第二讲双曲型方程组及间断解

1、计算流体力学讲义计算流体力学讲义2011 第二讲第二讲 双曲型方程组及间断解双曲型方程组及间断解李新亮李新亮 ；力学所主楼；力学所主楼219； 82543801 知识点：知识点： 双曲型方程的特征方程双曲型方程的特征方程 双曲型方程的弱解及熵条件双曲型方程的弱解及熵条件 Riemann间断解间断解 精确解、近似解初步精确解、近似解初步 1讲义、课件上传至讲义、课件上传至 (流体中文网）流体中文网） - “流体论坛流体论坛” -“ CFD基础理论基础理论 ”Copyright by Li Xinliang2知识回顾知识回顾1. 流体力学基本方程流体力学基本方程概念：概念： 连续介质假设；连续介质

2、假设； Euler描述描述/Lagrange描述描述N-S方程方程 描述描述 质量、动量、能量守恒质量、动量、能量守恒 的方程组的方程组流通量：流通量： 单位时间单位时间内通过内通过垂直于垂直于x/y/z 轴轴单位面积单位面积的的 质量、动量、能量质量、动量、能量zGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(无量纲量：无量纲量： 物理量与参考量（特征量）之比物理量与参考量（特征量）之比2. 偏微分方程（组）及其类型偏微分方程（组）及其类型0txUUASSA10 xtVVSUV 0 xvtvjjj解耦成N个独立的方程双曲型双曲型有有N个实特征根（含重根）个实特征根（含重根）N个独立特

3、征向量个独立特征向量全部为复特征根全部为复特征根有有1个个N重特征根重特征根独立特征变量数独立特征变量数0, 则在则在左左端给定端给定vj的边界条件的边界条件 如果如果 j0, 则在则在右右端给定端给定vj的边界条件的边界条件 ABj=1j=20 xtUAUCopyright by Li Xinliang3 一维一维Euler方程方程cucuu321,条件条件描述描述边界条件设定边界条件设定 超音速入口超音速入口给定给定3个边界条件个边界条件 亚音速入口亚音速入口给定给定2个边界条件个边界条件 超音速出口超音速出口无需给定边界条件无需给定边界条件 亚音速出口亚音速出口给定给定1个边界条件个边界

4、条件cuandu0cuandu0cuandu0cuandu03Tmuuuxt),.,(0)(21UUUAU变系数方程组的情况变系数方程组的情况SSA1令：0 xtUSSU10 xtUSUS.1msSs令令（行向量）（行向量）()0kktxUUs在在x-t空间引入空间引入特征线：特征线：( )xx t0kddtUs1. 双曲型方程组的特征方程双曲型方程组的特征方程Copyright by Li Xinliang4 （变系数情况）虽然不能解耦，但能转换成常微方程组（变系数情况）虽然不能解耦，但能转换成常微方程组2.1 双曲型方程组双曲型方程组/kdx dtxt特征线( )xx t/kdx dtkd

5、txdtUUU沿特征线沿特征线Copyright by Li Xinliang5若不考虑粘性，流体微若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布则全流场熵均匀分布例：一维例：一维等（均）熵等（均）熵运动运动预备知识：预备知识： 完全气体中的热力学量完全气体中的热力学量, , , , ,p T s h U c密度、压力、温度、熵、焓密度、压力、温度、熵、焓内能、声速内能、声速只有两个独立变量只有两个独立变量（完全气体）仅与温度有关（完全气体）仅与温度有关211/2(1)/21/2(3)/2/()/()spconstcpRT

6、scscs小常识：小常识： 等熵（绝热）关系等熵（绝热）关系与等温相比，绝热与等温相比，绝热气体更难压缩气体更难压缩vUC TcRT等熵情况下，仅有一个等熵情况下，仅有一个独立的热力学变量；独立的热力学变量；给定任何一个都意味着给定任何一个都意味着给定全部热力学量；给定全部热力学量；1/2(3)/211/()/22dc dsc0UUAtxuU2/uAcucu 2, 1矩阵矩阵A的特征值的特征值ccS若不考虑粘性，流体微若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变；团运动过程中熵不变；如果来流熵均匀分布，如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布则全流场熵均匀分布均熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代均

