的特点:(1)沿线各点的电压、电流振幅不变(2)电压和电流同相(3)沿线各点的输入阻抗均等于传输线的特性阻抗 )sin(2)1 ()1 ()112 . 2( :, 2 2 djVeVeVeeVeVVeVeVeVdVLdjLdjLdjLdjLdjLLdjLdjLdjL压可以表示为传输线上任意一点的电由负载向源看特性分析条件全反射驻波状态)2(jx,0:)1 ()(.2LLLZZZLL00L11, 1ZZ,)a (ZZLL负载短路时 )()cos(2)sin(2)()(d)Z)Zd)(cos(2)cos(2) 1( 10scin00 d 0dtgjZdIdVjdIdVdId
30、ZVeeZVeVeVZdILLLLdjdjLdjLjL的方向相反的方向和注:.,.,/2, 0,0一个纯电抗一点的输入阻抗为可以知道传输线上任意根据输入阻抗的公式电流的波腹点为电压的波节点负载短路情况下负载处因此电流为电压为在负载处从上面的公式可以看出ZVL无耗短路线的驻波特性1.短路情况下的电压、电流(电流相位超前电压相位90度)2.短路情况下的阻抗特性(感性、容性交替)3.偏离负载0.25,0.75等个波长处阻抗为无穷大,等效为并联谐振器,偏离负载0,0.5等波长处阻抗为0,等效为串联谐振器)sin(2)sin(2)1()()()()cos(2)1()()()(0002002dIjdZVj
31、ZeVeVZeeVZeVeVZdVdVdIdVeVeVeeVeVeVdVdVdVLLdjLdjLdjLdjLdjLdjLLdjLdjLdjLdjLdjLdjL可见在d=0即负载处,电流为0,电压取最大值。即负载处为电压的波腹点,电流的波节点。输入阻抗:)()sin(2)cos(2)()()(djctgdIjdVdIdVdZLLocin(b)负载开路的情况LLLLZ11; 1;1.开路情况下的电压、电流(电流相位比电压相位滞后90度)2.开路情况下的阻抗特性(容性、感性交替)3.偏离负载0,0.5个波长处,阻抗为无穷大,等效为并联谐振器,0.25,0.75等个波长处阻抗为0,等效为串联谐振器无耗
32、开路线的驻波特性由负载开路状态和短路状态的输入阻抗有:由此可以通过测量一定长度无耗传输线的负载开路、短路状态下的输入阻抗,从而确定 传输线的特性阻抗和相位常数。(c)负载为纯电感的情况20)()(ZdZdZOCinSCin)()(1)()(0dZdZarctgddZdZZOCinSCinOCinSCin负载处的相位:负载为纯电感的情况下,传输线上任意一点的电压可以表示为:)1)()(1)()()()(V)2(djLddLedVddVdVdVd 由于负载为纯电感,使得负载处的反射系数为的模为1,具有一个初相,因此根据上面的公式,负载处的电压未达到最大值,因此此时,负载处不是电压的波腹点,同时电压
33、也不会为0,因此也不是电压的波节点。 沿线的电压、电流和阻抗分布曲线可以用一段小于0.25个波长的短路传输线(其输入阻抗为感抗)来等效获得。202012ZXXZtgLLL端接纯电感的电压、电流,输入阻抗的分布0100Z2)(jZZ4/LeoLeoXtgLjXLtg,则有抗设为传输线等效,其特性阻的短路段小于假设负载电感可以用一(c)负载为纯电容的情况 由于负载为纯电容,使得负载处的反射系数为的模为1,具有一个初相,因此根据上面的公式,负载处的电压未达到最大值,因此此时,负载处不是电压的波腹点,同时电压也不会为0,因此也不是电压的波节点。 沿线的电压、电流和阻抗分布曲线可以用一段小于0.25个波
34、长的开路传输线(其输入阻抗为容抗)来等效获得。端接纯电容的电压、电流、阻抗分布综上分析,驻波状态的特点:时间上电压电流差一个j,位置上电压和电流分别为正弦和余弦函数,相位相差90度。当负载阻抗为一个复数阻抗时:特性分析:由于反射系数的模小于1,因此在传输线上产生部分反射,形成行波和驻波的混合状态(绝大多数情况),传输线上无波节点。驻波最小值的电压不会等于0,驻波最大值的电压不等于终端入射波振幅的2倍。知道沿线驻波的最大值和最小值,以及偏离负载驻波最小的位置,就可以画处电压或电流驻波的分布曲线。对于电压最大点的输入阻抗为:0minmax(max)11ZIVIVZLLLLin对于电压最小点的输入阻
