不等式证明的若干方法

1、不等式摘要：不等式在数学中具有重要的地位，熟练掌握不等式的证明尤为重要.不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循，所以证明不等式的方法可以因题而异，证明的方法也就有很多种.在本文中总结了初等数学中的一些常见的不等式证明的方法，和高等数学中的一些函数证法，以及用一些著名不等式的来证明不等式的方法.关键词：不等式 ； 证明 ；方法 第一章 不等式的概念及基本性质证明不等式可以和证明恒等式作类比，就是要证明给定不等式对于其定义域中一切数都能成立.换句话说，即要证明它是一个绝对不等式.证明不等式的主要依据是不等式的性质，以及一些熟知的基本不等式.例如：

2、不等式的证明方法有多种多样，下面这一章就是用一些常用的方法举例说明第一章 证明不等式的常用方法1.1 比较法比较法是直接作出所求证不等式两边的差（或商），然后推演结论的方法.具体的说，即通过“，；或，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法.例1 已知：，求证：.分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明： ，故得 .例2 设，求证：.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明：因为 ，所以 ，.而 ，故 1.2 分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种

3、方法叫做分析法.例3 已知，求证： 证明：要证不等式，只需证 式左边即 式右边即 比较和，可知要证成立，只须证 、两式显然成立，故不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途.1.3 综合法综合法是“由因导果”即从已知条件出发，依据不等式的性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式.例4 已知，求证：证明： ， 即 1.4 数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成.例5 已知：，求证：.

4、证明: （1）当时，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即 成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.1.5 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍.反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的.例6 设，且，求证：证明： 假设 你这里的是否是

5、，如果是，全部改过来 则有 因为正弦函数在区间上是增函数，所以 式两边都为正数，两边平方，得整理，得 但是由可知，表明式不可能成立因此 1.6 换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证明.例7 已知：，求证：.证明：设，则， 所以 1.7 放缩法放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的.例8 设是三角形的边长，求证证明：由不等式的对称性，不妨设，则且 ， 函数的不

6、等式是表示函数之间大小的比较，从某种意义上说，不等式在数学分析中甚至比等式更为重要，不等式存在反而是常见的.下面这一章就是对不等式用函数来证明的一些常用方法.第二章 利用函数性质证明不等式2.1 利用函数的单调性 定理1 设函数在区间可导.函数在区间单调增加（单调减小），有. 定理2 若函数在区间可导，有，则函数在区间严格增加（严格减小）. 例1 设，且，试证：证明：令，分子，对求导得，分两种情况来讨论：（1）当时，因此单调递增.由，故，分母，所以即原不等式成立.（2）当时，因此单调递减，由，得，分母，所以，即原不等式成立.综合（1）（2）即得结论成立.2.2 利用拉格朗日中值定理定理 如果函

7、数满足，在闭区间连续；在开区间可导.则在开区间内至少存在一点，使得从上式可以看出，如果能确定了介于某两个数m与M之间，则有如下形式的不等式：因此，欲证形如或构造成为形式的不等式，可用该方法。例2 证明，当0时，有.证明：由原不等式，因为0，可改写为的形式，或改写为的形式，这里，区间为0, ，于是可用拉格朗日中值定理证明。令，0, ，则满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在0, 有1所以，有不等式 .2.3 利用泰勒公式定义 若函数在存在阶导数，则，有称为函数在（展开）的泰勒公式.其中，例3 证明：若函数在上有阶导数，且，则存在，有证明：将函数在点和点分别展开，即，有由已知条件，令，则分别有，以上

8、两式相减，有 或，令 ，则有，即2.4 利用函数的极值与最值定义 可导函数的方程的根，称为函数的稳定点定理1（第一判别法） 若函数在可导，且， 有 则是函数的极大点（极小点），是极大值（极小值）定理2（第二判别法） 若函数在存在阶导数，且，1）是奇数，则不是函数的极值点，2）是偶数，则是函数的极值点.当，是函数极小点，是极小值,当，是函数极大点，是极大值.例4 证明，有不等式 证明：讨论函数在区间的最大值.令,解得唯一定点1，它在区间分成两个区间与，列表如下：1+0-极大点稳定点1是函数极大点，极大值.由此表可见极大值就是函数在区间的最大值，即，有 或 .所以原不等式得证.2.5 利用函数的凹

9、凸性定义 设函数定义在某一区间上，对于这区间内的任意，如果恒有则称在这区间上是凹函数；如果恒有则称在这区间上是凸函数.函数凹凸性的判定：如在（a, b）内的二阶导数，则函数为凹函数，如，则函数为凸函数.如在不等式的证明中出现了形如或的形式，可用函数凹凸性来证明.例5 证明：当，均匀正数时有证明：因为在不等式的左边出现了乘积，因此，我们两边取对数变成和的形式，即欲证，只须证明，即证： 于是，可令0，则有0（t0）可见为凸函数，由凸函数的定义可知有即有 所以 在不等式证明中，利用已知不等式常能收到事半功倍的效果.在前面两章已经介绍了一些初等数学中常用的已知不等式和高等数学中函数不等式，本章在此基础

10、上，来讨论几个在数学领域有着广泛应用的著名不等式.第三章 利用著名不等式的证明方法3.1 柯西不等式定理 设，则有不等式成立；当且仅当时等号成立. 例1 设 都是正数，求证：证明：比照柯西不等式，构造如下两组数：；由柯西不等式，得即 所以原不等式成立.3.2 均值不等式常用的平均值除了个正数的几何平均值,和算术平均值之外，还有另外两种，定义如下定义 个正数的倒数的算术平均值的倒数，叫做这个正数的调和平均值，用表示；个正数的次幂的算术平均值的次算术根，叫做这个正数的次幂平均值，用表示.即设 ，则 ； .其中，均为大于1的自然数.再定义定理1 .即若，则 ，当且仅当 时取等号定理2 .即若，则 .

11、定理3 .即若，则 .例2 设是大于1的自然数，求证: .证明： 根据均值不等式，得因为 所以两边作次乘方，即得.3.3三角形不等式定理 对于任意实数 和 ，有当且仅当 时取等号.例3 用三角不等式证明：当直角三角形的斜边为 时，两直角边的和小于或等于证明：设两个直角边为. 则.根据三角不等式，有，即 3.4 琴森不等式定理（琴森不等式） 如果在某区间上是凹函数，则对于该区间上任意，都有成立；如果在某区间上是凸函数，则对于该区间上任意，都有成立.以上两个不等式中的等号当且仅当 时成立.例4 在ABC中，求证：证明：设，对于且，因为所以，在上是凸函数.因为且，根据琴森不等式，有, 第四章 总结不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。不等式的证明方法很多,我们需要根据题目自身的特点寻找一种适合解题的方法。在证明的不等式的时候我们要注意不能盲目的去求证不等式，须认真观察这个不等式，然后用适合这个不等