7、熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代20()0utxuuptx0uutxx2spc2/0uucutxx一维均熵流动控制方程（一维均熵流动控制方程（Euler方程简化版）方程简化版）11200ASS112200uuctxtxuuctxtx10UUSStx0UUSStx0(3)duc ddtdtcudtdx/沿特征线沿特征线1：有：有：201dRdudc dduc ddtdtddtdtdt沿特征线沿特征线1： R不变不变1ddttx（1）转化为）转化为xt特征线1/dx dt积分因子积分因子定义：定义：21cRu注意：声速c 是温度的函数，可不是常数！c2 T ( c2 就是温度啊！）就是温度啊

8、！）211/2(1)/21/2(3)/2/()11/()/22spconstcpRTscsdc dsc绝热关系式绝热关系式( )xx t11220(1)0(2)uuctxtxuuctxtxcu 2, 1constcuR12特征相容关系constcuS128知识点，牢记！知识点，牢记！一维均熵流动沿特征线一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变不变量保持不变xt特征线1cudtdx/特征线2cudtdx/constcuR12同理推导，同理推导，沿特征线沿特征线2：cudtdx/constcuS12constcuR12在（在（x,t）空间：）空间：沿特征线沿特征线1：cudtdx/沿特征线

9、沿特征线2：cudtdx/constcuS12ABC扰动源扰动源扰动向两侧传播扰动向两侧传播扰动波以扰动波以当地声速当地声速向两侧传播向两侧传播ucuc观测者观测者感受到两侧的扰动感受到两侧的扰动例例2.1： 有限振幅波的传播问题有限振幅波的传播问题othersconstxxxxxuuba)(, 0)(),(,0考虑一维无粘流动（考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时方程），初始时刻（刻（t=0）流动状态如下：）流动状态如下：试分析试分析t=t0时刻的流动状态时刻的流动状态 （假设流场（假设流场不出现间断）不出现间断）xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6

10、0.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)不同时刻的速度分布（不同时刻的速度分布（A=1）不同时刻的速度分布（不同时刻的速度分布（A=0.01）)sin(005. 0)sin(005. 0),(ctxctxtxu思考题：思考题： 小扰动的传播情况？小扰动的传播情况？1)0 ,(; 1)0 ,(020sin)0 ,(xpxothersxxAxu数值解xt（1）（2）（3）（4）利用特征线，分析不同区域的差异利用特

11、征线，分析不同区域的差异等（均）熵情况下，同族特征线不会相交等（均）熵情况下，同族特征线不会相交Copyright by Li Xinliang9目的：目的： 学会如何运用学会如何运用Riemann不变量解题不变量解题Copyright by Li Xinliang10 xu-50510-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t=0t=1t=2xu-50510-0.015-0.01-0.00500.0050.010.015t=3t=1t=4t=2t=01D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)1)0 ,(; 1)0 ,(

12、020sin)0 ,(xpxothersxxAxu一维扰动波的传播一维扰动波的传播 （上：（上： A=1; 下：下： A=0.01）大扰动，非线性波大扰动，非线性波小扰动，线性波小扰动，线性波基本解题思路：基本解题思路： 利用特征关系利用特征关系123cudtdx/cudtdx/xt)()(232223131113ttcuxxttcuxx解出解出 x1, x2利用利用Riemann不变量得：不变量得：2233113312121212cucucucu解出解出33,cuxt（1）（2）（3）（4）区域（区域（2），（），（4） 未扰动未扰动区域（区域（1）内的流动使用基本）内的流动使用基本方法计算

13、方法计算区域（区域（3）内的计算可简化）内的计算可简化 A BDCEFG(3) 区内的波传播速度为常数，且区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变在传播过程中物理量保持不变 简单波简单波 特征线为直线特征线为直线)(),()(),(22112211xccxccxuuxuu注意：注意：因而方程是非线性的因而方程是非线性的给定给定x3,t3 利用利用Copyright by Li Xinliang11（假设t3充分小） 解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻概念：概念： 简单波简单波区域区域 （3） 内扰动波的传播特点内扰动波的传播特点考虑考虑 （3）区内的）区内的, 同属一条特同属一条