35、为:/110maxmin(min)ZIVIVZLLLLin电压驻波最小和最大点的输入阻抗为一个纯电阻,两个的位置相差0.25个波长。实际的传输线(微带、带状线等)都存在一定的损耗(导体损耗、介质损耗以及辐射损耗)。当分析导波沿导行系统传播时的振幅衰减情况或研究谐振器的 Q值时,就需要考虑损耗的影响。损耗的主要影响是导致导波的振幅(能量)衰减;其次由于损耗的存在导致传输线的相位常数和频率相关,从而使得传播速度与频率有关,即色散效应。PV有耗传输线和无耗传输线相比较,相同点在于线上传输的电压和电流都是入射波和反射波的叠加。不同点在于有耗传输线的传播常数有衰减因子,导致入射波和反射波的振幅沿各自的传
36、播方向呈指数衰减。1、损耗的影响有耗传输线的特性计算传输线的位置有关的反射系数和驻波比与由此可以见有耗传输线坐标形式有:将负载反射系数换成极,dLdLdjdLdjdLdjLdjLdjLdjLdjLdjLeeeedeeeVeVdZeVeVdIeVeVdVL22)2(222)()(0)()()()(11)()()()(有耗传输线上的电压和电流可以表示为:电压振幅:电流振幅:1 )(1 )()(2)(0)(2)(djdLdjLdjdLdjLLLeeeZVdIeeeVdV有耗传输线的输入阻抗:根据(2.2-1)和(2.4-2)有一个衰减常数常数较无耗传输线而言一样,只是这里的相位和)92 . 2(从上
37、面的公式可以看出电压和电流的驻波最大值和最小值均和位置相关,即是位置的函数。和无耗传输线不同(参见公式2.3-14)讨论:1)当终端开路时,负载反射系数为1:dcthZdshZVdchVdIdVdZdshZVeZVeZVeeZVdIdchVdjchVeVeVeeVdVLLocinLdjLdjLdjLdjLLLdjLdjLdjLdjL000)(0)(0)(2)(0)()()(2)(22)()()(21 )()64 . 2(2)(21 )(2)当终端短路时,负载反射系数为-1有耗传输线开路情况下的电压,电流阻抗沿线的分布有耗情况下的负载开路了和短路对应的电压、电流呈互补关系(I,V相互调换),越靠
38、近信号源,对应的起伏越小,即阻抗相对于特性阻抗越的波动越小,当传输线较长的时候,可以近似为匹配,因此有足够长度的有耗传输线可以等效为匹配负载。dthZdchZVdshVdIdVdZdchZVeZVeZVeeZVdIdshVeVeVeeVdVLLocinLdjLdjLdjLdjLLdjLdjLdjLdjL000)(0)(0)(2)(0)()()(2)(22)()()(21)()64.2(21)(因此对于长度为d的有耗传输线只需要对其测量开路、短路状态下的输入阻抗,即可以确定有耗传输线的特性阻抗和传播常数2、传输功率与效率:1)传输功率下面在假定信号源匹配的情况下讨论(1)匹配,2)失配无耗3)失
39、配有耗dcthZdZdthZdZscinocin00)()()()(1)()(0dZdZarctgdjdZdZZOCinSCinOCinSCina)匹配无耗线的情况:由于负载无反射、无损耗,因此入射电压即等于负载上的电压,入射电流等于负载上的电流,因此负载的吸收功率可以表示为:有反射情况下,负载的吸收功率=入射功率-反射功率b)失匹无耗线的情况:传给负载的功率为负载无反射、无损耗,负载的吸收功率=入射功率失配无耗传输线上的传输功率可以采用电压驻波最大点和最小点处的值来计算电压驻波最大点和最小点的传输功率为:)154 . 2()(2111)(2111 )1 ()(2111 )(21)(1 )(1
40、 )(21)()(2102max02max202max02minmax书上行计算采用电压驻波最大值进KZdVZdVZdVZdVdIdVdIdVPLLLLLLLLL同理:)164 . 2()(2111)(2111 )1 ()(2111 )(21)(1 )(1 )(21)()(2102max02max022max02maxminKZdIZdVZdIZdIdIdVdIdVPLLLLLLLLL行计算采用电压驻波最小值进由(2.4-15)可以知道传输线上的功率容量(即极限功率,超过该值将使得传输线被击穿,不能正常工作)为:为击穿电压brbrbrVKZVP,202c)失匹有耗线的情况:传输线上任意一点的功
41、率为(负载处的坐标为0):)(2)1 (21Re2)1)(1Re(2)1 )(1 Re(2)1 )(1 Re(21)()(Re21)(22020204200220420220220022022022002202202200220220002200*ddddddjddjdddjddjdddjddjdjddjddjddjddjddjdeeZVeZeVeeeZeVeeZeVeeeeZeVeeZVeeVdIdVdp对于输入端d=L,传输线的输入功率)(21)(2122020202202020LLiLLieeZVPeeZVP输入功率为对于负载端d=0负载反射的功率入射功率即负载的吸收功率率载吸收功率,即
42、入射功为无耗匹配情况下的负负载的吸收功率为)()1 ()1 (21)(21)0(020020020022002020PPZVPeeZVPLi失配损耗传输线上的损耗功率为:) 1()()()(,VV)194 . 2()144 . 2(20020L0L0LLDLinDePPePPPLPP负载端入射功率始端输入射功率,对于无耗线有和比较(3)传输效率(p36)定义:负载吸收的功率与传输线输入功率之比)1 ()()0(184 . 220022020LLLiPPeePP)负载的吸收功率为由()()(22202220LLLiLLLieePPeePP输入功率为)284 . 2()2()2()1(211)2(
43、22)2(2)1(4)(2)(1(4)12()12(4) 1() 1(4) 1() 1() 1() 1()11()11(1)()1 ()(22222222222222222222222020LchLshLchLsheeeeeeeeeeeeeePPLPPLLLLLLLLLLLLLLLLLi)294 . 2()1(1)1(1 1)1(12)1(211)2()2()1(21122, 12, 1)284 . 2()2()2()1(2111LKKLLLLchLshLLshLchLLchLsh对于低损耗线回波损耗和反射损耗:1)回波损耗(Return Loss 又称为回程损耗):定义:入射功率和反射功率之
44、比在一般的传输线或线性二端口网络中,有时计算会使用到回波损耗或反射损耗的概念。)(log201log10)()(log10)log(102*dBIVIVPPLr1)从上面的公式可以看出,由于反射系数模小于1,因此回波损耗为正。2)对于无耗线,Lr为常数3)对于有耗传输线,反射系数是位置d的函数,因此回波损耗也是位置的函数djdLed22)(输入端与负载端的回波损耗关系:686. 8*)2(LLl686. 8*)2(log20)log(20*)2(log20log20L)(L,i ,222lddedeedrrLLdLrdjdL减有耗线上的来回路程衰负载端回波损耗波损耗时,对应的输入端的回当由完全
45、匹配时,回波损耗为无穷大dB;全反射时,回波损耗为0dB)log(10PPLr反射损耗(失配损耗):反射损耗的概念一般基于信号源匹配的前提下,负载的不匹配引起的负载的功率减小的量度。定义:信号源匹配的前提下,负载匹配的吸收功率和负载不匹配的吸收功率之比.)(log1000dBPPLZZLZZLRLL回波损耗:反射信号本身的损耗;反射损耗:反射信号引起的负载功率减小的度量(失配程度)。信号源功率的一半即负载吸收的功率仅为反射损耗为从上面的公式可以得到时,当)(32log1083.5*4)183.5(log10;83.5707.01707.01707.04)1(log10)11(11log1011
46、log102/)1(2/log10222202202dBLZVZVLRLLLLR用常用对数lg表示的电平单位为分贝(dB)。 2、用自然对数表示的电平单位为奈贝(Np)。 1奈贝=8.68分贝P36(书上)例子:63.0584.1)(23.0584.1ln21584.1lg*10dB2)ln(21)()lg(10)(46.023.0*2eeNpPPpLPPdBLrrN即直角坐标转换为极坐标形式:2.5Smith圆图 1) 前面介绍的输入阻抗公式,一般计算较负载,圆图是一种计算输入阻抗,反射系数,驻波比较简便的图解方法。 2) 圆图是采用双线性变换将Z复平面上将归一化输入阻抗的实部r和虚部x两族
47、正交直线变换为正交圆,并与反射系数的模和幅角叠加而成。下面即推导圆图的各个方程:(从Z平面映射到反射系数平面)圆图的构成:1)归一化输入阻抗(实部、虚部)2)反射系数(模、幅角)d()d()d()()( r)d(z)d(1)d(1Z)d(Z)d(zinin0inimRjdjxd,可以表示为:归一化输入阻抗为复数入阻抗可以表示为:均匀传输线的归一化输相同的|,不同相位构成一个同心圆,不同的|圆形成同心反射系数圆族。其中,对于负载和特性阻抗匹配的圆,退化为一个点;圆的右边实轴上的交点对应负载开路(=1)的情况,圆的左边实轴上的交点对应负载短路(=-1)的情况,A)反射系数平面上的反射系数圆即向负载