14、特征线征线M 上的任意两个点上的任意两个点4 和和5：由于点由于点1 和点和点3 均在未扰动区：均在未扰动区：xt（1）（2）（3）（4）12345M5454ccuu在（在（3）区内，）区内， 所有物理量（所有物理量（u,c）沿特征线）沿特征线M不变不变 特征保持直线，特征波传播速度不变特征保持直线，特征波传播速度不变简单波简单波Copyright by Li Xinliang1212cuR12cuS542SSS5341,RR RR31RR5454SSRRCopyright by Li Xinliang13各区物理含义各区物理含义xt（1）（2）（3）（4）x扰动区扰动区t=0时刻t=t1时刻

15、右行波右行波左行波左行波区域（区域（1），感受），感受到左、右波的影响到左、右波的影响区域（区域（3），仅），仅感受到左行波感受到左行波的影响的影响简单波简单波区域（区域（2），），尚未感受尚未感受到波到波xt=t2时刻区域（区域（4），波已传），波已传播过去，恢复平静播过去，恢复平静波型、波速不变波型、波速不变3. 双曲型方程的间断解双曲型方程的间断解双曲方程的特点：双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限扰动波传播速度有限 可能可能产生间断产生间断弱间断：弱间断： 函数连续，但导数间断函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾）（如稀疏波的波头、波尾）强间断：强间断： 函数本身间断函数本身间

16、断 （如激波、接触间断）（如激波、接触间断）流体力学控制方程：流体力学控制方程： 积分型积分型 （假设函数连续、光滑）（假设函数连续、光滑） 微分型微分型间断处虽然无法满足微分型方程，间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足但积分型方程（三大守恒律）仍然满足例：例： 激波两侧关系激波两侧关系原则：原则： 连续区需满足微分方程连续区需满足微分方程 间断两侧必须满足积分方程间断两侧必须满足积分方程Copyright by Li Xinliang14z111,pu222,pu22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuu

17、ZuZu4. 双曲型方程的弱解及熵条件双曲型方程的弱解及熵条件1） 弱解弱解0, 0)(txxuftu)()0 ,(xxu若若u(x,t)在除在除有限条间断有限条间断外连续可微且满足方程（外连续可微且满足方程（1）；）；且在间断线且在间断线 满足：满足：（1）dtduuffCopyright by Li Xinliang15( )xt( )xt则称则称 u(x,t)是方程（是方程（1）的弱解）的弱解xt( , )uu x tuu“间断处满足积分方程间断处满足积分方程”( )0Vuf udxdttx任意控制体任意控制体Green 公式公式充分小的积分路线充分小的积分路线两侧均视为常值两侧均视为常

18、值DDffxduutdtxt( )xtt,uf,uf(1)0udfutdux间断传播的速度间断传播的速度ddfffdtduuu快速记忆法：快速记忆法：0)()()(tffuudtufudxD0)(DdtufudxCopyright by Li Xinliang16弱解不是唯一的弱解不是唯一的例：例：0, 0)(txxuftu22uf 0，10, 1)0 ,(xxxu弱解：0，10, 1),(xxtxuxttxttxtxtxu，1，1),(xttxxttxtxu，10，20，2，1),(dtduuffxt时刻的分布：全部都满足全部都满足11ffduudt 002ffduudt0?0ffuuxxt

19、 物理模型三个全都是弱解三个全都是弱解 dtduufuuufufuuff1)()()()()(lim000000022uf 0, 0)(txxuftu初始条件：初始条件：0，10, 1)0 ,(xxxuxttxttxtxtxu，1，1),(物理解：物理解：概念：双曲型方程（概念：双曲型方程（1）的）的“物理解物理解”)0()(22xuxuftu0当：当： 时收敛到的解时收敛到的解Copyright by Li Xinliang172） 熵条件熵条件定理：定理： 若若u(x,t) 是（是（1）的弱解，且在间断处满足：）的弱解，且在间断处满足：wuwfufuuufufwuwfuf)()()()()