48、逆时针转相位变大向负载方向减小即向源顺时针转相位变小向电源方向增大,则随波长计数于左端定于右端若将相位参数构建成一组同心圆族,不同的示为:无耗线反射系数可以表)(d)(d)(0)()()2(LdjLdjLimReejdL从上面的方程可以看出知道了传输线上某点的反射系数,就可以对应求出其归一化输入阻抗,根据复数的实部和虚部分别相等有:2Im2ReIm2Im2ReImReImReImRe0)1 (111,)jjjjxrjjxrZZzb数的关系有:根据输入阻抗和反射系下的形式:反射系数分别表示为如将归一化输入阻抗以及平面上归一化阻抗抗圆2Im2Re2Im2Re)1 (1r的等电阻圆,半径为,的点构成
49、圆心在为即该式表示所有电阻值11)01()11()1()11()1(11)1(1212) 1() 1(1)1 (22Re2Im222Re2Re2ImRe2Re2Im2Im2Re2Re2Imrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr归一化阻抗实部为常数,Z平面不同虚部的归一化输入阻抗在 平面的映射如下图所示为:1、圆心在实轴上。考虑到1111rrr电阻圆始终和反射系数为1的直线 相切。 2、对于归一化阻抗实部为1的阻抗形成的圆过原点。其中原点即对应阻抗匹配点。3、平面实轴上的阻抗从左到右越来越大,其中最左边对应短路点,最右边对应开路点。对于r0的点对应smitn阻抗员图最外面的圆.1Re22R
50、e22Re)1 (1imimr22Re)1 (2imimx由上面的公式可以知道 平面(-1,0)点对应为Z平面r=0,x=0的情况,即短路点,相应的(0,0)点对应Z平面上(1,0), 平面上(1,0)点对应Z平面上(无穷大,0)。22Re2Im)11()1(rrr虚部为常数的对于不同归一化输入阻抗的即等电抗圆图在 平面的表示形式为:imRe1、电抗圆图中的实轴表示电抗为0,圆图的上面部分电抗为正,表现为感抗,下面部分电抗为负,表现为容抗.2、对于x不为0,平面圆心对应(1,1/x)点;对于x= 0,即纯电阻对应为电抗圆图的实轴。所有的电抗圆均过(1,0)点,并和x0的实轴相切。3、由于反射系
51、数大于1时对应的是不稳定情况,在smith电抗圆图上表现为在单位圆之外,因此实际的稳定情况的电抗圆图只取圆内的部分。的圆半径为一个圆心为平面构成部相等的值在反射系数即归一化输入阻抗的虚)()(由虚部相等有:xxxxxxxjjx1),1, 1 (11)1 (02)1 (2)1 ()1 (222Im2ReIm2Im2ReIm2Im2Re2Im2ReImReim对于不同数值的归一化输入阻抗的实部和虚部同时在平面的表示形式为:对于导纳圆图的推导,即将阻抗采用导纳的形式来表示:jbgdddYin)(1)(1)(归一化导纳为:令 ,完全类似可导出电导圆方程 jbgdY)(222111gggir其中,圆心坐
52、标是( ,0),半径为 。 gg111 g1111ggg等电导图与直线 r=-1 相切。 也可导出电纳圆方程:222111bbir电纳圆图 其圆心是 ,半径是 ,也可对应画出等电纳曲线。可以得知等电纳图 和实轴相切。1b 11,b输入阻抗和导纳的反演关系:在很多实际计算时,我们要用到导纳(特别是对于并联枝节)。对比阻抗和导纳,在归一化情况下: )(1)(11,)(1)(1ddZyddzdindindin由前面的导纳表达式 将分子上的1采用e-j来表示,则导纳 阻抗 Z 反演-Y导纳从上面的式子可以看出输入阻抗和相应的输入导纳在Smith圆图上表现为反演关系,如图所示即Smith圆图上任意一点的
53、输入阻抗旋转180度得到的新输入阻抗的值即为其导纳值。)(1)(1)(1)(1)(dededddyjjin)(1)(1)(dddyin见书上(P40)使用注意事项。圆图的特点:),()4(m444)4(442)()(Re0Re020只是有时方向不同起电长度均是从短路点算称为波数或电长度。其中将mtgmdmmdddjdeeedimLLLLLimjdjjL1)如图所示,反射系数的相角等于常数的轨迹是一簇通过坐标原点的直线。2) 的数值大小和d有关,当d增加时,相角向顺时针方向旋转,旋转一周,d的变化为0.5个波长。Smith圆图中,通常将短路点作为电刻度的起点(即电刻度为0)3)已知传输线上终端的
54、反射系数,要求线上任意一点的反射系数,就只需要在图上找到终端的反射系数点,然后按顺时针方向旋转电刻度(d/,对应的是电刻度的变化量),得到的点即为偏离终端d处的反射系数。圆图应用:1计算负载的归一化阻抗为:(100j50)/50=2+j12连接oL,读出负载阻抗的电场度为0.213。3由负载向源旋转0.24,该点的电长度为0.213+0.24=0.453, 得到该点的归一化输入阻抗:0.42-j0.25,4.反归一化:Zin=50*(0.42-0.25)=21-j12.5欧dd42213. 0180*46 .261806 .26120000LLjz例子中4)当d为0.25个波长时,反射系数的相
55、角变化为PI,而不是PI/2。当d为0.5个波长时,反射系数的相角变化为2PI,而不是PI。256. 0416. 0628125.3080966)825625.629087158945(65125.1268175)45.1589()725.744()45.1589725.744)(725.844100(45.1589725.744725.844100)24. 02()50100(50)24. 02(50)50100()()(2200jjjjjjtgjjtgjjdtgjzzdtgjzzzllin18. 018. 0180*44 .50180)(4 .504 .50)5 . 324. 4(4)5
56、. 324. 4()4(5 . 524. 45 . 3112. 2112. 21说明传输线的电长度为度到负载的电长向源方向由短路点mtgmtgmtgjjjSCSC4 . 15 . 0,472. 0,12. 2507025,6 .23,10625 . 2in0in0injzjzjzZZZZjZjZjZinocinscocinscinocinsc归一化的阻抗分别为:解:由求负载的阻抗值。接负载时由测量得到例子)55 . 2(43. 025. 018. 06 .2318. 0,25. 043. 007. 05 . 0,07. 0180*44 .2301804 .2304 .50180)777216.
57、 0944. 0(472. 01944. 0222784. 01 472. 01) 1472. 0)(1472. 0(1472. 01472. 000000012222图见书上欧的电长度为入阻抗为则负载开路情况下,输为负载离输入阻抗的距离的电长度为另一个角度:由开路点输入阻抗电长度为即从短路点到开路时的jtgjjjjjOCOCOC755 .285 . 157. 050, 5 . 157. 0)163. 018. 0343. 0(337. 018. 0157. 018. 0)(,18. 0157. 0343. 05 . 0(5 . 0),()(343. 03425. 0180*4)6 .66(1
58、80)(6 .66)21. 18 . 2(4 . 15 . 18 . 221. 114 . 150. 014 . 150. 0000122jjjzmmtgjjjinininin)(为对应的负载阻抗输入阻抗归一化值为:从该电可以读出负载的如果是从源的角度:载的阻抗,即得到的输入阻抗即为负旋转圆图上逆时针旋转则从源向负载由于传输线的电长度为度,也等于即对应的短路点的电长到该点的电长度逆时针方向向负载方向对应的由短路点计算误差度到该点的电长向源方向由短路点)77. 0(48. 171. 028)35)(351 (35351)()(1)255 . 2(minmin具有读数误差书上的根据公式jjjjjd
59、jtgdtgjzL745 .38)48. 177. 0(*5048. 177. 0,32 . 02 . 05/1,/)183 . 2()(.355035 . 2minmin0minjjZjzrrzRVSWRLl因此负载阻抗为从圆图上可以读出为载的阻抗该处的输入阻抗即为负沿逆时针旋转阻抗由驻波比最小处的输入阻抗为因此该点的归一化输入有,由式电压波谷点时解:当电压驻波为最小处,求负载阻抗值距离负载电压驻波最小点出现在,的欧的无耗传输线上测得在特性阻抗为例子66. 052. 142.1393. 842.2007. 3207. 321)52()52(1)()(1)255 . 2(minminjjjjj
60、tgtgjdjtgdtgjzL根据公式5 .325 .77)6 . 055. 1 (*50,65. 055. 1smith2 . 0)(2 . 05 . 0/1 . 05 . 0/122/1610)log(20),(6005 . 010*3,5 . 0, 13 . 25 . 0,25. 075. 0 ,5 . 0 ,25. 0 ,085. 0 ,6 . 0 ,35. 0 .1 . 05045 . 2(min)minmaxmininmaxmax8minminjjjmmzVVVdBVVdBVVMHzcfmmmmmmVmmmmVinm则负载阻抗为归一化阻抗为圆图上可以读出该点的从图所示负载的归一化阻
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