20、()(其中其中w是介于是介于u+及及u-之间的任意值。之间的任意值。则则u(x,t)是唯一的物理解。是唯一的物理解。物理含义：物理含义： 特征线汇聚特征线汇聚 间断间断x( )uu x特征线特征线 (斜率斜率 u)0，10, 1),(xxtxu不满足熵条件，不满足熵条件， 非物理非物理 特征线汇聚，形成间断特性线特性线向向间断间断处汇处汇聚聚 满足熵条件满足熵条件0uuutxdxudt特征线特征线特性线特性线从从间断间断处发散处发散 不满足熵条件不满足熵条件2. 2 Riemann间断解间断解1. Riemann问题问题0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut一维无粘流动一维

21、无粘流动初始间断初始间断的演化问题的演化问题0,0,),(:0222111xpuxpuput例子：例子： 激波管问题激波管问题间断条件：质量、动量、能量守恒Copyright by Li Xinliang18) 1 , 1 , 0(),(pu) 1 . 0 ,125. 0 , 0(),(puSod激波管问题密度（上）、压力（中）激波管问题密度（上）、压力（中）及速度（下）分布及速度（下）分布22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuCopyright by Li Xinliang19Riemann问题对问题对CFD的意义的意义A

22、1234有限体积法示意图有限体积法示意图目的：目的： 计算计算A点所在界面的通量点所在界面的通量 （以便获知控制体内物理量的变化）（以便获知控制体内物理量的变化）LURU1） 利用数值方法（利用数值方法（“插值插值”），用（偏）左侧点的值计算出），用（偏）左侧点的值计算出 用（偏）右侧点的值计算出用（偏）右侧点的值计算出LURUA点物理量有两个值，如何处理？当做Riemann问题处理！),(321UUUUULL),(432UUUUURRLURU2） 求解求解Riemann问题问题 （界面左侧为（界面左侧为右侧为右侧为 ）获得穿过界面的通量）获得穿过界面的通量LURU0)()(0)()(0)(2

23、xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuputRiemann问题求解思路：问题求解思路： a) 精确解：利用空气动力学精确解：利用空气动力学 （积分关系式（积分关系式+特征线）特征线） b) 近似解：近似解： 积分近似、微分近似积分近似、微分近似流场中可能出现的三种波：流场中可能出现的三种波：激波：激波： 强间断，满足强间断，满足R-H 关系式关系式接触间断：接触间断： 特殊间断，仅密度突变特殊间断，仅密度突变 （两侧速度、压力相同）（两侧速度、压力相同）膨胀波：膨胀波： 等熵波等熵波间断条件：间断条件： R-H关系式关系式质量、动量、能量守恒质量、动量、能量守

24、恒初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立传播初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立传播Copyright by Li Xinliang20质量通量守恒质量通量守恒动量通量守恒动量通量守恒能量通量守恒能量通量守恒Z111,u p222,up随激波运动，厚度充分小的控制体随激波运动，厚度充分小的控制体如果如果 ， R-H关系显然成立关系显然成立1212,uuZ pp22221111222211112211)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZu) 1 , 1 , 0(),(pu) 1 . 0 ,125. 0 , 0(),(pu0tt ttt0膨胀波膨胀波 接触间断接

25、触间断 激波激波xt1tt Sod 激波管起动后气流演化过程示意图激波管起动后气流演化过程示意图膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波示意图一般情况：五种可能一般情况：五种可能xt激波激波 接触间断接触间断 激波激波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波激波激波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波（1） （2） （3） （4）（5）分析分析Copyright by Li Xinliang21动画演示：动画演示： 密度的演化密度的演化 2. 求解方法求解方法 针对每种情况分别考虑；针对每种情况分别考虑； 利用积分关系，将微分

26、方程化成代数方程计算利用积分关系，将微分方程化成代数方程计算),(111pu),(222pu0tt ttt0激波激波 接触间断接触间断 激波激波),(111pu),(222pu),(*puL),(*puR1Z2ZZone: 1 3 4 2*1*11111*1*111111*111)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLL积分关系式（积分关系式（RH关系）：关系）： 1-3 两区两区2-4 两区两区*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR6个方程，个方程，6个未知数。可解！个未知数。可解！

27、2) 1(2kkkkupE其中其中：1) 情况（情况（1）：）： 左、右激波左、右激波Copyright by Li Xinliang221,2, ,kL Rxt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）1-3 两区关系式两区关系式2-4 两区关系式两区关系式求解思路：求解思路： 消元法消元法3个方程，个方程，4个个未知数未知数),(212111*11*111*1*ppfuppcppuu设压力已知，设压力已知，解出速度解出速度),(33*2*ppfuu联立方程，得：联立方程，得：),(),(22*11*21ppfppfuu1方程，方程，1未知数，可解；

28、例如：未知数，可解；例如：Newton法法( )/( )newxxf xfxxyNewton法示意图解出解出p*后，代入原方程，求出其余未知数后，代入原方程，求出其余未知数xt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）*1*11111*1*111111*111)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLL*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR左行激波左行激波右行激波右行激波Copyright by Li Xinliang24情况情况2 ： 右激波、

29、左膨胀波右激波、左膨胀波 Sod 激波管问题属于该情况激波管问题属于该情况预备知识：预备知识： 膨胀波（稀疏波）膨胀波（稀疏波）高压高压低压低压Sod 激波管问题，激波管问题，t=0.14时刻压力分布时刻压力分布波波头头波波尾尾膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波xt膨胀波：膨胀波： 内部物理量连续、光滑内部物理量连续、光滑 头、尾物理量连续，但导头、尾物理量连续，但导数不连续（弱间断）数不连续（弱间断）膨胀波两侧物理量的关系式：膨胀波两侧物理量的关系式：),(*puL),(111pu1）熵不变）熵不变2） Riemann不变量不变不变量不变*11/()/()Lpp

30、1212*11LcucuLLpc*/Copyright by Li Xinliang25xt),(*puL),(111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5)方法：方法： 先计算（先计算（3），（），（4）两区的值；再计算膨胀波内部（）两区的值；再计算膨胀波内部（5）区的值）区的值ttt0膨胀波区膨胀波区 接触间断接触间断 激波激波（1）（2）（5） （3） （4）2Z*2*22222*2*222222*222)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRR2-4 两区关系式两区关系式 （激波（激波RH关系）关系）：1-3两区关系式两区关系式

31、（等熵关系式）：（等熵关系式）：*11/()/()Lpp1212*11Lcucu)/(*LLpc5个方程，个方程，5个未知数，方程可解个未知数，方程可解！为什么未知数个数比双激为什么未知数个数比双激波的情况少波的情况少1个？个？求解方法与双激波情况相同，先解出（求解方法与双激波情况相同，先解出（3），（），（4）区速度对压力的依赖关系区速度对压力的依赖关系),(11*1*ppfuu 1)(12),(21*iiiippcppfCopyright by Li Xinliang26激波、膨胀波前后速度激波、膨胀波前后速度-压力的依赖关压力的依赖关系可写成统一的形式：系可写成统一的形式：左波左波 （激

32、波或膨胀波）：（激波或膨胀波）：),(11*1*ppfuu右波（激波或膨胀波）右波（激波或膨胀波）),(22*2*ppfuu（ 表示（表示（3）（）（4）区的速度和压力）区的速度和压力）*, pu其中：其中：iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(激波激波膨胀波膨胀波得到方程得到方程：)(),(),(*22*11*21pFppfppfuu(*)1 个方程，个方程， 1个未知数，可解个未知数，可解求解求解(*) 得到得到3,4两区的压力两区的压力*p),(11*1*ppfuu然后，解出速度和密度然后，解出速度和密度xt),(*puL),(

33、111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5)xt),(*puL),(*puR),(111pu),(222pu（1）（2）（3）（4）膨胀波内部物理量的计算膨胀波内部物理量的计算cudtdxatconstcuRcudtdxatconstcuR/12/1221xt0tt 0txt1tt 波头波尾处理方法：处理方法：1） 计算膨胀波的范围计算膨胀波的范围 波头传播速度波头传播速度 波尾传播速度波尾传播速度（1）（2）（5）(3)(4)11cu Lcu*2）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算 利用简单波的特性，简化计算利用简单波的特性，简化

34、计算cudtdx/cutx/简单波简单波x=0特征线由特征线由x=0发出发出再利用另一条特征线的信息：再利用另一条特征线的信息：11,cu121211cucu解出cu,再利用等熵关系，计算, p1/211)/(ccpp2/cpCopyright by Li Xinliang27ttt0膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波1112)(11),(ctxuxtctxctxu/),(Copyright by Li Xinliang28求解步骤求解步骤step1. 求解方程求解方程 (*)， 解出解出 3，4区的压力区的压力 单未知数代数方程；数值方法求解单未知数代数方程；数值方法求解iiiiiii

35、iiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(*)(),(),(*22*11*21pFppfppfuu其中：step 2. 求出求出3，4区的速度、密度、激波移动速度区的速度、密度、激波移动速度 ),(11*1*ppfuustep 3. 计算出稀疏波区的量计算出稀疏波区的量 针对情况1， 求解完成； 对于情况2 继续step 31112)(11),(ctxuxtctxctxu/),(1/211)/(ccpp2/cp其中各区的范围如下 （以情况2 讨论）：tcuxtcuL)()(*111 区： 5 区： 3 区： 4 区： 2 区：tcux)(11tuxtc

36、uL*)(tZxtu2*tZx2以上步骤完全适用于以上步骤完全适用于 情况情况3， 4， 5 （因为（因为*式同时适用于激式同时适用于激波和稀疏波）波和稀疏波）xt),(*puL),(111pu),(*puR),(222pu(1)(2)(3)(4)(5) Riemann 问题五种可能情况问题五种可能情况xt激波激波 接触间断接触间断 激波激波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 激波激波激波激波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波 接触间断接触间断 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波 膨胀波膨胀波（1） （2） （3） （4）（5）如何区分这如何区分这5种情况？种情况？ Copyright by L

37、i Xinliang29假设12pp 准则如下：)(221pFuu情况1)()(1212pFuupF情况3)0()(211FuupF情况4利用函数 （由 *式定义） 函数性质很好函数性质很好 单调连续单调连续),(),()(22*11*ppfppfpF)(pF21)0(uuF),(111pu),(222pu情况521uu )0(F)(2pF)(1pF情况5情况4情况3情况1Riemann 求解总步骤： 1） 根据上述判决区分情况 2） 按照上一页的步骤求解 真空区真空区pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=

38、1, p2=0.1,rho2=0.125Copyright by Li Xinliang30Riemann问题的具体计算步骤问题的具体计算步骤0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuput1. 判断可能会出现的情况（五种情形之一）判断可能会出现的情况（五种情形之一） iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(),(),()(22*11*ppfppfpF a. 定义函数定义函数 b. 进行判断进行判断12pp 21uu )0(F)(2pF)(1pF情况5情况4情况3情况121uu

39、)0(F)(1pF)(2pF情况5情况4情况2情况112pp 单调增函数，性质很好)(),(),0(21pFpFF计算出计算出 ， 根据根据 的大小进行的大小进行判断，具体见下图判断，具体见下图：21uu Copyright by Li Xinliang312. 求解求解中心区中心区的压力和速度的压力和速度21*)(uupF单未知数的代数方程，迭代求解（例如单未知数的代数方程，迭代求解（例如Newton法，法，F(p)性质好，求解不困难）性质好，求解不困难）pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=1, p2=

40、0.1,rho2=0.125*p*p*p*p*u*u),(),(2111*22*21*ppfppfuuu3. 确定确定中心区中心区接触间断两侧的密度接触间断两侧的密度 以及左、右波传播的速度以及左、右波传播的速度 a. 左波为激波的情况（情况左波为激波的情况（情况1,3） *2*1,*2*1,*2*1,)(*11111*1uuAA)2 , 1(2121*ippcAiiii1111/AuZ b. 左波为稀疏波的情况左波为稀疏波的情况 （情况（情况2，4，5）2*1*1/cp2/ )(1(*11*1uucc*1*11111;cuZcuZtailhead中中心心区区接接触触间间断断左左侧侧的的物物理

41、理量量膨胀波的波头及波尾速度膨胀波的波头及波尾速度激波的传播速度激波的传播速度对于情况（对于情况（5），波尾速度为：），波尾速度为：11)5(112cuZtail中心区为真空，音中心区为真空，音速速 无定义，改由无定义，改由该式计算该式计算*1cCopyright by Li Xinliang32c. 右波为激波的情况（情况右波为激波的情况（情况1，2） 中中心心区区接接触触间间断断右右侧侧的的物物理理量量2222/AuZ)2 , 1(2121*ippcAiiii)(*22222*2uuAA b. 右波为稀疏波的情况右波为稀疏波的情况 （情况（情况2，4，5）2*2*2/cp2/ )(1(*2

42、2*2uucc*2*22222;cuZcuZtailhead4. 计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）a. 左稀疏波左稀疏波 b. 右稀疏波右稀疏波情况2，422)5(212cuZtail情况5：2121122),()(),(/),(cptxccptxpctxtxutZxtZtailhead2122222),()(),(/),(cptxccptxpctxtxutZxtZheadtailCopyright by Li Xinliang33思考题：思考题： 上述求解方法要求间断两侧流场分布为常数，如果上述求解方法要求间断两侧流场分布为常数，如果初始时刻流场分

43、布是初始时刻流场分布是x的函数，怎样利用该理论解计算的函数，怎样利用该理论解计算 ？提示：提示： 把曲线离散化，看成折线把曲线离散化，看成折线Copyright by Li Xinliang344 近似近似Riemann解初步解初步精确精确Riemann解计算量较大；解计算量较大；近似近似Riemann解：解： 积分型积分型 （HLL,HLLC）、微分型（）、微分型（Roe）4.1 HLL 近似近似Riemann解解 （Harten, Lax & van Leer）Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for F

44、luid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition) LxRx基本原理：基本原理： 双激波近似双激波近似t=0t=t0激波激波1，速度速度Z1激波激波2，速度速度Z2假设间断面产生两道激波，速度分别为假设间断面产生两道激波，速度分别为Z1,Z2根据质量、动量、能量守恒，容易计算出图中根据质量、动量、能量守恒，容易计算出图中控制体积内的总质量、总动量、总能量控制体积内的总质量、总动量、总能量t0 时刻激波才传到控制体边界，因此时刻激波才传到控制体边界，因此0 到到t0时刻，控时刻，控制体边界处物理量保持制体边界处物理量保持0时刻的值时刻的值。利用总量，求出图

45、中控制体内的利用总量，求出图中控制体内的平均值平均值，作为该，作为该区域物理量的近似值区域物理量的近似值Copyright by Li Xinliang354.2 HLLC 近似近似Riemann解解 （Toro）发展了发展了HLL近似解，用近似解，用三波三波模型来近似模型来近似 （如图）（如图）RZLZ*Z三波近似，三波近似， 左、右波的速左、右波的速LZRZLURUL*UR*UT 时刻的流动状态时刻的流动状态LUL*UR*URU激波激波接触间断模型：模型： 左右两道激波，中间有接触间断左右两道激波，中间有接触间断激波速度激波速度已知已知为为: ZL, ZR未知数（未知数（4个个）：）： *

46、,LRp u方程（方程（6个个）：两道激波的）：两道激波的RH关系式关系式*)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL*)()()()()()(upZuEpuZuEpZuupZuuZuZuRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR方程方程多了两个多了两个？ （因为假设激波速度已知）（因为假设激波速度已知）常用方法：常用方法： 去掉两个方程去掉两个方程去掉两个去掉两个能量方程能量方程， 4个未知数，个未知数，4个方程，求解个方程，求解求解过程求解过程简单，轻易可给出表达式简单，轻易可给出表达式 满足：满足： 物理意义为物理意义为平均增长率平均增长率Copyright by Li Xinliang364